1.1.1空间向量及其线性运算课件----2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的定义、线性运算及共线共面向量等核心知识，通过类比平面向量导入，搭建从二维到三维的学习支架，衔接平面向量知识，引导学生逐步构建空间向量体系。 其亮点在于结合AI思考辨析和问题驱动，以平行六面体、正方体等实例，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理证明、用数学语言表达向量关系。通过分层训练和规律总结，帮助学生提升空间观念和逻辑推理能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第一章　空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 学 习 目 标 1.类比平面向量,了解空间向量的定义及相关概念. 2.理解由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律. 4.掌握共线向量和共面向量的定义,会证明空间三点共线、四点共面. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1 空间向量的定义及相关概念 1.定义 在空间,我们把具有　　　　和　　　　的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的　　　　　或　　　　　.  2.空间向量及其模的表示方法 空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作　　　　,其模记为　　　　　或　　　　　.  大小 方向 长度 模 |a| || 3.空间向量的相关概念 名称 概念　 记法 零向量 长度为0的向量 0 手写时应记作“ ” 单位向量 　　　　的向量  — 相反向量 与向量a长度　　　而方向　　　的向量,叫做a的相反向量 -a 模为1 相等 相反 名称 概念　 记法 相等向量   方向　　　　且模　　　　的向量  向量可以在空间中平移,两个相等向量也可称为同一向量 — 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线　　 　　或　　　 　,那么这些向量叫做共线向量或　　　　 　.  我们规定:零向量与任意向量　　　 　,即对于任意向量a,都有0　 　　a  a∥b 相同 相等 互相平行 重合 平行向量 平行 ∥ AI·思考辨析 “若两个空间向量共线,则这两个向量的方向一定相同”,该说法是否合理? 提示 不合理.零向量与任意向量共线,零向量方向任意,非零共线向量的方向要么相同,要么相反. 体验新知 1.下列说法正确的是(　　) A.若|a|=|b|,则向量a∥b B.若|a|>|b|,则向量a>b C.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 D.若a与b是相反向量,则|a|=|b| D 2.(2026贵州毕节高二期中)下列命题中,假命题是(　　) A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B.|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 D 解析 由空间向量的定义知,空间向量具有大小和方向,所以任意两个空间向量不能比较大小,故A为真命题;两个向量模长相等,方向不一定相同,充分性不成立,两个相等向量模长一定相等,必要性成立,故B为真命题;长度为0的向量叫做零向量,只有零向量的模长等于0,故C为真命题;共线的单位向量是相等向量或相反向量,故D为假命题.故选D. 知识点2 空间向量的线性运算 空间向量 的加法、 减法 类比平面向量,定义空间向量的加法、减法运算(如图).   空间向量 的数乘   运算律 ①交换律:a+b=b+a; ②结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=　　　　;  ③分配律:(λ+μ)a=　　　　　,λ(a+b)=　　　　　.(其中λ,μ∈R)  0 (λμ)a λa+μa λa+λb AI·思考辨析 对于任意空间向量a,b,|a+b|=|a|+|b|成立吗? 提示 不一定成立,当这两个向量为非零向量且同向时成立,存在一个向量为零向量时也成立. 体验新知 1.(多选题)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,则下列各式运算结果是的为(　 　) A.　 B. C. D. ABC 解析 选项A中,,故A正确; 选项B中,+()=,故B正确; 选项C中,,故C正确; 选项D中,+()=,故D错误. 故选ABC. 2.(人教B版教材习题)化简:(a+2b-3c)+5(a-b+c)-3(a-2b+c). 解 (a+2b-3c)+5(a-b+c)-3(a-2b+c) =(+5×-3)a+(×2-5×+3×2)b+(-×3+5×-3)c =a+b-c. 3.(苏教版教材例题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: 解 (1). (2)因为M是BB1的中点,所以. 又,所以. (3). 化简得到的向量如图所示. 知识点3 共线向量与共面向量 1.方向向量 在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的 　　　　　.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的 　　　　　表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.  方向向量 方向向量 2.共面向量的定义 (1)向量与直线平行 如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA与直线l　　 　或　　　　,那么称向量a平行于直线l.  (2)向量与平面平行 如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA　　　　　 或 　　　 　　,那么称向量a平行于平面α.  (3)共面向量 平行于同一个平面的向量,叫做　 .  平行 重合 平行于平面α 在平面α内 共面向量 类型 向量共线(平行) 向量共面 充要 条件 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使　　　　　　  如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使　　　　　　  3.空间向量共线与共面的充要条件 a=λb p=xa+yb AI·思考辨析 空间中的任意两个向量是否共面?为什么? 提示 共面.任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平面内的两个向量. 体验新知 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是共面向量.(　　) (2)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(　　) (3)若=x+y,则P,M,A,B四点共面.(　　) √ × √ 2.(人教B版教材习题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列各组向量是否共面: 解 (1)∵,∴共面. (2)∵在平面ABCD内,而, ∴共面. (3)∵A,B,C,D共面,D1在平面ABCD外, ∴不共面. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一 空间向量及相关概念的理解 【例1】 (多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以该长方体八个顶点中的任意两个分别为始点和终点的向量中(　 　) A.单位向量有8个 B.的相等向量有3个 C.的相反向量有4个 D.向量共面 ABC 解析 由题可知,单位向量有,共8个,故A正确; 的相等向量有,共3个,故B正确; 向量的相反向量有,共4个,故C正确; 因为点A1,B1,C1,D1都在平面A1B1C1D1内,点C在平面A1B1C1D1外, 所以向量不共面,故D错误. 故选ABC. 变式训练1 如图,已知ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点,求: 能力提升点二 空间向量的线性运算 【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为棱CC1上一点,化简下列向量表达式: (1); (2); (3))-. 解 (1). (2). (3))-×2. 变式训练2　(1)(2026河南高二期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, =(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 A 解析 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, , 所以 =2() =2()=2. 故选A. (2)(人教B版教材习题)如图,四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,将用向量a,b,c表示出来. 能力提升点三 空间共线向量定理及其应用 【例3—1】 若向量a与b不共线且m=a+b,n=a-b,p=a,则(　　) A.向量m,n,p共线 B.向量m与向量p共线 C.向量n与向量p共线 D.向量m,n,p共面 D 解析 因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,则p=m+n.又向量m与向量n不共线,所以向量m,n,p共面,故A错误,D正确;因为m≠λp,n≠μp,λ,μ∈R,所以向量m与向量p不共线,向量n与向量p不共线,故B,C错误. 证明 设=a,=b,=c. 因为=2,所以, 所以b,)=)=a+b-c. 所以a-b-c=. 又 =- =-b-c+a=a-b-c, 所以. 因为有公共点E,所以E,F,B三点共线. 变式训练3 (苏教版教材例题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段A1B,D1B1上,且BM=BA1,B1N=B1D1,P为棱B1C1的中点. 求证:MN∥BP. 能力提升点四 空间共面向量定理及其应用 解 (1)共面.证明如下: 因为, 所以6=3+2, 所以3-3=(2-2)+(), 因此3=2=-2. 故向量共面. (2)在.证明如下: 由(1)知向量共面,三个向量又有公共点M, 故M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内. 变式训练4　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1.求证:共面. 证明 因为 ), 所以 )- )+, 所以共面. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量的相关概念; (2)向量的线性运算及运算律; (3)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量; (4)空间向量共面的充要条件,三点共线、四点共面的证明方法. 2.方法归纳:类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合和转化思想. 3.常见误区:(1)容易忽视向量的“大小”和“方向”两个要素,要注意向量不是一个数;(2)容易混淆向量共线与线段共线、点共线之间的关系. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.(AI原创)下列关于空间向量的说法正确的是(　　) A.若空间中两个向量的模相等,则这两个向量是相等向量 B.零向量与任意空间向量平行,且零向量的方向是任意的 C.若a与b共线,b与c共线,则a与c一定共线 D.用有向线段表示空间向量时,有向线段的起点不同,所表示的向量也不同 B 1 2 3 4 5 2.(2026广东深圳高二期中)已知四面体OABC中,D是BC的中点,则)=(　　) A. B. C. D. B 解析 如图, ) =×2 .故选B. 1 2 3 4 5 3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,E,F分别是AB,AA1的中点,则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中: (1)的共线向量(平行向量)为　 ;  (2)模为的向量是　 ;  (3)向量　　　　　.(填“共面”或“不共面”)  不共面 1 2 3 4 5 解析 (1)的共线向量(平行向量)为. (2)易知矩形ADD1A1,矩形BCC1B1的对角线长均为,故模为的向量有. (3)因为,则向量有一个公共点A1. 而点A1,B1,D1都在平面A1B1C1D1内,点A在平面A1B1C1D1外, 所以向量不共面. 1 2 3 4 5 4.(人教B版教材习题)如果A,B,C,D是空间中的四点,且=2-3,那么这四个点是否一定共面? 1 2 3 4 5 5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1);(2);(3). 1 2 3 4 5 解 (1)=a+b+c. (2)=a+c+b. (3)=-=-a+b+c. 本 课 结 束 (1); (2); (3). (1); (2); (3). (1)与相等的向量; (2)与相反的向量; (3)与平行的向量. 解 (1)∵平行六面体ABCD-A1B1C1D1是棱柱,∴侧棱都平行且相等, ∴与相等的向量为. (2)如图,连接AD1,由平行六面体的性质,可得D1C1AB, ∴四边形ABC1D1是平行四边形, ∴BC1AD1,故与相反的向量为. (3)连接CD1,由平行六面体的性质,可得A1D1BC, ∴四边形BCD1A1是平行四边形, ∴BA1CD1,故与平行的向量为. 解 ∵D为BC的中点,E为AD的中点, ∴)-, ∴ =a+b+c. 【例3—2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且.求证:E,F,B三点共线. 思路分析 例3—2可通过证明共线来证明E,F,B三点共线. 证明 .因为BM=BA1,B1N=B1D1, 所以=-=-)+) =. 又因为P为B1C1的中点, 所以=, 从而为共线向量. 因为直线MN与BP不重合,所以MN∥BP. 【例4】 已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,点M满足 . (1)判断三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. 思路分析 要证明三个向量共面,只需证明存在实数x,y,使=x+y,证明了三个向量共面,即可说明点M就在平面内. 解 ∵=2-3,∴由共面向量定理知A,B,C,D四点一定共面. $