重点强化练（8）解三角形（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦解三角形核心素养，以题载法构建"定理应用-综合计算-实际建模"的递进训练体系，强化逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础定理应用|8选择+3填空|正弦/余弦定理直接应用、多解问题|从边边角关系到定理选择，构建"已知条件→定理匹配→结果验证"推理链| |综合计算|3多选+3解答|面积公式结合、角平分线模型、三角恒等变换|融合代数运算与几何直观，形成"量关系转化→方程构建→参数求解"思维路径| |实际应用|1选择(航海问题)|方位角建模、距离计算|体现数学建模素养，实现"实际情境→三角形抽象→定理应用"转化|

重点强化练(八)解三角形 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·贵州贵阳七校联考四] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,a=,c=1,则角C的大小是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D.或 2.已知△ABC中,AB=,B=,BC=4,则AC= (　 ) A. B.3 C. D. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为 (　 ) A.1 B. C.2 D.2 4.[2025·浙江温州模拟] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A=,B=2A,b=8,则a= (　 ) A. B.5 C. D. 5.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若a∶b∶c=4∶5∶6,则= (　 ) A. B.1 C. D.2 6.[2025·湖南郴州三模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,a=4,BC边上的高AD=,则b+c= (　 ) A.2 B.4 C.8 D.4 7.如图,A,B是海面上位于东西方向相距(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距4海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为20海里/时,则该救援船到达D点最快所需时间为 (　 ) A.1小时 B.0.3小时 C.0.5小时 D.0.2小时 8.[2026·湖北武汉江汉区摸底] 已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin 2B+sin 2C=1,若S△ABC=2,则△ABC的外接圆半径R= (　 ) A.2 B.2 C.4 D.4 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2026·福建漳州第一次质检] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=30°,a=1,b=,则c的值可能是 (　 ) A.1 B. C.2 D.2 10.[2025·浙江金华十校二模] 已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=S△ABC,则下列条件能使△ABC为锐角三角形的是 (　 ) A.A= B.a=2,b=3 C.a=2,c=3 D.b=3,c=2 11.[2025·西安模拟] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin B+bcos A=c,且sin A+cos A=2tan B,则下列结论中正确的是 (　 ) A.A= B.B= C.sin C= D.若a=2,则△ABC的面积为 三、填空题:本题共3小题. 12.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsin A=5sin B,则a=　　　　.  13.l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1,l3位于l2两侧,l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为2,点A,B,C分别在l1,l2,l3上运动.若BA=BC,则△ABC面积的最小值为　　　　.  14.[2025·河南安阳三模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,+cos A=2,则的值为　　　,cos B的取值范围为　　　.  四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·沧州二联] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+b2-c2=absin C. (1)求cos C的值; (2)若c=5,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 16.已知△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求角A的大小; (2)设点D为BC上一点,AD平分内角A,且b=3,c=6,求AD的长度. 17.[2025·如皋三模] 在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积S满足2S=(b2-a2)sin B. (1)求证:B=2A; (2)求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(八)解三角形 1.B　[解析] 由正弦定理得=,则sin C===,又a>c,所以A>C,故C为锐角,所以C=.故选B. 2.A　[解析] 在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos=7,所以AC=.故选A. 3.A　[解析] 根据正弦定理得sin B=2sin Asin B,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以1=2sin A,解得sin A=,所以S△ABC=bcsin A=×4×=1.故选A. 4.B　[解析] 因为B=2A,所以A为锐角,故cos A==.由正弦定理得=,故a====5.故选B. 5.B　[解析] 因为a∶b∶c=4∶5∶6,所以设a=4k,k>0,则b=5k,c=6k,由余弦定理知 cos A===.由正弦定理,可得sin A∶sin C=a∶c=2∶3,则==2××cos A=2××=1.故选B. 6.A　[解析] 因为BC边上的高AD=,a=4,所以根据三角形的面积公式得S△ABC=a·AD=bcsin A,将A=,a=4,AD=代入,可得×4×=bcsin,即2=bc×,所以bc=8.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即42=b2+c2-2bccos,即16=b2+c2-bc,可得16=(b+c)2-2bc-bc,即16=(b+c)2-3bc,把bc=8代入上式可得16=(b+c)2-3×8,所以(b+c)2=16+24=40,所以b+c=2.