专题01 因式分解的应用（举一反三专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题01 因式分解的应用（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 由因式分解求值】 1 【题型2 由因式分解解决整除问题】 3 【题型3 由因式分解判定符号】 5 【题型4 由因式分解进行证明】 7 【题型5 由因式分解进行简算】 9 【题型6 由因式分解判断三角形的形状】 11 【题型7 由因式分解解决综合实践题】 14 【题型8 由因式分解解决情境创新题】 20 【题型1 由因式分解求值】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知当和，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于______． 【答案】3 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，由题意可得，利用因式分解得出，结合，得出的值，再代入求函数值，熟练掌握因式分解是解此题的关键． 【详解】解：∵当和，多项式的值相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入可得， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若实数满足，，则的值是______． （2）若，则的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，灵活利用整体思想是解决问题的关键． （1）先利用提公因式法把多项式进行因式分解，提取公因式，再将已知代数式的值整体代入计算，即可求解． （2）先把前两项提取公因式得，整体代入后，再提取公因式，最后整体代入，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ． 故答案为：． （2）， ． 故答案为：． 【变式1-2】（2025·江苏扬州·二模）当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，由已知得，进而得，再代入代数式计算即可求解，熟练运用提公因式法因式分解和公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖南·期末）已知，，，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查利用完全平方公式，因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 通过已知条件可求得，，的值，将代数式适当变形为，将，，的值代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， 则 故答案为：． 【题型2 由因式分解解决整除问题】 【例2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，再将各选项正整数分解因数，判断是否为的因数即可． 【详解】解： ， 依次判断各数： ① ，是的因数，能整除； ② ，是的因数，能整除； ③ ，只含一个因数，故不是的因数，不能整除； ④ ，和都是的因数，故是的因数，能整除； ⑤ ，是的因数，能整除； 综上可得，能整除的是①②④⑤． 【变式2-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）对任意整数，都能被_____整除． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式因式分解，再结合的奇偶性进行分类讨论，判断分解后式子的倍数特征，即可得到结果． 【详解】解：， ①当为偶数时， ∴是偶数，是奇数， ∴是8的倍数； ②当为奇数时， ∴是奇数，是偶数， ∴是8的倍数； 综上所述，对任意整数，都能被整除． 【变式2-2】对于任意正整数n，均能被（　　） A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，分解因式及其应用，先逆用同底数幂相乘法则把写成的形式，然后提取公因式，将式子变形后可得答案． 【详解】解： ， ∵n为正整数，则， ∴一定能被30整除， 故选：C． 【变式2-3】对于任何整数，多项式都能被__________整除（整数或者含a的整式）． 【答案】3或或 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案． 【详解】 ， 则对于任何整数a，多项式都能被3或或整除． 故答案为：3或或． 【题型3 由因式分解判定符号】 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 【答案】A 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解的应用，熟练进行因式分解，再结合三角形的三边关系，判断每个因式的符号，进而判断积的符号是解题的关键． 将代数式因式分解为平方差形式，利用三角形三边关系判断每个因式的正负，从而确定整个式子的符号. 【详解】解：∵ = = 又∵ 为三角形的三边， ∴ ，，， ∴ ，且 ， ∴ ∴ 代数式的值一定为负数. 故选：A． 【变式3-1】无论为任意实数，代数式的值（　　） A．可能为负数 B．总不小于10 C．可为任意实数 D．总不小于5 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用以及完全平方公式的非负性，解题的关键是通过因式分解将其变形为完全平方式的和，再结合完全平方的非负性来分析． 【详解】解： ， ，， ． 故选：D． 【变式3-2】代数式m2+n2－4m+6n+15的值总是（    ） A．非负数 B．正数 C．非正数 D．负数 【答案】B 【分析】先利用配方法得到m2+n2－4m+6n+15= (m-2)2+(n+3)2+2，然后根据平方的非负数性质即可得答案． 【详解】m2+n2－4m+6n+15= m2－4m+4+n2+6n+9+2= (m-2)2+(n+3)2+2， ∵(m-2)2≥0，(n+3)2≥0， ∴(m-2)2+(n+3)2+2≥2， ∴m2+n2－4m+6n+15的值总是正数， 故选B. 【点睛】本题考查了因式分解的应用及平方的非负数性质：用完全平方公式分解因式的理论依据是公式a2±2ab+b2=(a±b)2． 【变式3-3】若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将转化为完全平方的和的形式，进行判断即可． 【详解】解： ， ∵， 当且仅当：时，， ∴不能同时为0， ∴，即：M的值一定是正数； 故选：C． 【题型4 由因式分解进行证明】 【例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，求证：a，b，c三个数中至少有两个相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用．首先把原式进一步整理，因式分解得出，由此得出答案即可． 【详解】证明：∵ ， ∴或或， ∴或或， 因此a，b，c三个数当中至少有两个数相等． 【变式4-1】求证：是一个完全平方数（n为正整数）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．根据完全平方公式变形即可． 【详解】证明：原式 ． 又n为正整数， 所以是一个完全平方数． 【变式4-2】（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）已知两个不相等的实数满足：． (1)如果时，求的值； (2)求证：当为任意实数时，代数式为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）代入将两个式子作差，进行因式分解即可求出结果； （2）将两式作差求得与n的关系式，再将两式相加并代入该关系式化简，即可证明为定值． 【详解】（1）解：当时，已知等式为 ， ， 两式作差得 ， 因式分解得 ， ∵是不相等的实数 ， ∴ ， ∴等式两边同时除以，得 ； （2）证明：∵ ， ， ∴两式作差得 ， ∴ ， ∵，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴两个相加得 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴当为任意实数时，代数式为定值． 【变式4-3】已知的三边长分别是，，. （1）当，求证：是等腰三角形. （2）求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）由因式分解得，故可得到，即可求解； （2）把因式分解，根据三角形的三边关系即可证明. 【详解】（1），即. 根据题意得，∴. ∴，∴为等腰三角形. （2） . 根据三角形的三边关系可知，， 所以. 【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知因式分解的方法. 【题型5 由因式分解进行简算】 【例5】（25-26八年级下·全国·周测）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，因式分解简化计算，掌握观察式子结构并构造平方差的方法是解题的关键． 通过观察，该表达式可以运用平方差公式进行简化计算． 【详解】解：原式 = = = 计算得：， 因此原式 = = = 5.08． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）计算：__________． 【答案】8094 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 将原式分组为两个平方差公式，即，然后利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式= = = = =． 故答案为：8094． 【变式5-2】（25-26八年级上·四川内江·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，设，可得：原式，把分子进行因式分解，约去分子、分母的公因式，再把代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：设， ， ， 原式． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式将每个因式分解，分解后式子可通过约分简化计算，最终得到结果． 【详解】解： 【题型6 由因式分解判断三角形的形状】 【例6】（25-26八年级下·河北张家口·阶段检测）一个三角形的两边长为x，y，且使 ，则此三角形的形状按边分一定为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题通过对给定等式因式分解，结合三角形边长为正数的性质，得到两边长的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：对等式因式分解： ， 是三角形的边长，边长为正数 ，即 三角形两边相等，此三角形一定为等腰三角形． 【变式6-1】已知的三边的边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为_____． 【答案】等边三角形/正三角形 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式变形为，根据平方的非负性可得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【变式6-2】（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【答案】（1）为等腰三角形；（2）为等边三角形 【分析】（1）将等式移项为，再整理得，后两项提取公因式，再进行因式分解得到，根据可得，即可得出结论； （2）将等式整理为，根据完全平方公式得出，则，，，即可得出结论． 【详解】解：等式， 移项得， 整理得， 即， 分解因式得， 由，可得，即， 则为等腰三角形． （2）， ， ， ，，， ，，， ， 为等边三角形 【点睛】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． 【变式6-3】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，，则此三角形的形状是(   ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．根据，，，得出，整理得出，求出，，，再判断三角形形状． 【详解】解：∵，，，， ∴， 整理得：， 即， ∴，，， ∴此三角形为等腰三角形． 故选：A． 【题型7 由因式分解解决综合实践题】 【例7】【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）①利用计算即可； ②令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1）①由题意可知，， ，， ， 故答案为：20； ②令，， ，， ， 故答案为：13； （2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是22． 【变式7-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)图中阴影部分面积为； (3)代数式的值为． 【分析】（）根据图示面积的表示方法即可求解； （）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解； （）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 【变式7-2】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，则 ①图中阴影部分正方形的面积=______（结果填具体数值） ②若长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2) (3)①576②384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设，由（1）中公式即可求解； （3）①设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解； ②设，则，由①得，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：①设正方形的边长为， 则 ②设，则：正方形的边长为， 由①知：， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）“数形结合”是数学学习中的一种重要数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．现有若干张如图（1）的三种纸片，A是边长为的正方形，是边长为的正方形，是长为，宽为的长方形．如图（2），通过教材学习，观察正方形面积，可得到完全平方公式． (1)如图（3），通过观察大长方形的面积，可以得到一个乘法算式：__________； (2)若要无缝无重叠拼出一个长为，宽为的长方形，设需要A型纸片张，B型纸片张，C型纸片张，直接写出的值为__________； (3)图（4）是由图（1）中的两张A型纸片和两张B型纸片拼成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），求图中阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）； (4)若图（2）也是由图（1）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为73，图（4）中的阴影部分面积为25，求图（3）中整个长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，多项式乘以多项式与几何图形面积，正确理解题意，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于两个边长为的正方形面积加上一个边长为的正方形面积，再加上三个长为，宽为的长方形面积建立一个乘法算式； （2）计算，即可得出的值，再代入求解即可； （3）根据阴影部分的面积等于两张型纸片和两张型纸片的面积之和减去大正方形的面积，求解即可； （4）由题意得：，，则，（舍负），即可求解，而，得到（舍负），再联立①②求出，即可代入求解． 【详解】（1）解：由图形可得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴需要A型纸片张，B型纸片2张，C型纸片7张， 即：， ∴， 故答案为：； （3）解： ， ； （4）解：由题意得：，， ∴，（舍负） ∴， ∴， ∴（舍负）， 联立①②得，， 解得 ∴； 【题型8 由因式分解解决情境创新题】 【例8】（24-25八年级上·江西南昌·期末）数学小组在研究式子时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律： ① ② ③ ④ 根据上述规律解决下列问题： (1)填空： ； (2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； (3)小智发现某一式子的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 【答案】(1)3 (2)，见解析 (3)65 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，能根据所给等式发现规律是解题的关键． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）用含a，b的等式表示出（1）中发现的规律，并进行证明即可． （3）根据题意建立关于a，b的等式，再进行分析即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为， ， ， ， 所以． 故答案为：3． （2）发现的规律是：． 证明如下： 左边 ＝右边， 故此等式成立． （3）因为的结果恰好是一个整数的平方， 所以是一个整数的平方． 因为， 又因为， 所以， 解得， 所以． 【变式8-1】阅读与思考：在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式；因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当时，，，此时可以得到数字密码1016或1610． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，求出锁屏密码； (2)若王老师选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． 【答案】(1)锁屏密码为1119或1911 (2)王老师的年龄是34岁 【分析】本题考查了因式分解的应用以及新定义运算，读懂题意是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，根据因式分解的结果为或，再结合个人具体年龄作进一步分析，即可作答． （2）先把，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵因式分解的结果为或， ∴当时，，， ∴锁屏密码为1119或1911． （2）解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，且结合 ∴， ∴． 答：王老师的年龄是34岁． 【变式8-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据结合题意分解因式即可； （2）把分解成两个整数的乘积形式，再根据题意可得的结果等于分解成的两个整数的和，据此建立方程求解即可； （3）把看做一个整体，再仿照题意因式分解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）； （3） ． 【变式8-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【答案】(1)，； (2)①运算规律：，证明见解析； ②这个两位数的最大值为． 【分析】（1）根据题中的运算规律计算即可得解； （2）①根据题意得这两个两位数分别为，，从而得到运算规律为，分别计算等式两边即可证明； ②由①得，可得新的两位数为，，进而得到，然后计算出，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ； （2）解：①其中一个数的十位数字为，个位数字为， 另一个数的十位数字为，个位数字为， 根据题意得，这个运算规律为， 证明如下：左边, , 右边， 左边右边； ②由①得， 分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘， ， ， ， ， , , ， ， 依题意得，为小于的正整数， 为整数， 能被整除， 即这个两位数的最大值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解的应用（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 由因式分解求值】 1 【题型2 由因式分解解决整除问题】 1 【题型3 由因式分解判定符号】 2 【题型4 由因式分解进行证明】 2 【题型5 由因式分解进行简算】 2 【题型6 由因式分解判断三角形的形状】 3 【题型7 由因式分解解决综合实践题】 3 【题型8 由因式分解解决情境创新题】 5 【题型1 由因式分解求值】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知当和，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于______． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若实数满足，，则的值是______． （2）若，则的值为______． 【变式1-2】（2025·江苏扬州·二模）当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖南·期末）已知，，，则代数式的值为____． 【题型2 由因式分解解决整除问题】 【例2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 【变式2-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）对任意整数，都能被_____整除． 【变式2-2】对于任意正整数n，均能被（　　） A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除 【变式2-3】对于任何整数，多项式都能被__________整除（整数或者含a的整式）． 【题型3 由因式分解判定符号】 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 【变式3-1】无论为任意实数，代数式的值（　　） A．可能为负数 B．总不小于10 C．可为任意实数 D．总不小于5 【变式3-2】代数式m2+n2－4m+6n+15的值总是（    ） A．非负数 B．正数 C．非正数 D．负数 【变式3-3】若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【题型4 由因式分解进行证明】 【例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，求证：a，b，c三个数中至少有两个相等． 【变式4-1】求证：是一个完全平方数（n为正整数）． 【变式4-2】（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）已知两个不相等的实数满足：． (1)如果时，求的值； (2)求证：当为任意实数时，代数式为定值． 【变式4-3】已知的三边长分别是，，. （1）当，求证：是等腰三角形. （2）求证：. 【题型5 由因式分解进行简算】 【例5】（25-26八年级下·全国·周测）计算：_____． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）计算：__________． 【变式5-2】（25-26八年级上·四川内江·期中）计算：_____． 【变式5-3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）计算：__________． 【题型6 由因式分解判断三角形的形状】 【例6】（25-26八年级下·河北张家口·阶段检测）一个三角形的两边长为x，y，且使 ，则此三角形的形状按边分一定为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法判断 【变式6-1】已知的三边的边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为_____． 【变式6-2】（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【变式6-3】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，，则此三角形的形状是(   ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【题型7 由因式分解解决综合实践题】 【例7】【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【变式7-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【变式7-2】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，则 ①图中阴影部分正方形的面积=______（结果填具体数值） ②若长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）“数形结合”是数学学习中的一种重要数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．现有若干张如图（1）的三种纸片，A是边长为的正方形，是边长为的正方形，是长为，宽为的长方形．如图（2），通过教材学习，观察正方形面积，可得到完全平方公式． (1)如图（3），通过观察大长方形的面积，可以得到一个乘法算式：__________； (2)若要无缝无重叠拼出一个长为，宽为的长方形，设需要A型纸片张，B型纸片张，C型纸片张，直接写出的值为__________； (3)图（4）是由图（1）中的两张A型纸片和两张B型纸片拼成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），求图中阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）； (4)若图（2）也是由图（1）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为73，图（4）中的阴影部分面积为25，求图（3）中整个长方形的面积． 【题型8 由因式分解解决情境创新题】 【例8】（24-25八年级上·江西南昌·期末）数学小组在研究式子时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律： ① ② ③ ④ 根据上述规律解决下列问题： (1)填空： ； (2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； (3)小智发现某一式子的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 【变式8-1】阅读与思考：在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式；因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当时，，，此时可以得到数字密码1016或1610． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，求出锁屏密码； (2)若王老师选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． 【变式8-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【变式8-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $