专题07 反比例函数（暑假预习讲义）-2026-2027学年人教版数学九年级上册.

专题07反比例函数 暑假预习讲义 ✺知识框架 反比例函数概念：函数定义、三种等价解析式、自变量与函数值取值范围、易混函数辨析 反比例函数图象与性质：双曲线图象特征、系数k与图象象限对应关系、象限内增减性、图象对称性 反比例函数解析式求解：待定系数法四步解题法、判断点是否在函数图象上 反比例函数实际应用：定值乘积类问题建模、自变量实际取值限制、函数变化规律分析 ✺学习目标 概念辨析：理解反比例函数的本质定义，熟练掌握三种等价解析式，明确自变量与函数值的取值限制；能准确辨别反比例函数，清晰区分反比例函数、正比例函数与一次函数。 图象性质：认识反比例函数双曲线的图象特征，熟记比例系数k的正负与图象象限、函数增减性的对应规律；掌握函数图象的对称特点，能结合图象快速判断函数基本性质，规范表述增减性。 运算求解：熟练运用待定系数法求解反比例函数解析式，掌握标准解题步骤；能精准判断平面内任意一点是否在反比例函数图象上，熟练解决基础求值、参数计算题型。 实际应用：能从生活实际问题中抽象出反比例函数模型，理解“两个变量乘积为定值”的核心特征；结合自变量实际取值范围，分析变量变化规律，解决简单的反比例实际问题。 ✺题型归纳 题型1.用反比例函数描述数量关系 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 题型3.根据反比例函数的定义求参数 题型4.求反比例函数值 题型5.由反比例函数值求自变量 题型6.判断（画）反比例函数图象 题型7.已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型8.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型9.已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型10.判断反比例函数的增减性 题型11.判断反比例函数图象所在象限 题型12.已知反比例函数的增减性求参数 题型13.比较反比例函数值或自变量的大小 题型14.已知比例系数求特殊图形的面积 题型15.根据图形面积求比例系数（解析式） 题型16.求反比例函数解析式 题型17.反比例函数与几何综合 题型18.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型19.一次函数与反比例函数图象综合判断 题型20.一次函数与反比例函数的交点问题 21.一次函数与反比例函数的实际应用 题型22.一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型23.实际问题与反比例函数 题型24.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、反比例函数的概念 一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。其中，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 三种等价解析式： 1.标准分式式：y=(k≠0) 2.核心乘积式：xy=k(k≠0)（自变量与函数值的乘积为固定常数） 3.负指数式：y=k(k≠0)（多用于参数求解，函数判断） 取值范围： 自变量 x：x≠0（分式分母不能为0） 函数值 y：y≠0（k为非零定值，x不为0，乘积不为0） 常数 k：k≠0，若k=0，则 y=0为常函数，不是反比例函数。 预习易错提示：k≠0是反比例函数的必要条件，解析式中自变量x只能为一次且位于分母位置，区别于正比例函数、一次函数。 知识点二、反比例函数的图象与性质 反比例函数 y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成，核心性质如下： 1. 图象分布与增减性（核心重难点） 当 k>0时：双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当 k<0时：双曲线两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 2. 图象对称性 反比例函数图象既是中心对称图形：对称中心为坐标原点，也是轴对称图形：对称轴为直线y=x和y=-x。 关键易错点：反比例函数的增减性仅限同一象限内，不能跨两个象限整体讨论函数增减变化。 知识点三、求反比例函数解析式 反比例函数y=（k≠0中，）只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图象上一点的坐标，代入解析式中求出k，即可确定反比例函数的解析式，求反比例函数解析式的一般步骤为： 设：设所求的反比例函数解析式为y=(k≠0)； 代：将已知条件中对应的x,y值代入y=中，从而得到关于k的方程; 解：解关于k的方程，求出k的值； 定：将k值代入y=中，得到函数解析式. 知识点四、反比例函数的图象及画法 1. 反比例函数的图象 反比例函数y=(k≠0)的图象由两条曲线组成，它是双曲线。这两条曲线分别位于第一、三象限（k＞0时）或第二、四象限（k＜0时）。它们的图象与x轴、y轴没有交点，即双曲线的两支都无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 2. 反比例函数图象的画法（描点法） ● 列表:要先取一些自变量的值,在原点的两边取三对或三对以上相反数,如1和-1,2和-2,3和-3等,列表表示出自变量和函数的对应值.求y值时,只需计算原点一侧的函数值. ● 描点:根据表中提供的数据,即点的坐标,在平面直角坐标系中描出对应的点. ● 连线:用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸,注意双曲线的两支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交. 知识点五、比例系数k的几何意义 设反比例函数解析式：y=(k≠0，点(P(x,y)是双曲线图像上任意一点。 如图1.过双曲线上任一点P（x,y）分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,两条垂线与坐标轴围成矩形。 矩形长|x|，宽|y|，面积： S=PM·PN=｜y｜·｜x｜=｜xy｜=｜k｜ 如图2.过双曲线上任意一点作一条坐标轴的垂线，连接这个点与原点，所得三角形的面积为 · 知识点六、实际问题与反比例函数 1.反比例函数应用中常见的基本关系 行程类问题：路程=时间×速度. 工程类问题：工作量=工作时间×工作效率.  等积类问题：变形前后物体的体积(或质量)不变. 图形类问题：根据图形的特征，结合规则图形的周长公式、面积公式、体积公式等来解题. 2 用反比例函数解决实际问题的步骤 审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系 设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示 列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数 写：写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围 解：用函数解析式去解决实际问题 ✺题型精讲 题型1.用反比例函数描述数量关系 1．下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 2．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是____． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标之积相等是解题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答； 【详解】解：点与点均在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 故答案为：0 3．某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】设，求出的值，化简即可． 【详解】解：由题意得：设 ∵当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 ∴ 解得： ∴ 即： 【点睛】本题考查反比例关系．根据题意正确设出关系式即可． 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 1．下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 2．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 3．下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)是， (3)不是 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）易得，不是反比例函数； （2）易得，是反比例函数，， （3）易得，不是反比例函数． 【详解】（1）解：不是； ∵， ∴，不是反比例函数； （2）是； ∵， ∴ ∴； （3）不是； ∵， ∴，不是反比例函数； 题型3.根据反比例函数的定义求参数 1．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 2．若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 【答案】5 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 3．已知函数是反比例函数，求m的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 题型4.求反比例函数值 1．下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，横纵坐标的乘积为的点才在该反比例函数的图象上，且横坐标不为0，据此逐个验证选项即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数图象上的任意点满足，且． A选项：，满足条件，点在图象上． B选项：，满足条件，点在图象上． C选项：，满足条件，点在图象上． D选项：，此时函数无意义，且，不满足条件，点不在图象上． 2．若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 3．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)不存在“双倍点”，理由见解析 (3)或 (4)的值为或 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 题型5.由反比例函数值求自变量 1．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：C． 2．已知反比例函数的图象经过点，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入已知反比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 将，代入得： ， 等式两边同乘得： ， 等式两边同除以得：， 移项得：． 3．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 题型6.判断（画）反比例函数图象 1．反比例函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 2．若二次函数的对称轴是直线，则反比例函数经过第______象限． 【答案】一、三 【分析】由题意可求出，即反比例函数解析式为，即可知道该反比例函数所经过的象限． 【详解】由二次函数解析式可知其对称轴为， ∴． ∴反比例函数解析式为． ∴该反比例函数经过第一、三象限． 故答案为：一、三． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴以及反比例函数的性质．根据所给二次函数的解析式和对称轴求出m的值是解答本题的关键． 3．已知函数 (1)写出自变量x的取值范围 (2)①列表 … 1 2 3 4 … … 1 0 10 6 4 3 … ②描点：在下面给出的直角坐标系中补全对应的各点 ③连线（将图中描出的各点用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象） (3)观察函数的图象，回答下列问题 ①图象与x轴有 个交点， 其对应的方程的实数解是 ． ②函数图象的对称性是（    ） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．只是轴对称图形 C．只是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 (4)将函数的图象 可以得到此函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①1，；②A (4)向上平移2个单位 【分析】本题考查了本题反比例函数的图象与性质． （1）x在分母，那么x不能为0； （2）根据所给的自变量的值得到相应的函数值，进而描点，连线即可得到相应图形； （3）①观察所得图象看有几个交点与计算出对应的方程实数根即可； ②由图象可得两个函数图象只关于原点成中心对称； （4）根据图象判断函数与的图象之间的关系即可． 【详解】（1）解：自变量x的取值范围：； 故答案为：； （2）解：描点，连线，如图所示； ； （3）解：①观察图象，图象与x轴有1个交点， 所以对应的方程实数根是， ②函数图象的对称性是：既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故选项A正确， 故答案为：①1，；②A； （4）解：将函数的图象向上平移2个单位就可以得到函数的图象． 故答案为：向上平移2个单位． 题型7.已知反比例函数的图象，判断其解析式 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 2．点（－3，4）在反比例函数的图象上，则的值为_______ 【答案】 【分析】将点（－3，4）代入反比例函数，求解即可． 【详解】解：将点（－3，4）代入反比例函数，得，解得 故答案为 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的有关性质是解题的关键． 3．若点，在同一个反比例函数的图像上，则的值为_______． 【答案】－6 【分析】根据反比例函数中，k=xy为定值即可得出结论． 【详解】解：∵点A（-4，3）、B（a，2）在同一个反比例函数的图象上， ∴（-4）×3=2a， 解得a=-6． 故答案为-6． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 题型8.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 2．已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________． 【答案】（2，1） 【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可 【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB， ∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称， 设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b） 由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1） 可以得到：， 解得：a=2，b=1， ∴点B的坐标为（2,1） 故答案为：（2，1） 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键． 3．如图，与的直径为2，反比例函数的图像与两圆分别交于点A，B，C，D，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图像是中心对称图形，那么阴影部分的面积可看作半径为1的半圆的面积． 【详解】解：由题意得：图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是根据所给的图形的对称性得到阴影部分的面积为一个半圆的面积． 题型9.已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 2．若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：． 3．已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 【答案】n<-6 【分析】根据反比例函数的性质：当图象经过第二、四象限时，，求解即可． 【详解】∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当时，图象在第二、四象限；当时，图象在第一、三象限． 题型10.判断反比例函数的增减性 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小即可解答． 【详解】解：由图可知，图象在第三象限， ∴， ∴函数值随着自变量的增大而减小． 故选：A． 2．反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】此题考查反比例函数的性质．由，根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小， 在第三象限，y随x增大而减小， 故答案为：减小． 3．小明在学习过程中遇到一个函数，下面是小魏对其探究的结果，请补充完整： 将函数的解析式进行变形，得，即． （1）当时，对于函数，随的增大而减小，且；对于函数，随的增大而___________，且的取值范围是__________； （2）当时，函数的图象如图所示． 下表是函数，当时，与的几组对应值： … 1 2 3 4 5 … … 3 2 … 结合表格内的数据，在上面给定的坐标系内画出当时的函数的图象． （3）综合上述图象和结论，猜想：函数的图象是由函数的图像向___________平移__________个单位后得到的； （4）由以上猜想可知：函数（为常数）的图象的对称中心坐标为__________． 【答案】（1）减小，；（2）图象见详解；（3）上，1；（4） 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由表格结合五点描法可画出函数图象； （3）根据函数图象的平移可直接进行求解； （4）由题意可把函数变为，然后根据的对称中心为结合图象的平移可进行求解． 【详解】解：（1）由当时，对于函数，随的增大而减小，且；可知对于函数，随的增大而减小，且； 故答案为减小，； （2）图象如下所示： （3）综合上述图象和结论可知函数的图象是由函数的图像向上平移1个单位长度后得到； 故答案为：上，1； （4）由题意可把函数变为， ∴函数是由函数向上平移2个单位长度所得到， ∵函数的对称中心为， ∴函数（为常数）的图象的对称中心坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 题型11.判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像，反比例函数的图像位置由系数k的符号决定，时图像在第一、三象限，时图像在第二、四象限． 根据作答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在第一、三象限． 故选：C． 2．反比例函数的图象在第_______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 根据反比例函数确定图象分布在第二、四象限，再根据确定图象在第二象限即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二象限， 故答案为：二． 3．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下： （1）写出自变量x的取值范围； （2）画函数图象； 列表：下表是x与y的几组对应值，其中____________； x … －3 －2 －1 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象； （3）通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________； ②____________． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）①当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，②无论x取何值，函数值恒大于0 【分析】（1）根据分母不能为0，得出自变量的取值范围； （2）代入求值即可；经历描点、连线形成图象； （3）依据函数的增减性，函数值的大小等方面说明性质． 【详解】解：（1）自变量的取值范围为：； （2）把代入得，； 该函数的图象如下： （3）①当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ②无论x取何值，函数值恒大于0. 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握函数图象的绘制方法是画出图象的关键，求出变量之间的对应值是画图象的前提． 题型12.已知反比例函数的增减性求参数 1．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 2．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 3．在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴k−1＞0， ∴k＞1． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出k−1＞0是解此题的关键． 题型13.比较反比例函数值或自变量的大小 1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出，，的值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， ∵， ∴. 2．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数， 任意实数的平方非负，即， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. 点，满足， 两点都在第三象限的函数图象上， ． 3．已知反比例函数．点均在反比例函数的图象上，若，请写出的大小关系，简单说明理由． 【答案】， 理由如下： ∵， ∴反比例函数的图象分布在一、三象限，在每一象限内，的值随的增大而减小， ∵， ∴． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】略 题型14.已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 2．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 3．如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 【详解】解：延长交轴于， 轴， 垂直于轴，即， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为1， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为3， 矩形的面积为． 题型15.根据图形面积求比例系数（解析式） 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B．函数的图象与线段交于点C，且．若的面积为18，则k的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】设点的坐标为，先求出点的坐标，再代入计算即可． 【详解】解：∵点在第一象限，轴于点， ∴可设点的坐标为，则， ∵的面积为18， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， 将点代入函数得：． 2．反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【答案】6 【分析】作交于点D，根据等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式求出，根据k的几何意义及反比例函数所在象限作答即可． 【详解】解：如图，作交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， 即． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 题型16.求反比例函数解析式 1．已知反比例函数的图象过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵反比例函数的图象过点， ∴将代入， 得， 解得． 2．已知近视眼镜镜片的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么与的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】根据题意可设， 再代入已知对应值求出比例系数，即可得到所求函数表达式． 【详解】解：根据题意可设， 将，代入得， 解得， ， 故答案为：． 3．已知反比例函数的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)是 【分析】（1）把点代入已知函数解析式，通过解方程即可求得k的值； （2）只要把点的横坐标代入函数解析式，判断的值是否为，若是，即该点在函数图象上． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 所以，反比例函数解析式为； （2）解：当时，， 所以，点在该函数图象上． 题型17.反比例函数与几何综合 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，顶点落在函数的图象上．函数的图象分别交边和边于点、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，则点的纵坐标为，点的横坐标为，代入反比例函数中得，，结合三角形面积的计算列式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点落在函数的图象上， ∴设， ∵函数的图象分别交边和边于点、， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， 在反比例函数中，当时，， 解得，，则， 当时，，则， ∴，， ∴ ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 【答案】 【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解． 【详解】解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 3．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上 (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值． 【答案】(1)证明：∵ 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． (2)① ；② 【分析】（1） 利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）① 根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可．② 利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【详解】（1）略 （2）① 解：∵ ，点在上， , , ， 如图，交点 的坐标为 ，即 ， ， ． ② 解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点 ， ，， ∵ ， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵ 在上， ， 整理得：， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将 代入， 得，整理得， 联立，得， 解得， 代入 ，得． 题型18.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 2．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 3．函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型19.一次函数与反比例函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 2．若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，先画出函数图象，结合图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：函数的图象如图所示： 故直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是或， 故答案为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 【答案】(1)，反比例函数的关系式为 (2) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数、反比例函数交点坐标的计算方法是正确解答的前提． （1）根据一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征确定点的坐标，进而确定反比例函数关系式； （2）根据图象以及两个函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与过点， ， 即， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 答：，反比例函数的关系式为； （2）由于点，即， 当，反比例函数中的值取值范围为． 题型20.一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是或． 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点和点（点在点的左侧），且点与点的横坐标之差是4，设点的横坐标为． (1)点的坐标为________，点的坐标为________；（用含有的代数式表示） (2)求反比例函数的关系式； (3)直接写出不等式的解集为________． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）点的横坐标为，则纵坐标为，求得点的横坐标为，则纵坐标为，据此求解即可； （2）由题意得，据此求解即可； （3）求得点的坐标为，点的坐标为，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点的横坐标之差是4， ∴点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （3）解：由（2）得点的坐标为，点的坐标为， ∴不等式的解集为． 21.一次函数与反比例函数的实际应用 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 2．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．    (1)求k的值及直线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)，直线的关系式为 (2)点 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征以及图形面积之间的和差关系是正确解答的前提． （1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式即可; （2）求出点D关于轴的对称点的坐标，求出直线与x轴的交点即可满足的周长最小; （3）进行计算即可 【详解】（1）解：1.在矩形中，，， 点， 点D是边的中点， 点， 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的关系式为， 当时，即， 解得， 点 ， 设直线的关系式为，则， 解得， 直线的关系式为 （2）点关于x轴的对称点的坐标为， 直线与x轴的交点即为所求的点P，此时的周长最小， 设直线的关系式为，则 解得， 直线的关系式为 ， 当时，即， 解得， 直线与x轴的交点， 当的周长最小时，点， （3） 如图，   由（1）（2）知 ，，，， ，，，， 1 的面积为． 3．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)能，理由见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 题型22.一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】①分，、、找出y的正负，由此可得出函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；②由在分母上可得出，函数图象与轴无交点，②正确；③由当时，，可得出函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；④设点（）为函数图象上任意一点，根据函数图象上点的坐标特征可得出点在函数的图象上，即图象关于原点成中心对称，④正确；⑤利用作差法确定当时，随的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，，图象在第三象限； 当时，，图象在第二象限； 当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第一象限． ∴函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误； ②∵为分母， ∴， ∴函数图象与轴无交点，②正确； ③当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为、，③错误； ④设点（）为函数图象上任意一点， 则，， ∴点在函数的图象上， ∴图象关于原点成中心对称，④正确； ⑤当时，设， 则 即：当， ∴当时，随的增大而增大，⑤正确． 综上所述：正确的结论有②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点， 当时，，当时， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴点， ∵直线是第一象限的角平分线，且， ∴直线垂直直线， ∵对于，当时，， ∴在直线上， ∴当时，线段最小，此时点P在直线上， ∵点P在反比例函数的图象上， 联立与得： ，解得：或， ∴点， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为： 3．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 (1)当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 (2)在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 (3)①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，② (2)或或 (3)①；② 【分析】（1）用描点法画出函数图像，结合函数性质判断各个说法，找出错误选项； （2）分和两种情况分别解方程，得到所有符合条件的自变量的值； （3）①将方程解的个数问题转化为直线与分段函数图像交点个数问题，画出对应直线临界位置，结合图像确定参数取值范围；②先判断直线过定点，再确定分段函数平移规则，找出分段函数图像上的临界交点，代入直线解析式求出临界值，结合图像得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格描点连线画出函数图像略， 由图可得函数最小值为0，没有最大值，故①正确； 当时，，随的增大而增大即当时，随的增大而增大，故②错误； 当时，图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确． （2）解：分两种情况解方程： 当时，令，解得，满足条件； 当时，令，解得或，均满足； 因此自变量的值为或或． （3）解：①∵关于的方程有三个不同的解， ∴直线与分段函数的图象有三个交点， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得． ②直线恒过定点， ∵将函数图像进行平移后得到新函数， ∴平移规律为函数向右平移3个单位长度， ∴点向右平移3个单位得，点向右平移3个单位得， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得，直线与新函数有三个交点时，． 题型23.实际问题与反比例函数 1．已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 2．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【分析】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 3．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】(1)反比例函数，； (2)解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【分析】（1）根据表格数据可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）略． ✺巩固测试 一、单选题 1．反比例函数的图象经过点和．则m的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】把点坐标代入解析式，即可求出k的值，再将点坐标代入解析式解出m即可． 【详解】解：把代入解析式得： ， 解得：， ∴反比例函数， 将点坐标代入解析式得：． 2．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数系数的符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数 ，， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限． 3．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 4．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 5．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 6．已知点和在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的比例系数的意义，判断与的关系即可． 【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 7．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出，的值，最后根据反比例函数的增减性判断范围． 【详解】解：设， 将点代入，得， ∴， 令，得， ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 二、填空题 9．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 10．氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 11．已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先判断出函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小，然后结合求解． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 点在第一象限，，， ∴． 12．函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则_____，此时不等式的解集为_____． 【答案】 -4 或 【分析】利用左加右减的平移规律即可得到结论，根据图象即可求得． 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则； 画出函数图象： 观察图象，不等式的解集为或． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 13．已知直线y=kx与双曲线y=的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____． 【答案】（-2，-4） 【分析】根据交点的横坐标是2，得到，求得k值，确定一个交点坐标为（2，4），根据图像的中心对称性质，确定另一个交点坐标即可． 【详解】∵交点的横坐标是2， ∴， 解得k=2， 故函数的解析式为y=2x，y=， 当x=2时，y=4， ∴交点坐标为（2，4）， 根据图像的中心对称性质， ∴另一个交点坐标为（-2，-4）， 故答案为：（-2，-4）． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图像的中心对称问题，熟练掌握交点的意义，灵活运用图像的中心对称性质是解题的关键． 14．如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于______． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 当该机器狗载重后总质量时，最快速度， ， ， ， ， 时，随的增大而减小， 当时，， 当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于． 故答案为：4． 15．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质可得，反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，据此表示出与，即可计算的值． 【详解】解： 函数的图象经过点和， ， 整理得，， ． 三、解答题 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求n的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入，求出m的值，得出反比例函数的解析式，再将点B的坐标代入该解析式，即可求出n的值； （2）求出点B的坐标，根据图象，写出一次函数图象低于反比例函数图象时x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； ∴， 将代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴由图可知，当或时． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2) (3)4 【分析】（1）先将代入求出的值，继而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴将代入得， ， ∴反比例函数解析式为， 将代入得， ， 将代入一次函数解析式， 得，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 19．