29.3.1弧长和扇形面积-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“弧长和扇形面积”核心知识点，通过“弯形管道展直长度”生活情景导入，衔接圆的周长与面积知识，以问题链推导弧长公式及扇形面积两套公式，构建从基础概念到公式应用的学习支架。 其亮点在于以公式推导培养数学思维的推理能力，用“三角形面积类比扇形面积1/2lR”强化数学语言的模型意识，结合易错点总结与满分口诀提升抽象能力。实例丰富如管道展直计算，助力学生理解公式本质，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十九章 圆 29.3.1 弧长和扇形面积 知识点汇总 前言：本节是圆的计算核心考点，以公式运用为主，中考填空、选择、解答高频考查。重点掌握弧长公式、扇形面积两套公式、公式变形及阴影面积常用割补法，是圆锥侧面展开图的基础。 一、基础概念 1. 扇形定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。 简单理解：圆的一部分，由两条半径 + 一段弧围成。 2. 核心前提 公式中 $$n$$为圆心角度数（不带单位），$$R$$ 为圆的半径。 二、弧长公式（必考） 1. 公式推导 整圆周长：$$C=2\pi R$$，圆心角 $$360^\circ$$。 圆心角为 $$n^\circ$$ 的弧长占整圆周长的 $$\dfrac{n}{360}$$。 2. 弧长公式 $$\boldsymbol{l=\dfrac{n\pi R}{180}}$$ $$l$$：弧长；$$n$$：圆心角度数；$$R$$：半径 三、扇形面积公式（两套必背） 1. 角度公式（已知圆心角、半径） $$\boldsymbol{S_{\text{扇形}}=\dfrac{n\pi R^2}{360}}$$ 适用：题目给出圆心角度数 $$n$$ 时首选。 2. 弧长公式（已知弧长、半径·秒杀公式） $$\boldsymbol{S_{\text{扇形}}=\dfrac12 lR}$$ 适用：已知弧长 $$l$$、求面积，无需角度，计算更快。 类比记忆：和三角形面积公式 $$S=\dfrac12 ah$$ 形似，弧长当底、半径当高。 四、公式变形（逆向计算题必考） 1. 已知弧长求圆心角：$$n=\dfrac{180l}{\pi R}$$ 2. 已知扇形面积求圆心角：$$n=\dfrac{360S}{\pi R^2}$$ 3. 已知扇形面积求弧长：$$l=\dfrac{2S}{R}$$ 五、常见图形面积计算模型 1. 弓形面积（超高频） 劣弧弓形：$$S_{\text{弓形}}=S_{\text{扇形}}-S_{\text{三角形}}$$ 优弧弓形：$$S_{\text{弓形}}=S_{\text{圆}}-S_{\text{劣弧弓形}}$$ 2. 阴影面积通用方法 割补法、加减法则、平移旋转拼凑法 大部分圆阴影题：转化为「扇形 ± 三角形 ± 规则图形」。 六、本节易错点（扣分重灾区） 1. 弧长公式分母是 180，扇形面积公式分母是 360，极易记混； 2. 公式中 $$n$$ 只代数字，不能带度数符号； 3. 区分弧长（长度单位）和扇形面积（面积单位），单位不混用； 4. 求弓形面积不分优劣弧，直接乱套公式； 5. 半径、直径看错题，直接代错数值。 七、满分解题步骤 1. 找准圆心角 $$n$$ 和半径 $$R$$； 2. 判断求弧长还是面积，选用对应公式； 3. 代入数值、化简 $$\pi$$、保留最简结果； 4. 阴影面积优先转化为规则图形相加减。 本节满分口诀 弧长一八分之 nπR，扇形三六 nπR方； 弧长半径也可算，二分之一 lR 强； 弓形扇三角相减，阴影割补最常用。 29.3.1弧长和扇形面积 新课导入 情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度). 问题：怎样求一段弧的长度呢？ (1)能推导弧长和扇形面积的计算公式. (2)知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算. （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR （3）1°圆心角所对弧长是多少？ （2）圆的周长可以看作是多少 度的圆心角所对的弧？ 1° O 360° 推进新课 弧长公式 知识点1 140°圆心角所对的弧长是多少？ n° A B O 若设⊙O半径为R，n°的圆心 角所对的弧长为 . 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm) L （mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． 因此所要求的展直长度 l （mm）. 解：由弧长公式，可得AB的长 扇形的定义和面积公式 知识点2 如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 圆心角为1°的扇形所对的面积是多少？ 如 何 求 扇 形 的 面 积 ？ 1° 想一想：圆的面积可以看作多少度的圆周角所对的扇形面积？ 扇形面积公式 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积计算公式为 扇形的面积与扇形所在的圆的半径和弧所对的圆心角的度数有关系. S扇形＝ S圆 360 n ＝ πR2 360 n 弧长公式与扇形面积公式的区别 弧长与圆的周长有关,扇形的面积与圆的面积有关.因此,计算弧长时是 ；而计算扇形的面积时是 . n° l O 比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗? 探索弧长与扇形面积的关系 S R 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m）. O B A C D 弓形的面积=S扇-S△OAB 提示: 例2 解：如图，连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交AB于点C，连接AC. ⌒ ∵OC=0.6m,DC=0.3m, ∴OD=OC-DC=0.3m. ∴OD=DC. 又AD⊥DC, ∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 有水部分的面积S=S扇形-S△OAB= O B A C D 随堂演练 基础巩固 1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6,则扇形的弧长是 . 2.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是 cm. 3.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是 . 4π 6 150° 4.如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度. (π取3.142) 解： 答：图中管道的展直长度约为6142mm. 知识点1 弧长公式 1. 若扇形的半径为6，弧长为 ，则 所对圆心角的度数为( ) D A. B. C. D. 中考考法 17 2. 如图，北京市某 处位于北纬 （即 ），东经 ，三沙 市海域某处位于北纬 C A. B. C. D. （即），东经 . 设地球的半径约为 ，则 在东经 所在经线圈上的点和点 之间的劣弧长约为 ( ) 中考考法 18 （第3题） 3.如图，在中， ， ，，将绕点 逆 时针旋转到的位置，点 的对应点 首次落在斜边上，则点 的运动路径 的长为_____ . 中考考法 19 知识点2 扇形面积公式 （第4题） 4. 如图，以点 为圆心的两个同心圆中， 点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是，.若 ，则扇 形的面积与扇形的面积 的大小 关系为( ) A A. B. C. D. 不能确定 中考考法 20 5.[2025成都] 如图，的半径为1，，，是 上的三 个点.若四边形为平行四边形，连接 ，则图中阴影部 分的面积为__. （第5题） 中考考法 21 【点拨】如图，连接，则 . 四边形为平行四边形， ， , ， 为等边三角 形，， 阴影部分的面积 . 中考考法 22 6.如图，中， ， ，将 绕点顺时针旋转 得到 ，则图中阴影部分 面积为__.（结果保留 ） （第6题） 中考考法 23 （第6题） 【点拨】 ， ， .由图可知：阴 影部分的面积扇形的面积 的面积-扇形的面积的面积. 绕点 顺 时针旋转 后得到，的面积 的面 积， 阴影部分的面积扇形的面积-扇形 的面积 . 中考考法 24 本题运用等面积变换法求图形面积， 在等面积转化中可根据全等三角形 （或等底等高）面积相等进行转化，从而将 不易直接求得的图形面积转化成与其面积相 等的易求的图形面积. （第6题） . . 中考考法 25 （第7题） 7. 如图①，在正方形 内，以点 为圆心，长为半径画弧，点 从 圆弧的端点出发，沿向点 运动， 过点作于点.设点 运动的 时间为，，图②是点 以每 C A. 3 B. 9 C. D. 秒的速度运动时，随 变化的关系图象，则图①中阴影部 分的面积为 ( ) 中考考法 26 （第7题） 【点拨】由图象可得,当 时， ， ，此时,重合，, 重合. 的长为，即 . 阴影部分的面积为 . 中考考法 27 （第8题） 8. 如图，在平行四边形 中， ，以为直径的恰好经过点 ， 交于点，当点为 的中点时，下列结 论错误的是( ) B A. 平分 B. C. D. 的长为 中考考法 28 9. 如图，正方形纸片中， ， 以为圆心， 的长为半径在正方形内部 作，点为上的一个动点，连接 ， 将左侧部分纸片沿折叠，点 落在点 处，连接.当为等边三角形时，求由， ， ， 围成的阴影部分的周长. 中考考法 29 【解】 四边形 是正方形， . 将左侧部分纸片沿折叠，点 落在点 处， . 为等边三角形， ， . . 阴影部分的周长为 . 中考考法 30 课堂小结 n° l O 弧长公式： 扇形面积公式： R 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $