1.4 正方形的性质与判定 教案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该教案聚焦正方形的判定方法这一核心知识点，通过引导学生回忆矩形、菱形的判定方法，类比提出正方形判定问题，搭建从特殊平行四边形到正方形的知识支架，梳理判定定理与平行四边形、矩形、菱形的联系。 特色在于融合类比迁移与自主探究，引导学生自主证明“对角线相等的菱形是正方形”等定理，通过中点四边形探究培养推理能力与几何直观，分层作业设计提升应用意识。帮助学生构建知识体系，教师可高效复习特殊平行四边形判定，提升课堂效率。

分课时教学设计 《1.4 正方形的性质与判定 》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 用类比方法归纳正方形的判定方法，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系。 学习者分析 探究总结对角线相等的菱形是正方形．对角线垂直的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形。 教学目标 1. 用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力。 2. 探究并证明正方形的判定定理。 3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力。 教学重点 证明正方形的判定定理。 教学难点 灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 问题1：你是如何判定矩形、菱形的？ 问题2：怎样判定一个四边形是正方形呢？ 归纳总结：对角线相等的菱形是正方形．对角线垂直的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形。 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题。通过观察、猜想、验证等过程，学生经历知识的形成过程。  活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，进行探索。用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力。 环节二：新知探究 教师活动2： 问题3：你能证明以上归纳总结的结论吗？ 已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB．求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°．∵AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD．∴四边形ABCD是正方形． 剩余结论，同学们自己动手证明一下吧! 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论。小组之间交流议一议中的问题，教师通过追问的方式,让学生互相补充,巩固对正方形性质的理解。 学生自主解答，教师适时的进行提示 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，探究并证明正方形的判定定理，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系。 环节三：典例精析 例1 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形. 我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形．那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明． 如图，顺次连接正方形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？ 解：四边形EFGH是正方形．理由如下：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC．同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD．∴EF∥HG，EF=HG．∴四边形EFGH为平行四边形．又∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD．∴EF=FG=HG=EH，∠DOC=90°．∴四边形EFGH是菱形，∠EFG=90°．∴四边形EFGH为正方形． 思考1：以矩形或菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？ 解：四边形EFGH是菱形．理由如下：连接AC、BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．∵点E、F、G、H为各边中点，∴EF=GH=BD，FG=EH=AC．∴EF=GH=FG=EH．∴四边形EFGH是菱形． 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？和同桌交流讨论． 思考2：以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？ 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系． 归纳总结： 对角线不垂直，不相等 对角线不垂直，不相等 对角线相等 对角线垂直 对角线相等且垂直 平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 学生活动3： 参与教师分析和讲例题．对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力。 板书设计 板书设计 第2课时 正方形的判定 正方形的判定 投影区 1.定理 2.定理 学生活动区 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学依据是（　　） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 选做题： 2.如图，在矩形 ABCD中，M，N分别是边 AD，BC 的中点，E，F分别是BM，CM的中点，当AB∶AD= 时，四边形MENF是正方形。 【综合拓展类作业】 3. 如图，在四边形 ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证:四边形EFGH是正方形。 课堂总结 课堂小结，自我完善 对角线相等的菱形是正方形。对角线垂直的矩形是正方形。有一个角是直角的菱形是正方形。 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 选做题： 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90^∘ ，∠CAB与∠ABC 的平分线交 于点D，DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,则四边形CEDF 的形 状为________。 【综合拓展类作业】 3.如图，在四边形ABCD中， AB=BC ，对角线BD平分ABC ， P是BD上一点，过点P作PMAD ， PNCD ，垂足分别为M，N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。 答案： 【课堂练习】 1. A 2. 1∶2 2. 证明：∵E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF = AC，GH = AC，EH = BD，FG = BD， EF ∥AC 且EH∥BD。 ∵AC=BD，EF =FG =GH =HE，∴四边形EFGH 是菱形。又∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴EH⊥EF，即∠HEF=90°， ∴四边形EFGH是正方形。 【作业设计】 1. D 2.正方形 2. 证明： (1) ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AB = BC，DB=DB， ∴△ABD≌△CBD (SAS)， ∴∠ADB=∠CDB。 证明： (2) ∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°。 又∵∠ADC=90°， ∴四边形NPMD是矩形。 ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°。∴∠MPD=45°， ∴∠ADB=∠MPD， ∴DM=PM。∴四边形NPMD是正方形。 教学反思 本课虽然是学习正方形的判定，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形判定的复习、归纳和总结的作用，培养学生的发散思维能力。 学科网（北京）股份有限公司 $