已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为； (2)不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）解：不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 20．已知一次函数与反比例函数的图像交于点． (1)求和的值； (2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？ (3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)第一、三象限 (3) 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据反比例函数的性质即可求解； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意点既在一次函数也在反比例的图像上， ∴， 解得； ， 解得； （2）由（1）可得， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限； （3）根据题意得：， 解得． ∴所有这样的点的横坐标的取值范围是． 21．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 23．如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，反比例函数 的图象相交于两点，动点P在线段上(不与点A，B重合)，过点P作 轴于点C，连接OP． (1)点P在何处时， 的面积为？ (2)在（1）的前提下，反比例函数的图象刚好与一次函数图象交于点P，求出反比例函数解析式； (3)当 的面积最大时，求出点P的坐标和最大面积． 【答案】(1)点P的坐标为或 (2) (3)点P的坐标为，最大面积为 【分析】（1） 设点P的坐标为，根据 的面积为列出方程求解即可； （2）将点P代入求解即可，注：也可以使用 的面积为求解； （3）设点P的坐标为，列出 的面积关于m的解析式，再化为顶点式即可得解． 【详解】（1）解：∵点P在线段上， ∴设点P的坐标为， 则， ∵ 的面积为， ∴ ， 解得 或． ∴点P的坐标为或． （2）由（1）知点P的坐标为或 ∵点P在反比例函数图象上， ∴ ， ∴反比例函数图象为． （3）设点P的坐标为， 的面积为S，则， 且当时，， ∴此时点P的坐标为，最大面积为． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数 的图象交于点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积，并直接写出x为何值时双曲线位于直线上方； (3)设M是反比例函数 图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)点N的坐标为，， 【分析】（1）将点C代入直线中求出b，进而得出直线的解析式，然后求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式中，即可得出答案； （2）求出点B坐标，根据三角形的面积公式进行计算；然后结合函数图象得出x的取值范围； （3）设点，，分三种情况讨论：①以和为对角线时，②以和为对角线时，③以和为对角线时，分别利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴一次函数的表达式为； ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）在中，令， 解得， ∴， 又∵， ∴， 由函数图象得：当时，双曲线位于直线上方； （3）∵直线的表达式为，反比例函数的表达式为， 设点，， 若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形， 则分情况讨论： ①以和为对角线时， 可得：，， 解得：，或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴； ②以和为对角线时， 可得：，， 解得： 或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴， ③以和为对角线时， 可得：，， ∴或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴， 综上，满足条件的点N的坐标为，，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数和反比例函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标的求法等知识，利用中点坐标公式建立方程组求解是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07反比例函数 暑假预习讲义 ✺知识框架 反比例函数概念：函数定义、三种等价解析式、自变量与函数值取值范围、易混函数辨析 反比例函数图象与性质：双曲线图象特征、系数k与图象象限对应关系、象限内增减性、图象对称性 反比例函数解析式求解：待定系数法四步解题法、判断点是否在函数图象上 反比例函数实际应用：定值乘积类问题建模、自变量实际取值限制、函数变化规律分析 ✺学习目标 概念辨析：理解反比例函数的本质定义，熟练掌握三种等价解析式，明确自变量与函数值的取值限制；能准确辨别反比例函数，清晰区分反比例函数、正比例函数与一次函数。 图象性质：认识反比例函数双曲线的图象特征，熟记比例系数k的正负与图象象限、函数增减性的对应规律；掌握函数图象的对称特点，能结合图象快速判断函数基本性质，规范表述增减性。 运算求解：熟练运用待定系数法求解反比例函数解析式，掌握标准解题步骤；能精准判断平面内任意一点是否在反比例函数图象上，熟练解决基础求值、参数计算题型。 实际应用：能从生活实际问题中抽象出反比例函数模型，理解“两个变量乘积为定值”的核心特征；结合自变量实际取值范围，分析变量变化规律，解决简单的反比例实际问题。 ✺题型归纳 题型1.用反比例函数描述数量关系 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 题型3.根据反比例函数的定义求参数 题型4.求反比例函数值 题型5.由反比例函数值求自变量 题型6.判断（画）反比例函数图象 题型7.已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型8.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型9.已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型10.判断反比例函数的增减性 题型11.判断反比例函数图象所在象限 题型12.已知反比例函数的增减性求参数 题型13.比较反比例函数值或自变量的大小 题型14.已知比例系数求特殊图形的面积 题型15.根据图形面积求比例系数（解析式） 题型16.求反比例函数解析式 题型17.反比例函数与几何综合 题型18.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型19.一次函数与反比例函数图象综合判断 题型20.一次函数与反比例函数的交点问题 21.一次函数与反比例函数的实际应用 题型22.一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型23.实际问题与反比例函数 题型24.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、反比例函数的概念 一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。其中，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 三种等价解析式： 1.标准分式式：y=(k≠0) 2.核心乘积式：xy=k(k≠0)（自变量与函数值的乘积为固定常数） 3.负指数式：y=k(k≠0)（多用于参数求解，函数判断） 取值范围： 自变量 x：x≠0（分式分母不能为0） 函数值 y：y≠0（k为非零定值，x不为0，乘积不为0） 常数 k：k≠0，若k=0，则 y=0为常函数，不是反比例函数。 预习易错提示：k≠0是反比例函数的必要条件，解析式中自变量x只能为一次且位于分母位置，区别于正比例函数、一次函数。 知识点二、反比例函数的图象与性质 反比例函数 y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成，核心性质如下： 1. 图象分布与增减性（核心重难点） 当 k>0时：双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当 k<0时：双曲线两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 2. 图象对称性 反比例函数图象既是中心对称图形：对称中心为坐标原点，也是轴对称图形：对称轴为直线y=x和y=-x。 关键易错点：反比例函数的增减性仅限同一象限内，不能跨两个象限整体讨论函数增减变化。 知识点三、求反比例函数解析式 反比例函数y=（k≠0中，）只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图象上一点的坐标，代入解析式中求出k，即可确定反比例函数的解析式，求反比例函数解析式的一般步骤为： 设：设所求的反比例函数解析式为y=(k≠0)； 代：将已知条件中对应的x,y值代入y=中，从而得到关于k的方程; 解：解关于k的方程，求出k的值； 定：将k值代入y=中，得到函数解析式. 知识点四、反比例函数的图象及画法 1. 反比例函数的图象 反比例函数y=(k≠0)的图象由两条曲线组成，它是双曲线。这两条曲线分别位于第一、三象限（k＞0时）或第二、四象限（k＜0时）。它们的图象与x轴、y轴没有交点，即双曲线的两支都无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 2. 反比例函数图象的画法（描点法） ● 列表:要先取一些自变量的值,在原点的两边取三对或三对以上相反数,如1和-1,2和-2,3和-3等,列表表示出自变量和函数的对应值.求y值时,只需计算原点一侧的函数值. ● 描点:根据表中提供的数据,即点的坐标,在平面直角坐标系中描出对应的点. ● 连线:用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸,注意双曲线的两支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交. 知识点五、比例系数k的几何意义 设反比例函数解析式：y=(k≠0，点(P(x,y)是双曲线图像上任意一点。 如图1.过双曲线上任一点P（x,y）分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,两条垂线与坐标轴围成矩形。 矩形长|x|，宽|y|，面积： S=PM·PN=｜y｜·｜x｜=｜xy｜=｜k｜ 如图2.过双曲线上任意一点作一条坐标轴的垂线，连接这个点与原点，所得三角形的面积为 · 知识点六、实际问题与反比例函数 1.反比例函数应用中常见的基本关系 行程类问题：路程=时间×速度. 工程类问题：工作量=工作时间×工作效率.  等积类问题：变形前后物体的体积(或质量)不变. 图形类问题：根据图形的特征，结合规则图形的周长公式、面积公式、体积公式等来解题. 2 用反比例函数解决实际问题的步骤 审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系 设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示 列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数 写：写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围 解：用函数解析式去解决实际问题 ✺题型精讲 题型1.用反比例函数描述数量关系 1．下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 2．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是____． 3．某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 1．下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 3．下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 题型3.根据反比例函数的定义求参数 1．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 2．若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 3．已知函数是反比例函数，求m的值． 题型4.求反比例函数值 1．下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．若函数的图象经过点，则________． 3．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 题型5.由反比例函数值求自变量 1．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．已知反比例函数的图象经过点，则______． 3．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 题型6.判断（画）反比例函数图象 1．反比例函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 2．若二次函数的对称轴是直线，则反比例函数经过第______象限． 3．已知函数 (1)写出自变量x的取值范围 (2)①列表 … 1 2 3 4 … … 1 0 10 6 4 3 … ②描点：在下面给出的直角坐标系中补全对应的各点 ③连线（将图中描出的各点用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象） (3)观察函数的图象，回答下列问题 ①图象与x轴有 个交点， 其对应的方程的实数解是 ． ②函数图象的对称性是（    ） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．只是轴对称图形 C．只是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 (4)将函数的图象 可以得到此函数的图象． 题型7.已知反比例函数的图象，判断其解析式 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 2．点（－3，4）在反比例函数的图象上，则的值为_______ 3．若点，在同一个反比例函数的图像上，则的值为_______． 题型8.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________． 3．如图，与的直径为2，反比例函数的图像与两圆分别交于点A，B，C，D，求图中阴影部分的面积． 题型9.已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 3．已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 题型10.判断反比例函数的增减性 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 2．反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”） 3．小明在学习过程中遇到一个函数，下面是小魏对其探究的结果，请补充完整： 将函数的解析式进行变形，得，即． （1）当时，对于函数，随的增大而减小，且；对于函数，随的增大而___________，且的取值范围是__________； （2）当时，函数的图象如图所示． 下表是函数，当时，与的几组对应值： … 1 2 3 4 5 … … 3 2 … 结合表格内的数据，在上面给定的坐标系内画出当时的函数的图象． （3）综合上述图象和结论，猜想：函数的图象是由函数的图像向___________平移__________个单位后得到的； （4）由以上猜想可知：函数（为常数）的图象的对称中心坐标为__________． 题型11.判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 2．反比例函数的图象在第_______象限． 3．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下： （1）写出自变量x的取值范围； （2）画函数图象； 列表：下表是x与y的几组对应值，其中____________； x … －3 －2 －1 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象； （3）通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________； ②____________． 题型12.已知反比例函数的增减性求参数 1．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 3．在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 题型13.比较反比例函数值或自变量的大小 1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 3．已知反比例函数．点均在反比例函数的图象上，若，请写出的大小关系，简单说明理由． 题型14.已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 2．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 3．如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 题型15.根据图形面积求比例系数（解析式） 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B．函数的图象与线段交于点C，且．若的面积为18，则k的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 题型16.求反比例函数解析式 1．已知反比例函数的图象过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知近视眼镜镜片的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么与的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围） 3．已知反比例函数的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 题型17.反比例函数与几何综合 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，顶点落在函数的图象上．函数的图象分别交边和边于点、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 3．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上 (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值． 题型18.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 2．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 3．函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型19.一次函数与反比例函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 2．若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是____________． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 题型20.一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点和点（点在点的左侧），且点与点的横坐标之差是4，设点的横坐标为． (1)点的坐标为________，点的坐标为________；（用含有的代数式表示） (2)求反比例函数的关系式； (3)直接写出不等式的解集为________． 21.一次函数与反比例函数的实际应用 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 2．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．    (1)求k的值及直线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 3．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 题型22.一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤ 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 3．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 (1)当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 (2)在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 (3)①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 题型23.实际问题与反比例函数 1．已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 2．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 3．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．反比例函数的图象经过点和．则m的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 2．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 4．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 5．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 6．已知点和在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（     ） A．； B．； C．； D．． 7．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 二、填空题 9．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 10．氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 11．已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 12．函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则_____，此时不等式的解集为_____． 13．已知直线y=kx与双曲线y=的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____． 14．如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于______． 15．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 16．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 三、解答题 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求n的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 19．已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 20．已知一次函数与反比例函数的图像交于点． (1)求和的值； (2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？ (3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 21．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 22．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 23．如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，反比例函数 的图象相交于两点，动点P在线段上(不与点A，B重合)，过点P作 轴于点C，连接OP． (1)点P在何处时， 的面积为？ (2)在（1）的前提下，反比例函数的图象刚好与一次函数图象交于点P，求出反比例函数解析式； (3)当 的面积最大时，求出点P的坐标和最大面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数 的图象交于点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积，并直接写出x为何值时双曲线位于直线上方； (3)设M是反比例函数 图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $