甘肃金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高一下学期学业质量检测(三)数学试卷

永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（三） 高一数学 考生注意： 渴 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：湘教版必修第一册第6章，必修第二册第1章一第5章。 雾 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.下列物理量不能用向量表示的是 A.质量 B.位移 C.速度 D.加速度 E长 p 2.已知复数一则：在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知空间中的三条直线l,m,n,若1与m异面，且l与n异面，则m与n A.异面 B.相交 C.平行 D.均有可能 4.已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于 A.12π B.15元 C.36元 D.45元 製 5.如图，△OA'B'是水平放置的△OAB的直观图，OA'=3,OB'=4,则△OAB的面积为 3 45 0' 4 A.4 B.6 C.8 D.12 6.已知向量a,b都是单位向量，且a一b=1,则a十b= A. B.3 C.1 D 部 7,甲、乙两名选手进行围横比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为系若 比赛采用3局2胜制（先胜2局者赢得比赛），则甲赢得比赛的概率为 A号 c. D. 2 27 【高一质检（三）·数学第1页（共4页）】 ZH260732A 8.如图，点P在二面角a一AB-B的棱AB上，分别在a,B内引射线PM,PN,截得PM=PV.若 ∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角a一AB-B的平面角的大小为 A.45° B.60° C.90° D.120° 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.现有9个数据：2,2,2,2,3,3,4,4,5，则这组数据的 A.众数是2 B.平均数是3 C.极差是3 D.中位数是2.5 10.已知cos acos B=5 9,sin asin 25则 A.cos(a+B)-/6 Bsn(+e小sin(受-)-香 C.cos(a-B)-6 D.tan atan B=2 11.软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象.如图，这是 一个边长为10的正六边形的软木锅垫ABCDEF,则下列选项正确的是 A.向量A它与向量BD是相等向量 B.Ai.F它=505 C.AD.AB=AB2 D.AC+AE=30 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知m∈R,i是虚数单位，复数x=m+m一2十(m一1)i.若之是纯虚数，则m的值为 18.已知sin号十cas号-誓，那么sina 14.如图，为了测量河对岸的塔高AB,某测量队选取与塔底B在同一水平面内且相距20米的两 个测量基点C与D.现测量得∠BCD=30°，在点C,D处测得塔顶A的仰角分别为45°，60°， 若河宽至少12米，则塔高AB= 米. 【高一质检（三）·数学第2页（共4页）】 ZH260732A 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(13分) 已知as。=-言且<0< 3π (1)求cos2a的值； (2)若ang号，求an(a+)的值。 16.(15分) 已知向量a=(一1,2)，b=(3,1). (1)求a与b夹角的余弦值； (2)若(a+b)⊥(2a一b),求实数k的值. 17.(15分) 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，该市文 旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上 为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图 频率/组距 0.040------ 0.015 0.010 0.005 05060708090100分数 (1)求直方图中x的值，并估计评分数据的第75百分位数； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在[60,70)，[80,90)的两组中共抽取4人，再从这4人 中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率. 【高一质检（三）·数学第3页（共4页）】 ZH260732A 18.(17分) 如图，在正方体ABCD一AB1C1D1中，E为DD1的中点. (1)求证：BD1∥平面AEC; (2)取CC1中点F,求证：平面AEC∥平面BFD1; A (3)求异面直线AE与DB所成角的余弦值， 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知(2 acos C+2 ccos A)cosA=b. (1)求角A; (2)若a=2,AC.AB=2,求△ABC的周长： (③)如图，∠BAC的平分线AD交BC于点D.AD=2,求D+的取值范周。 【高一质检（三）·数学第4页（共4页）】 ZH260732A永昌县第一高级中学2025一2026-2学业质量检测（三）·高一数学 参考答案、解析及评分细则 1.A向量是既有大小又有方向的量，而质量只有大小没有方向，不能用向量表示，位移、速度、加速度是既有大 小又有方向的量，都是向量.故选A. 2.C因为=1①一)一卫=一1一1，故其对应的点为（一1，-1)，该点在第三象限.故选C 1 3.D空间三条直线l,m,n.若l与m异面，且l与n异面，则可能平行，如图1，也可能相交，如图2，也可能m 与n异面，如图3.故选D. 图1 图2 图3 4.A由题意，圆锥的高为h=V5一3=4，所以该圆锥的体积为V=3xh=号X3X4=12元，故选A. 5.D依题意，△OAB的边OB,OA分别在x,y轴上，且OB=OB'=4,OA=2OA'=6,所以△OAB的面积 S=20B·0A=12.故选D 6.B因为a,b都是单位向量，a-b=1,所以|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2a·b=1,所以2a· b=1,所以|a+b|=√(a十b)=√a+2a·b+b=2+1=3.故选B. 7.D由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜负胜，负胜胜，放甲获胜的概率为：P-号×号+号×子×号十 ×号×号-器放选D 8.C过AB上一点Q分别在a、3内做AB的垂线，交PM,PN于点M,N,则∠MQN即为二面角a-AB-B 的平面角，如图所示. 设PQ=a,:'∠QPN=∠QPM=45°，∴.QN=QM=a,PN=PM=√2a,又.∠MPN=60°，.△MPN为等 边三角形，则MN=√2a,∴.QN2+QM=MN,∴.∠MQN=90°.故选C. 9.ABC2出现了4次，3和4出现了2次，5出现了1次，所以众数是2，故A正确；平均数为 2+2+2+2+3十3十4十4+5=3，故B正确：极差为5-2=3，故C正确；9个数据，中位数为第5个数据即为 9 3,故D错误.故选ABC. 1eBcD由os-5 n=25.对于Aos(a十a=-sin ain-否-2g5-=-f 99 9 放A错误：对于B.n(受+a)n(受=c0scos月=5放B正确：对于C,wsa》=c计 2√6 sin asin5+25-5故C正：确对于D.tan9=cmg君 9 9 cos acos B√6 =2,故D正确.故选BCD. 9 【高一质检（三）·数学参考答案第1页（共4页）】 ZH260732A 11.ACD对于A,由图可得向量A它与向量B方方向相同，大小相等，所以向量AE与向量 BD相等向量，A正确.对于B,由图易得BC∥EF,∠ABC=120°，则向量AB与向量 F的夹角为60°，则A言.F它=10X10Xcos60°=50，B错误.如图，因为∠DAB= 2∠BAF=60,Ad=21A.则A方.Ai=Ai·A·cos60=A,C 正确.△ACE为正三角形，连接AD交CE于点H,由对称性可知，AC+A它=2Ai, 且ECL AD,∠EDH=60°，则IDH|=号IDE=5,IAH=|AD-IDH|=2X10-5=15,故 1AC+A=21A方|=2X15=30,D正确.故选ACD. m2+m-2=0, m=1或m=-2, 12.一2复数之=m2+m一2+(m2-1)i是纯虚数，故 解得 故m=-2. m-1≠0 m≠1， 1号 E知m号十cs号-9等式两边同时平方得(si）》广+2如号号十(号）广-，所以1叶 sina=子解得ina=一号 14.20√3由题意知，AB⊥平面BCD,∠ACB=45°，∠ADB=60°，CD=20,BD≥12.因为BC,BDC平面 BCD,所以AB⊥BC,AB⊥BD.在Rt△ABC中，∠ACB=45°，所以BC=AB.在Rt△ABD中，∠ADB= 60,所以BD=套AB.在△BCD中，由余弦定理得，BD=BC+CD-2BC·CD·co∠BCD.即 (停AB)-AF+20-2AB×20×复g理得AB-30v5AB+60=0,即(AB-205)(AB-10月) 0,解得AB=205或AB=105.当AB=205时，BD=5×205=20,符合题意；当AB=10V5时，BD= 3 5×10√5=10<12，不符合题意：故AB=205. 15.解：(1)cos2a=2cosa-1=2(-3）-1=-. 5分 (2)由x<<产，所以sia<0. 所以sina=-√1-cosa= 3 ………7分 所以tana= sin a-2v2, 9分 cos a 所以tan(a十B)=tana十tanE 盟g 5W2 13分 l-tan atanβ 1-×22 2 2 16.解：(1)由题意得a·b=-1×3十2×1=-1，… 2分 |a=√(-1)2+22=√5，|b|=√32+1严=√/10，… 4分 所以与炎角的余装值为治-语。 ……7分 (2)a+b=(-1,2)+k(3,1)=(3k-1,k+2), 20-b=2(-1,2)-(3,1)=(-5,3),……………10分 【高一质检（三）·数学参考答案第2页（共4页）】 ZH260732A 因为(a+b)⊥(2a-b), 所以(a+b)·(2a-b)=-5(3k-1)+3(k+2)=0, …………………………………………………… 12分 解得一吕 …………………………………15分 17.解：(1)由频率分布直方图可知， 0.005×10+0.010×10+0.015×10+10x+0.040×10=1, 解得x=0.03.………3分 因为[90,100]的频率为10×0.040=0.4>0.25，且[90,100]为最后一组， 所以评分数据的第75百分位数位于区间[90,100]中，… …5分 所以第75百分位数为90十0.40.25X10=98.75.…7分 0.4 (2)评分在[60,70)与[80,90)两组的频率分别为0.1,0.3， 0.1 采用分层随机抽样的方法，在[60,70)内抽取人数为4×0.十0.3=1， E[80,90)内抽取人数为4X00,.33,………………………… 故4人中评分等级不良好的有1人（记为a1),评分等级良好的有3人（记为b1,b2,b3), 试验的样本空间2={(a1,b),(a1,b2),(a1,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},… 11分 设事件A=“选取2人的评分等级都为良好”， 则A={(b1,b2),(b1,b),(b2,b3)},… 13分 所以P(A)=名-2 …15分 18.解：(1)在正方体ABCD一AB1CD1中，连接BD交AC于O,连接EO, 则O为BD的中点，而E为DD1的中点，则OE∥BD1, 又OEC平面AEC,BD1在平面AEC,所以BD1∥平面AEC. 4分 (2)由F为CC1的中点，E为DD1的中点，得CF∥ED1,CF=ED1, 则四边形CFD1E为平行四边形，D1F∥EC,…6分 又ECC平面AEC,D1F中平面AEC, 于是D1F∥平面AEC,由(1)知BD1∥平面AEC,而BD1∩D1F=D1, BD1,DFC平面BFD1,所以平面AEC∥平面BFD1. 10分 (3)如图，作HE∥BD,连接AH,则∠AEH是异面直线AE与DB所成的角或其补角，…12分 D 【高一质检（三）·数学参考答案第3页（共4页）】 ZH260732A 令正方体的棱长AB=2,则EH=BD=2√2，AE=AH=√1十2=√5，…14分 因此cos∠AEH= EH川E西 AE5 5 所以异面直线AE与DB所成角的余弦值为 5 ……17分 19.解：(1).(2 acos C+2 ccos A)cosA=b, 由正弦定理可得(2 sin Acos C+2 sin Ccos A)cosA=sinB, 在△ABC中，B=r-(A+C),sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 化简得2 sin Bc0sA=sinB,…2分 :sinB>0.则cosA=,又：A∈(0，x).则A=号 ………4分 (2)在△ABC中，A=号Ai.AC=cbc0sA=2c=2,所以bc=4,… 6分 又a=2,由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A=b2+c2-bc,得b2+c2=bc+4, 配方得(b十c)2=4十3bC,于是(b十c)2=16,得b十c=4,…9分 所以a十b+c=6, 故△ABC的周长为6. 10分 (3)在△ABD中，由正弦定理可得AD BD sin B sin∠BAD B ADsin sin B. 同理△ACD中，有=inC.…12分 BD+CD-sin B+sin C.ABC sinB+sinC=sinB+sin(B+）=5sin(B+否）…14分 :Bc(o,)sm(B+晋)（合1]+D∈（停5] ……17分 【高一质检（三）·数学参考答案第4页（共4页）】 ZH260732A