重点强化练（10）数列递推与数列求和（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦数列递推与求和，通过典型例题覆盖核心题型，强化逻辑推理与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |递推求通项|6题|涵盖等差型、等比型、构造法等|从递推关系到通项公式的转化，体现数学抽象与推理| |数列求和|3题|涉及裂项相消、分组求和等|前n项和公式的灵活应用，培养运算能力与模型意识| |综合应用|6题|结合函数、方程等知识|知识间的交叉融合，提升数学思维的综合性|

重点强化练(十)数列递推与数列求和 1.C　[解析] 由=(n∈N*),得(n+1)an+1=nan,故nan=1×a1=1,所以an=,则==.故选C. 2.B　[解析] 由题意得a2=3-a1=2,因为an+an+1=3n,an-1+an=3n-3(n≥2),所以an+1- an-1=3(n≥2),所以a100=(a100-a98)+(a98-a96)+…+(a4-a2)+a2=49×3+2=149.故选B. 3.B　[解析] 因为an+1=an+-,所以an+1-an=-,所以a2-a1=1-,a3-a2=-,…,an- an-1=-(n≥2),累加可得an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1-+-+…+-=1-(n≥2),因为a1=3,所以an=1-+3=4-(n≥2),当n=1时,a1=3,满足上式,所以an=4-,故选B. 4.C　[解析] 因为Sn=2an(n≥2),所以当n≥3时,Sn-1=2an-1,两式作差得an=2an-2an-1(n≥3),即an=2an-1(n≥3),因为S2=2a2,a2=2,所以a1=a2=2,不满足an=2an-1,则数列{an}从第2项起构成公比为2的等比数列,则an=2×2n-2=2n-1(n≥2),故S2026=2+2+22+23+…+22025=2+=22026.故选C. 5.D　[解析] 由a1=2,a2=3,an+an+2=an+1,可得a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3,…,所以数列{an}是周期为6的数列,其中a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,所以S2024=S337×6+2=a1+a2=5.故选D. 6.C　[解析] 设an+1+x=(an+x),即an+1=an-x,所以-x=4,解得x=-12,所以an+1-12=(an-12),又a1-12=-11,所以{an-12}是首项为-11,公比为的等比数列,所以an-12=-11×,所以an=12-11×.故选C. 7.D　[解析] 设该二阶等差数列为{an},则a1=2,a2=3,a3=6,a4=11,可知a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,则an-an-1=2n-3(n≥2),所以当n≥2时,an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)=1+3+5+…+2n-3=,则an=n2-2n+3(n≥2),则a16=162-2×16+3=227.故选D. 8.B　[解析] 方法一:∵f(x)+f(y)=f(xy)-1,∴可令f(x)=logax-1,又f(2)=0,∴loga2-1=0,∴a=2,∴f(x)=log2x-1.∵f(an)=log2an-1=n-1,∴an=2n,∴Sn==2n+1-2<2025,∴2n+1<2027.∵210=1024,211=2048,∴(n+1)max=10,∴nmax=9. 方法二:∵f(x)+f(y)=f(xy)-1,f(an)=n-1,f(2)=0=1-1,∴a1=2.令x=y=2,得f(2)+f(2)=f(4)-1,∴f(4)=1=2-1,∴a2=4;令x=2,y=4,得f(2)+f(4)=f(8)-1,∴f(8)=2=3-1,∴a3=8.∴a1=21,a2=22,…,an=2n,∴Sn==2n+1-2<2025,∴2n+1<2027.∵210=1024,211=2048,∴(n+1)max=10,∴nmax=9.故选B. 9.AD　[解析] 对于A,在an+1=Sn中,当n=1时,a2=S1=a1=3,故A正确;对于B,在an+1=Sn中,当n≥2时,an=Sn-1,两式相减可得an+1-an=Sn-Sn-1=an(n≥2),即an+1=2an(n≥2),即=2(n≥2),但==1≠2,所以数列{an}从第二项起构成公比为2的等比数列,不是整个数列都是等比数列,故B错误;对于C,由an+1=Sn可得Sn+1-Sn=Sn,即Sn+1=2Sn,又S1=a1=3,所以数列{Sn}是以3为首项,2为公比的等比数列,则Sn=3×2n-1,故C错误,D正确.故选AD. 10.CD　[解析] 对于A,由an=an+1+2,得an+1-an=-2,所以{an}是递减数列,故A错误;对于B,由an+1-an=-2,得数列{an}是公差d=-2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=6-2(n-1)=-2n+8,所以a10-a1=-12-6=-18,故B错误;对于C,令an<0,即-2n+8<0,解得n>4,故C正确;对于D,Sn===-n2+7n,又n∈N*,所以当n=3或4时,Sn取得最大值,故D正确.故选CD. 11.ACD　[解析] 对于A,B,C,由题意得an+1=当a1=10时,依次可得a2=5,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1,a7=4,a8=2,a9=1,…,则数列{an}从第4项开始呈现周期为3的规律,可得a7=4,故A正确;易得a2025=a6=1,故B错误;易得S100=10+5+8+4+32(2+1+4)=251,故C正确.对于D,若a3=16,则a2=32或a2=13.若a2=32,则a1=64或a1=29;若a2=13,则a1=26.所以a1的值有3种情况,故D正确.故选ACD. 12.2-　[解析] 由已知得,=,则Sn=++…++,Sn=++…++,两式相减得,Sn=+-=+-,所以Sn=2-. 13.78　9n-3n　[解析] 当n=1时,8S1+9=8a1+9=9a1+3,解得a1=6.当n=2时,8S2+27=8a1+8a2+27=9a2+3,解得a2=72,则S2=a1+a2=78.由8Sn+3n+1=9an+3得 8Sn-1+3n=9an-1+3(n≥2),两式相减得8Sn+3n+1-(8Sn-1+3n)=9an+3-(9an-1+3)(n≥2),整理得an=9an-1+2×3n(n≥2),即an+3n=9(an-1+3n-1)(n≥2),因为a1+3=9≠0,所以数列{an+3n}是首项为9,公比为9的等比数列,则an+3n=9n,即an=9n-3n. 14.2n-1　[解析] 因为4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,所以两式相减可得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=(an-bn)+2,所以数列{an-bn}是以a1-b1=1为首项,2为公差的等差数列,故an-bn=1+2(n-1)=2n-1. 15.解:(1)因为-an,an+1是关于x的方程x2-2x-bn=0的两个根, 所以-an+an+1=2, 所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列, 故an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)知an=2n-1,对于方程x2-2x-bn=0, 由根与系数的关系得-anan+1=-bn,故bn=(2n-1)(2n+1), 所以cn=+(-1)nan= +(-1)n·(2n-1)=(-1)n·(2n-1)+,所以S21=(-1+3)+(-5+7)+…+ (-37+39)-41+= 2×10-41+=-. 16.解:(1)令n=2,可得S2=a1+a2=4a2,故a2=a1=; 令n=3,可得S3=a1+a2+a3=9a3,故a3==. (2)由题意得Sn+1=(n+1)2an+1,故Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an, 化简得(n2+2n)an+1=n2an, 即(n+2)an+1=nan,由a1=1知an≠0,故=, 累乘可得××…××=××…××, 故an+1==, 故an=(n≥2). 又a1=1符合上式,故an=. (3)证明:由(2)可得Sn=n2an=. 当n=1时,S1==1,a1+1=2,故S1<a1+1; 当n≥2时,Sn<=2,an+n>n≥2,故Sn<an+n. 综上,Sn<an+n. 17.解:(1)①设{an}的公比为q(q>0),{bn}的公差为d, 由题意可得解得或(舍去), 所以an=3n-1(n∈N*),bn=2n-1(n∈N*),故cn=(n∈N*). 记数列{cn}的前n项和为Sn, 则Sn=c1+c2+c3+…+cn-1+cn=1+++…++, 故Sn=+++…++, 两式相减得Sn=1+2×-=2-,故Sn=3-(n∈N*). ②数列{cn}是“凸数列”.证明如下:由①知,cn=, 所以ci-1ci+1=·=<==(i≥2,i∈N*), 故数列{cn}是“凸数列”. (2)证明:记ai=S=a2+a3+…+an-1,则原不等式等价于(n-1)2·S(S+a1+an)≥n(n-2)(S+a1)(S+an), 即(n-1)2·S2+(n-1)2·S(a1+an)≥n(n-2)·S2+n(n-2)·S(a1+an)+n(n-2)·a1an, 故只需证明S2+S(a1+an)≥n(n-2)·a1an. 因为ai-1ai+1≤(i≥2,i∈N*),an>0,所以≤≤≤…≤≤(n≥2), 故a1an≤a2an-1≤a3an-2≤…, 故S=a2+a3+…+an-1=[(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)]≥++…++≥(n-2),当且仅当a1=a2=…=an时等号成立, 故S2+S(a1+an)≥(n-2)2a1an+2(n-2)·a1an=(n2-2n)·a1an,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立,即S2+S(a1+an)≥n(n-2)·a1an,得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十)数列递推与数列求和 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·河北承德模拟] 在数列{an}中,a1=1,=(n∈N*),则= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.2 C. D. 2.[2025·福建厦门模拟] 数列{an}满足an+an+1=3n,且a1=1,则a100= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.148 B.149 C.152 D.299 3.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+-,则an= (　 ) A.4+ B.4- C.2+ D.2- 4.[2026·广东深圳开学考] 记数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,若Sn=2an(n≥2),则S2026= (　 ) A.22024 B.22025 C.22026 D.22027 5.[2025·河南七校联考] 若数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,a2=3,an+an+2=an+1,则S2024的值为 (　 ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.已知数列{an}满足an+1=an+4,且a1=1,则{an}的通项公式为 (　 ) A.an=12- B.an= C.an=12-11× D.an=8+ 7.二阶等差数列的特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为2,3,6,11,则该数列的第16项为 (　 ) A.196 B.197 C.198 D.227 8.[2025·浙江Z20联盟二联] 定义在(0,+∞)上的增函数f(x)满足:f(x)+f(y)=f(xy)-1,且f(2)=0,f(an)=n-1.已知数列{an}的前n项和为Sn,则使得Sn<2025成立的n的最大值是 (　 ) A.8 B.9 C.10 D.11 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2026·鞍山模拟] 已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=3,an+1=Sn,则下列选项正确的是 (　 ) A.a2=3 B.数列{an}是等比数列 C.Sn=3(2n-1) D.数列{Sn}是等比数列 10.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=6,an=an+1+2,则下列说法正确的是 (　 ) A.{an}是递增数列 B.a10-a1=-14 C.当n>4时,an<0 D.当n=3或4时,Sn取得最大值 11.已知各项均为正数的数列{an}满足an+1=数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是 (　 ) A.若a1=10,则a7=4 B.若a1=10,则a2025=4 C.若a1=10,S100=251 D.若a3=16,则a1的值有3种情况 三、填空题:本题共3小题. 12.已知an=n+1,则数列的前n项和Sn=　　　　.  13.[2025·沈阳模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn,若8Sn+3n+1=9an+3,则S2=　　　　,an=　　　　.  14.[2025·杭州二模] 已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,则an-bn=　　　　.  四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·广东佛山三模] 已知数列{an},{bn}满足a1=1,且-an,an+1是关于x的方程x2-2x-bn=0的两个根. (1)求an; (2)设cn=+(-1)nan,求数列{cn}的前21项和S21. 16.记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Sn=n2an. (1)求a3; (2)求{an}的通项公式; (3)证明:Sn<an+n. 17.[2025·安徽蚌埠调研] 如果数列{an}的任意相邻三项ai-1,ai,ai+1满足ai-1ai+1≤(i≥2,i∈N*),则称该数列为“凸数列”. (1)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,1+a3=b2+b4,a2+2=b3.记cn=. ①求数列{cn}的前n项和; ②判断数列{cn}是不是“凸数列”,并证明你的结论. (2)设各项均为正数的数列a1,a2,…,an是“凸数列”,求证:其中n>2,n∈N*. 学科网（北京）股份有限公司 $