故选A. 7.B　[解析] 由题意,在△ABD中,AB=3+,∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,所以∠ADB=105°,由正弦定理可得,=,则BD====2.在△BCD中,∠DBC=180°-60°-60°=60°,BC=4,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos 60°=(4)2+(2)2-2×4×2×=48+12-24=36,所以CD=6,因此救援船到达D点最快所需时间为==0.3(小时).故选B. 8.A　[解析] sin 2A+sin 2C+sin 2B=1,即sin[(A+C)+(A-C)]+sin[(A+C)-(A-C)]+ 2sin Bcos B=1,即2sin(A+C)cos(A-C)+2sin Bcos B=1,又A+B+C=π,所以sin(A+C)= sin B,cos(A+C)=-cos B,所以2sin Bcos(A-C)-2sin Bcos(A+C)=1,所以2sin B[cos(A-C)-cos(A+C)]=1,所以4sin Bsin Asin C=1,可得sin Bsin Asin C=. 因为S△ABC=absin C=2,a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以×2Rsin A×2Rsin B×sin C=2,所以R2sin Asin Bsin C=1,所以R2=4,可得R=2.故选A. 9.AC　[解析] 根据余弦定理可得cos A====,所以4+2c2=6c,即2c2-6c+4=0,即c2-3c+2=0,即(c-1)(c-2)=0,解得c=1或c=2.故选AC. 10.BC　[解析] 因为a2+b2-c2=S△ABC,所以由余弦定理可得2abcos C=×absin C,所以tan C=,又C∈(0,π),所以C=.对于A,当A=时,B=,此时△ABC为直角三角形,故A错误;对于B,当a=2,b=3时,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×cos=7,所以c=,所以cos B=>0,所以B为锐角,又b>c>a,所以B>C>A,此时△ABC为锐角三角形,故B正确;对于C,当a=2,c=3时,由余弦定理可得9=b2+4-2×2×b×cos,可得b=1+,所以cos B=>0,所以B为锐角,又b>c>a,所以B>C>A,此时△ABC为锐角三角形,故C正确;对于D,当b=3,c=2时,由余弦定理可得4=a2+9-2×3×a×cos,即a2-3a+5=0,因为Δ=9-4×5<0,所以该方程无实根,所以△ABC无解,故D错误.故选BC. 11.ABC　[解析] 因为asin B+bcos A=c,所以由正弦定理可得sin Asin B+ sin Bcos A=sin C,又sin C=sin(A+B),所以sin Asin B+sin Bcos A=sin Acos B+cos Asin B,即sin Asin B=sin Acos B.因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以sin B=cos B,即tan B=1,又B∈(0,π),所以B=.因为sin A+cos A=2tan B,所以sin A+cos A=2,所以2sin=2,即sin=1.因为A∈,所以A+∈,则A+=,解得A=,故选项A,B正确.因为A=,B=,所以sin C=sin(A+B)=sin=sincos+cossin=×+×=,故选项C正确.若a=2,则由正弦定理可得b===2,所以S△ABC=absin C=×2×2×==+1,故选项D错误.故选ABC. 12.5　[解析] 因为bsin A=5sin B,所以由正弦定理可得ba=5b,又b≠0,所以a=5. 13.　[解析] 如图,过A作l3的垂线,垂足为E,设AC与l2的交点为F,过B作BD⊥AC于D,因为AB=BC,所以D是AC的中点.因为l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为2,所以AF=AC,则DF=AC,所以BF2=BD2+DF2≥2BD·DF=S△ABC,又S△ABC=BF,所以(S△ABC)2=BF2≥×S△ABC=S△ABC,故S△ABC≥,当且仅当BD=DF时,△ABC的面积取得最小值. 14.2　　[解析] 由+cos A=2,得+cos A=2,即sin Acos B+ cos Asin B=2sin B,即sin(A+B)=sin C=2sin B,由正弦定理得c=2b,即=2.由余弦定理得cos B====+≥2=,当且仅当=,即b=时取等号,又B∈(0,π),所以cos B<1,故cos B的取值范围为. 15.解:(1)由余弦定理可知,a2+b2-c2=2abcos C.因为a2+b2-c2=absin C, 所以2abcos C=absin C,即cos C=sin C.由sin2C+cos2C=1,且sin C>0, 可得sin C=,则cos C=. (2)△ABC的面积S=absin C=ab=,则ab=6.因为c=5,所以由c2=a2+b2-2abcos C,可得25=a2+b2-=(a+b)2-=(a+b)2-20,则a+b=3,故△ABC的周长为3+5. 16.解:(1)在△ABC中,由正弦定理及2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 化简可得b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理得cos A==-,又0<A<π,所以A=. (2)AD平分内角A,则∠BAD=∠DAC=, 由S△ABC=S△ABD+S△CAD可得bcsin=c×AD×sin+b×AD×sin, 因为b=3,c=6,所以18=6AD+3AD=9AD, 故AD=2. 17.解:(1)证明:由2S=(b2-a2)sin B得2×acsin B=(b2-a2)sin B,所以ac=b2-a2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,所以b2-a2=c2-2accos B=ac,化简得c-2acos B=a,由正弦定理得sin C-2sin Acos B=sin(A+B)-2sin Acos B=sin A,即sin Acos B+cos Asin B- 2sin Acos B=sin A,化简得sin(B-A)=sin A.因为0<A<,0<B<,所以-<B-A<,又正弦函数y=sin x在上单调递增,所以B-A=A,即B=2A. (2)由正弦定理得=cos B-=cos 2A-=cos 2A-=2cos2A-3cos A-1,因为△ABC为锐角三角形,所以解得<A<,则<cos A<.令t=cos A,f(t)=2t2-3t-1,其中<t<,易知函数f(t)在上单调递减,在上单调递增,则f(t)min=f=-.因为f=,f=-,所以f<f,故f(t)max=f=.因此,的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $