重点强化练（9）等差数列与等比数列（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦等差与等比数列核心素养，以题构建“定义-性质-应用”递进训练体系，覆盖基础计算、性质推导及实际建模。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题（1,2,12,13）|基本量计算|从定义出发，通过通项、前n项和公式建立量间关系| |性质应用|5题（3,4,9,10,15(1)）|公式变形与性质推导|结合中项、单调性等性质，深化概念间逻辑关联| |综合拓展|4题（5,7,8,11）|跨知识融合|关联函数、不等式，培养推理与批判性思维| |实际应用|4题（6,14,16,17）|情境建模|将现实问题抽象为数列模型，发展应用意识|

重点强化练(九)等差数列与等比数列 1.C　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 解得所以S5=5a1+d=25.故选C. 2.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,则S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168,a2-a5=a1q(1-q3)=a1q(1-q)(1+q+q2)=42,∴q(1-q)=,即4q2-4q+1=0,则q=,∴a1=168×=96,∴a6=a1·q5=96×=3,故选C. 3.D　[解析] 设等比数列的公比为q,由等比数列的通项公式可得a1q2=-a1q+2a1,整理得q2+q-2=0,解得q=1或q=-2.当q=1时,==2;当q=-2时,===q4+1=17.所以的值为2或17.故选D. 4.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为2a3+a9=12且2S3,S6,S9成等差数列,所以2a1q2+a1q8=12,3S6=S9+2S3,所以2S6-2S3=S9-S6,所以2(a4+a5+a6)=a7+a8+a9,可得q3=2,所以2a1q2+a1q8=a1q5+2a1q5=3a6=12,所以a6=4.故选C. 5.D　[解析] 由题意知P是△ABC的边BC所在直线上任意一点,即P,B,C共线,则由=a3+a16,可得a3+a16=1,故S18===9.故选D. 6.C　[解析] 设该公司从第1年到第10年(2024年到2033年)的销售额(单位:万元)分别为a1,a2,…,a10,则当n∈N*,n≤9时,an+1=1.3an-3,即an+1-10=1.3(an-10),因此数列{an-10}是首项为90,公比为1.3的等比数列,所以an-10=90×1.3n-1,即an=90×1.3n-1+10,则a1+a2+…+a10=+10×10≈300×(13.8-1)+100=3940,所以该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元.故选C. 7.B　[解析] ∵Sn=(2Sn+1)Sn+1,∴Sn=Sn+1+2Sn·Sn+1,即-=2,又a1=1,∴==1,∴是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,∴Sn=,∴S11=,a5=S5-S4=-=-,∴=-×21=-.故选B. 8.A　[解析] 因为{an}是等比数列,公比q满足|q|<1,所以前n项和Sn满足|Sn|==·|1-qn|<·(1+|qn|)<,故“|q|<1”是“{an}是和有界数列”的充分条件;反之,若取q=-1,则|Sn|≤|a1|<|a1|+1,此时{an}是和有界数列,故“|q|<1”不是“{an}是和有界数列”的必要条件.故选A. 9.BC　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,依题意得解得所以an=2n-1,故a3+a5=22+24=20,故B,C正确,A错误;对于D,log2=1-n,则数列为递减数列,故D错误.故选BC. 10.BD　[解析] 因为Sn=3n+r,所以an=当r=3时,a1=a2=6,所以数列{an}不是递增数列;若数列{an}是等比数列,则3+r=2,所以r=-1;因为a2n=2·32n-1,所以数列{a2n}一定是等比数列;当r≠-1时,数列{a2n-1}不是等比数列.故选BD. 11.BC　[解析] 对于A,当{an}为等差数列时,设其公差为d,则d>0,a1>0,Sn=na1+,当n≥2时,bn-bn-1=-==,因为an-Sn-1=a1+(n-1)d-(n-1)a1-=(2-n)a1+(n≥2),d>0,a1>0,所以当n>4时,an-Sn-1=(2-n)a1+<0,即bn-bn-1=<0,不满足{bn}为递增数列,故A错误.对于B,当{an}为等比数列时,不妨设an=2n-1,则Sn==2n-1,bn==1-,易知为递减数列,所以{bn}为递增数列,故B正确.对于C,若{bn}是递减数列,则当n≥2时,bn-bn-1=-=<0,即Sn<2Sn-1(n≥2),故Sn<2Sn-1<22Sn-2<23Sn-3<…<a1·2n-1(n≥2),故C正确.对于D,若{bn}是递减数列,则当n≥2时,bn-bn-1=-==<0,即an<Sn-1=Sn-an(n≥2),即2an<Sn(n≥2),可得2<(n≥2),故不存在k≥2,使得≤2,故D错误.故选BC. 12.9　[解析] 由数列{an}满足an+1=3an,可得=3,所以数列{an}是公比q=3的等比数列.根据等比数列的性质,可得a4a5=a3a6,因为a2a4a5=a3a6,所以a2=1,所以a4=a2q2=1×9=9. 13.　[解析] 因为=,所以设Sn=kn(5n+2),Tn=kn(n+3),k≠0,则== =. 14.80π　[解析] 由题意可知,每段圆弧的圆心角为,设第n段圆弧的半径为rn,则可得rn+1=rn+1,r1=1,故数列{rn}是首项r1=1,公差d=1的等差数列,则rn=1+n-1=n.故当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为r1+r2+…+r15=(r1+r2+…+r15)=×=80π. 15.解:(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,由a1=3,a3=9, 得log2(9-1)=log2(3-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)·×1=n,可得an=2n+1,故数列{an}的通项公式为an=2n+1. (2)证明:因为==,所以++…+=+++…+==1-<1,即++…+<1. 16.解:(1)由直线l经过原点且一个方向向量为μ=(3,1),可知l的方程为y=x,因此对任意正整数n,有an=an+1,即an+1=3an. 因为a3=2a2+6,所以9a1=6a1+6,解得a1=2,所以{an}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an=2×3n-1. (2)因为数列{bn}是以4为首项,2为公差的等差数列,所以bn=2n+2. 因为an=2×3n-1,所以2m+2=2×3t-1,t,m∈N*,即m==3t-1-1. 当t=1时,m=0,不符合题意,舍去;当t=2时,m=2,则m的最小值为2;当t≥2时,m=3t-1-1均有解.所以cn=3n-1(n∈N*),可得Sn=-n. 17.解:(1)令n=1,则2a2-a1=,所以a2=,所以S2=a1+a2=, 所以T2=S2=b1=,解得b1=,所以bn=-5. 由2an+1-an=,可知2n+1an+1-2nan=,所以{2nan}为等差数列, 所以2nan=+=,故an=. (2)当n≥2时,an-an-1=-an,累加可得,an-a1=+…+-Sn+a1=--Sn+,所以Sn=2-.Tn=×=2-2.当n是奇数时,Sn<2<Tn;当n是偶数时,记n=2k,k∈N*,c2k==,则=≥×=>1,所以{c2k}是递增数列,所以c2k≥c2=×=>1,所以2-T2k>2-S2k,即2-Tn>2-Sn,所以Sn>Tn.综上,当n是奇数时,Sn<Tn;当n是偶数时,Sn>Tn. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(九)等差数列与等比数列 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,a5+a6=20,则S5= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.9 B.16 C.25 D.36 2.[2025·江苏南京一模] 已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= (　 ) A.7 B.6 C.3 D.2 3.[2025·辽宁三校联考] 在等比数列{an}中,记其前n项和为Sn,已知a3=-a2+2a1,则的值为 (　 ) A.2 B.17 C.2或8 D.2或17 4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若2a3+a9=12且2S3,S6,S9成等差数列,则 (　 ) A.a5=4 B.a5=6 C.a6=4 D.a6=6 5.[2025·德州二中质检] 已知点P是△ABC的边BC所在直线上任意一点,Sn是等差数列{an}的前n项和,若向量=a3+a16,则S18= (　 ) A.1 B.100 C.50 D.9 6.某农村合作社引进先进技术提高某农产品的深加工技术,以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第1年(2024年)该公司该产品的销售额为100万元,则按照此计划,该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为 (　 ) (参考数据:1.39≈10.6,1.310≈13.8,1.311≈17.9) A.964万元 B.2980万元 C.3940万元 D.5170万元 7.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,Sn=(2Sn+1)Sn+1,则= (　 ) A.- B.- C.-2 D.- 8.[2025·浙江镇海中学模拟] 记数列{an}的前n项和为Sn,若存在实数M>0,使得对任意的n∈N*,都有|Sn|<M,则称数列{an}为“和有界数列”.已知{an}是等比数列且公比为q,则“|q|<1”是“{an}是和有界数列”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.在等比数列{an}中,a1a2=2,a3=4,则 (　 ) A.{an}的公比为 B.{an}的公比为2 C.a3+a5=20 D.数列为递增数列 10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n+r,则下列说法正确的是 (　 ) A.当r=3时,数列{an}是递增数列 B.若数列{an}是等比数列,则r=-1 C.数列{a2n-1}一定是等比数列 D.数列{a2n}一定是等比数列 11.[2025·辽宁五校期末] 已知无穷数列{an}满足an>0(n∈N*),设其前n项和为Sn,记bn=,则 (　 ) A.存在等差数列{an},使得{bn}是递增数列 B.存在等比数列{an},使得{bn}是递增数列 C.若{bn}是递减数列,则Sn<a1·2n-1(n≥2) D.若{bn}是递减数列,则可能存在k≥2,使得≤2 三、填空题:本题共3小题. 12.[2025·上海三模] 已知数列{an}满足an≠0,an+1=3an,a2a4a5=a3a6,则a4=　　　　.  13.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则的值为　　　　.  14.蚊香具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关,如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推.当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为　　　　.  四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:++…+<1. 16.[2025·山东青岛三模] 在平面直角坐标系中,已知直线l经过原点,μ=(3,1)是l的一个方向向量.数列{an}满足点(an+1,an)均在l上,a3=2a2+6. (1)求{an}的通项公式; (2)已知{bn}是以4为首项,2为公差的等差数列,若{an}与{bn}的公共项为bm,m的值由小到大构成数列{cn},求{cn}的前n项和Sn. 17.设Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,2an+1-an=,a1=,数列{bn}是公比为-的等比数列,8S2=9T2. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)比较Sn和Tn的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $