重点强化练（7）三角函数的图象与性质（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质，通过分层题型构建从概念理解到实际应用的完整训练体系，培养数学抽象与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|5题|周期/定义域/值域计算|从正余弦函数基本性质出发，逐步引入绝对值、复合函数变换| |图象变换|3题|平移/对称/零点问题|以相位变换为核心，构建"解析式-图象特征-参数求解"逻辑链| |综合应用|6题|单调性/极值/实际建模|结合潮汐问题，体现"数学抽象-模型构建-问题解决"思维路径| |开放创新|1题|函数构造题|融合定义域、值域、极值点概念，考查知识整合与创新意识|

重点强化练(七)三角函数的图象与性质 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的 1.[2025·广东揭阳三模] 函数f(x)=2025|tan x|的最小正周期是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.2π B.π C. D. 2.[2025·浙江杭州二中预测] 函数y=sin,x∈的值域为 (　 ) A. B. C. D. 3.[2025·山东临沂5月二模] 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关于y轴对称,则φ= (　 ) A.- B.- C. D. 4.[2025·贵州毕节二模] 已知函数f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=0,f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为,则ω= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.当x∈[0,2π]时,函数y=sin x与y=2cos的图象的交点个数为 (　 ) A.3 B.4 C.6 D.8 6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)在区间上单调递减,且直线x=和点分别是函数y=f(x)图象的对称轴和对称中心,则f= (　 ) A.1 B. C. D. 7.设函数f(x)=sin在区间(0,π)上恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 8.[2026·长郡二十校联考] 若对任意θ∈R,存在x∈,使得sin x≤,则m的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2025·湖南长沙一中月考(六)] 已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的定义域为 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在上单调递增 10.[2025·广东肇庆三模] 已知函数f(x)=sin x,g(x)=cos x,则下列结论正确的是 (　 ) A.f[g(x)]为奇函数 B.g[f(x)]为偶函数 C.f[g(x)]在[0,π]上仅有1个零点 D.g[f(x)]的最小正周期为π 11.受潮汐影响,某港口5月份每一天的水深y(单位:米)与时刻x(单位:时)的关系都满足函数y=Asin(ωx+φ)+h.根据该港口的安全条例,要求船底与水底的距离必须不小于2.5米,否则该船必须立即离港.一艘船满载货物,吃水深度(即船底到水面的距离)为6米,计划于5月10日进港卸货(该船进港立即可以开始卸货),已知卸货时吃水深度以0.3米/时的速度匀速减少,卸完货后空船的吃水深度为3米(不计船停靠码头和驶离码头所需时间).下表为该港口5月某天的时刻与水深的数据: 时刻 2:00 5:00 8:00 11:00 14:00 17:00 20:00 23:00 水深 10 7 4 7 10 7 4 7 下列说法正确的是 (　 ) A.水深y(单位:米)与时刻x(单位:时)的函数关系式为y=3sin+7,x∈[0,24) B.该船满载货物时可以在0:00到4:00之间以及12:00到16:00之间进入港口 C.该船卸完货物后可以在19:00离开港口 D.该船5月10日完成卸货任务的最早时刻为16:00 三、填空题:本题共3小题. 12.[2025·湖南岳阳二模] 将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)在区间上的取值范围是　　　　.  13.写出一个满足条件①②③的函数f(x)=　　　　.  ①f(x)的定义域为R;②f(x)的值域为[0,1];③x=1为f(x)的极值点. 14.函数f(x)=3cos-1在上的零点从小到大依次为x1,x2,…,xn(n≥3),则x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值为　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间上的最值及对应的x的值; (3)当x∈时,写出函数f(x)的单调递增区间. 16.已知函数f(x)=sin+cos+. (1)求f(x)的单调递减区间; (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=g(x)的图象,当函数y=g(x)-k在上有一个零点时,求k的取值集合. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(七)三角函数的图象与性质 1.B　[解析] 因为函数y=|tan x|的最小正周期与y=tan x的最小正周期一致,均为π,所以函数f(x)的最小正周期为π.故选B. 2.B　[解析] 函数y=sin=cos x,∵x∈,∴-≤y≤1.故选B. 3.B　[解析] 由题意得g(x)=f=sin是偶函数,所以 解得故选B. 4.B　[解析] 因为f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=0,f(x2)=1,所以f(x)图象的一个对称中心为(x1,0),一条对称轴为直线x=x2,又|x1-x2|的最小值为,所以相邻的对称中心和对称轴之间的距离为,即最小正周期的为,则最小正周期为π,则=π,解得ω=2.故选B. 5.C　[解析] 因为函数y=sin x的最小正周期为2π,所以函数y=sin x在[0,2π]上有1个周期的图象.因为函数y=2cos的最小正周期为,所以函数y=2cos在[0,2π]上有3个周期的图象.在平面直角坐标系中,作出两个函数在[0,2π]上的图象,如图所示.由图可知,函数y=sin x与y=2cos的图象有6个交点.故选C. 6.B　[解析] 由题意,函数f(x)的最小正周期T满足=-=,则T=π,即T==π,解得ω=2.因为直线x=是函数y=f(x)图象的对称轴,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin,则f=2sin=.故选B. 7.C　[解析] 因为x∈(0,π),所以ωx+∈,由函数f(x)=sin在区间(0,π)上恰有三个极值点、两个零点,得<ωπ+≤3π,解得<ω≤.故选C. 8.A　[解析] 由sin x≤,得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,由sin x>,得+2kπ<x<+2kπ,k∈Z,若对任意θ∈R,存在x∈,使得sin x≤,则的区间长度不小于sin x>的解集的区间长度,∴(m+θ)-≥-,k∈Z,即m-≥,∴m≥.故选A. 9.BCD　[解析] 对于A,由函数f(x)=tan,可得f(x)的最小正周期T=,所以A不正确;对于B,令2x+≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为,所以B正确;对于C,令2x+=,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,当k=0时,可得x=-,所以函数f(x)的图象关于点对称,所以C正确;对于D,由x∈,可得2x+∈,根据正切函数的性质,可得函数f(x)在上单调递增,所以D正确.故选BCD. 10.BCD　[解析] 对于A,f[g(x)]=sin(cos x),其定义域为R,关于原点对称,因为f[g(-x)]=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f[g(x)],所以f[g(x)]为偶函数,故A错误;对于B,g[f(x)]=cos(sin x),其定义域为R,关于原点对称,因为g[f(-x)]=cos[sin(-x)]=cos(-sin x)=cos(sin x)=g[f(x)],所以g[f(x)]为偶函数,故B正确;对于C,令f[g(x)]=0,即sin(cos x)=0,得cos x=kπ,k∈Z,又-1≤cos x≤1,所以cos x=0,因为x∈[0,π],所以x=,所以f[g(x)]在[0,π]上仅有1个零点,故C正确;对于D,g[f(x)]=cos(sin x),易知cos[sin(x+π)]=cos(sin x),即g[f(x+π)]=g[f(x)],假设存在0<T<π,使得cos[sin(x+T)]=cos(sin x)对任意的x∈R恒成立,令x=0,则cos(sin T)=cos 0=1,所以sin T=2kπ,k∈Z,因为-1≤sin T≤1,所以sin T=0,则T=nπ,n∈Z,又0<T<π,所以这样的T不存在,所以g[f(x)]的最小正周期为π,故D正确.故选BCD. 11.ABD　[解析] 依题意得A==3,h==7,=14-2,解得ω=,显然函数y=3sin+7的图象过点(2,10),可得sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,结合-<φ<,可得φ=,所以y=3sin+7,x∈[0,24),故A正确;由整理得即 即解得0≤x≤4或12≤x≤16,所以该船满载货物时可以在0∶00到4∶00之间以及12∶00到16∶00之间进入港口,故B正确;该船卸完货物后符合安全条例的最小水深为5.5米,19∶00时水深为3sin+7=米,易知-+7<5.5,故C错误;由B选项知,该船满载货物时可以在0∶00进入港口,开始卸货,卸货x小时后,符合安全条例的最小水深为(-0.3x+6+2.5)米,易知函数y=-0.3x+6+2.5与y=3sin+7的图象在y轴右侧从左往右数的第一个交点为(5,7),则卸货5小时后,在5∶00该船必须暂时驶离港口,此时该船的吃水深度为4.5米,下次水深为7米的时刻为11∶00,故该船在11∶00可返回港口继续卸货,5小时后完成卸货,此时为16∶00,故该船在0∶00进港开始卸货,5∶00暂时驶离港口,11∶00返回港口继续卸货,16∶00完成卸货任务,故D正确.故选ABD. 12.　[解析] 依题意,g(x)=f=sin=sin,当x∈时,2x+∈,则-≤sin≤1,所以g(x)在区间上的取值范围为. 13.(答案不唯一)　[解析] 令f(x)=,则f(x)的定义域为R,满足①;由-1≤sinx≤1,得f(x)的值域为[0,1],满足②;当x∈(0,1)时,x∈,sinx>0,f(x)==sinx在(0,1)上单调递增,当x∈(1,2)时,x∈,sinx>0,f(x)==sinx在(1,2)上单调递减,所以x=1为f(x)的极值点,满足③. 14.4π　[解析] 令f(x)=3cos-1=0,得cos=,当x∈时,2x-∈,因为函数f(x)在上的零点从小到大依次为x1,x2,…,xn,所以函数y=cos x与y=在上的图象交点的横坐标从小到大依次为2x1-,2x2-,…,2xn-.画出函数y=cos x与y=在上的大致图象如图, 由图可知,函数y=cos x与y=在上的图象有4个交点,即n=4,且=0,=π, =2π,则x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,则x1+2x2+2x3+x4=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)=++=4π. 15.解:(1)由图可知A=2,·=-=,所以ω=2,又点在f(x)的图象上,所以2×+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=,故f(x)=2sin. (2)当x∈时,2x+∈,则sin∈,故f(x)∈[-2,]. 所以函数f(x)在区间上的最大值为,此时有2x+=,即x=0;函数f(x)在区间上的最小值为-2,此时有2x+=,即x=. (3)当x∈时,2x+∈,则当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,所以当x∈时,函数f(x)的单调递增区间为. 16.解:(1)f(x)=sin+cos+=sin+,令+2kπ≤+≤+2kπ(k∈Z),解得+4kπ≤x≤+4kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)=sin+的图象,因为0≤x≤,所以-≤-≤π,则0≤sin+≤,要使函数y=g(x)-k在上有一个零点,只需y=g(x)与y=k在上的图象只有一个交点,作出y=g(x)在上的图象如图. 由图可得当0≤k<或k=时,y=g(x)与y=k在上的图象只有一个交点,所以实数k的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $