26.2.2.1二次函数y=y=ax²+k 的图象和性质课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+k\)的图象和性质，课堂导入通过回顾\(y=ax^2\)的对称轴、顶点、开口方向等特征，延伸至新函数，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于采用描点法与平移关系探究，结合蝴蝶剪纸抛物线实例培养几何直观（数学眼光），通过对比分析发展推理意识（数学思维），分层练习助学生用数学语言表达性质（数学语言），能帮助学生系统掌握知识，也为教师教学提供清晰思路。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十六章 二次函数 26.2.2.1 二次函数 \(y=ax^2+k\) 的图象和性质 练习题 知识点回顾：二次函数 $$y=ax^2+k(a eq0)$$ 的图象是由抛物线 $$y=ax^2$$上下平移得到：$$k&gt;0$$ 向上平移 $$k$$ 个单位；$$k<0$$向下平移 $$|k|$$ 个单位。通用性质：对称轴始终为y轴（直线 \(x=0\)），顶点坐标为 $$(0,k)$$。① $$a>0$$：开口向上，顶点为最低点，最小值 $$y=k$$；$$x<0$$ 递减，$$x>0$$ 递增。② $$a<0$$：开口向下，顶点为最高点，最大值 $$y=k$$；$$x<0$$ 递增，$$x>0$$ 递减。③ $$|a|$$ 决定开口大小，与 \(k\) 无关。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线 $$y=2x^2+3$$ 的顶点坐标是（） A. $$(0,3)$$ B. $$(3,0)$$ C. $$(0,-3)$$ D. $$(2,3)$$ 2. 抛物线 $$y=-3x^2-1$$ 的开口方向和最值说法正确的是（） A. 向上，最小值 -1 B. 向上，最大值 -1 C. 向下，最大值 -1 D. 向下，最小值 -1 3. 将抛物线 $$y=4x^2$$ 向下平移2个单位，所得解析式为（） A. $$y=4x^2+2$$ B.$$y=4x^2-2$$ C. $$y=4(x-2)^2$$ D. $$y=4(x+2)^2$$ 4. 对于抛物线 $$y=x^2-5$$，下列说法正确的是（） A. 对称轴是直线 $$x=5$$ B. 当 $$x>0$$ 时，y随x增大而减小 C. 顶点 $$(0,-5)$$ D. 图象开口向下 5. 已知点 $$(-2,y_1)$$、$$(1,y_2)$$ 在抛物线 $$y=2x^2-4$$ 上，则（） A. $$y_1>y_2$$ B. $$y_1<y_2$$ C. $$y_1=y_2$$ D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 抛物线 $$y=-5x^2+2$$ 的对称轴是__________，顶点坐标是__________。 2. 抛物线 $$y=3x^2-6$$ 可由$$y=3x^2$$ 向__________平移__________个单位得到。 3. 抛物线 $$y=-x^2+7$$ 有最__________值，为__________。 4. 已知抛物线 $$y=ax^2+2$$ 经过点 $$(1,5)$$，则 $$a=$$__________。 5. 抛物线 $$y=2x^2+k$$ 的顶点在x轴上，则 $$k=$$__________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值与增减性。 （1）$$y=5x^2-3$$　　（2）$$y=-\dfrac{1}{2}x^2+4$$ 2.（20分）已知抛物线 $$y=ax^2+k$$ 经过点 $$(2,11)$$ 和 $$(-1,5)$$。 （1）求抛物线解析式；（2）写出函数的最值与增减性。 3.（20分）已知抛物线 $$y=-2x^2+4$$。 （1）若将图象向上平移3个单位，求新抛物线解析式； （2）已知点 $$A(-2,y_1)$$、$$B(3,y_2)$$ 在原抛物线上，比较 $$y_1、y_2$$ 的大小。 参考答案 一、选择题：1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 二、填空题 1. y轴（直线$$x=0$$）、$$(0,2)$$ 2. 下、6 3. 大、7 4. 3 5. 0 三、解答题 1. 解：（1）$$y=5x^2-3$$：开口向上，对称轴为y轴，顶点$$(0,-3)$$；最小值$$y=-3$$；$$x<0$$时y随x增大而减小，$$x>0$$时y随x增大而增大。 （2）$$y=-\dfrac{1}{2}x^2+4$$：开口向下，对称轴为y轴，顶点$$(0,4)$$；最大值$$y=4$$；$$x<0$$时y随x增大而增大，$$x&gt;0$$时y随x增大而减小。 2. 解：将两点代入得方程组 $$\begin{cases}4a+k=11\\a+k=5\end{cases}$$，解得$$a=2，k=3$$，解析式为 $$y=2x^2+3$$。开口向上，最小值 $$y=3$$；$$x<0$$递减，$$x>0$$递增。 3. 解：（1）向上平移3个单位：$$y=-2x^2+7$$。 （2）抛物线开口向下、对称轴为y轴，横坐标绝对值越大，函数值越小；$$|-2|<|3|$$，所以 $$y_1>y_2$$。 26.2.2.1二次函数y=ax2+k 的图象和性质 学习目标 1.会画二次函数 y = ax2 + k 的图象.（重点） 2.掌握二次函数 y = ax2 + k 的性质并会应用.（难点） 3.理解 y = ax² 与 y = ax² + k 之间的联系.（重点） 学习目标 新课导入 导入课题 问题:说说二次函数y=ax2的图象的特征. 2 6 8 y 4 y=ax2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 （2）当a>0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ; 当a<0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ; |a|越大，抛物线的开口 . （1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 . y轴 原点 向上 最低点 向下 最高点 越小 那么y=ax2+k 呢？ （1）会用描点法画二次函数y=ax2+k的图象. （2）能说出抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的相互关系. （3）能说出抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点. 学习目标 推进新课 知识点1 二次函数y = ax2 +k的图象的画法 例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。 解：先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 5 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y = 2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 然后描点画图： 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 思考1 知识点1 二次函数 的图象 1. 对于抛物线与 的说法如下，则 正确的有( ) ①对称轴都是 轴；②开口大小相同；③顶点坐标相同 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 中考考法 7 2. 函数和 为常数，且 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 【点拨】方法一:分类讨论 的符号推图象的位置;方法二:由图 象的位置推 的符号. 中考考法 8 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2x2+1 y = 2x2 -1 上 上 y轴 y轴 （0,1） （0,-1） 相同点： 不同点： 开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。 顶点坐标发生了改变。 知识点2 二次函数y = ax2 +k的图象和性质 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？ 思考2 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 y = 2x2 观察图象可发现： 把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2-1. 向上 1 向下 1 所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线y = 2x2+1 平移 个单位得到. 向下 2 抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？ 思考3 y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 k k 结论： 抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位. 向上 向下 |k| 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线 通 过怎样的平移可得到抛物线 . 练习 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 二次函数y = ax2 +k的图象和性质: 归纳 a的符号 a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，k） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 随堂演练 1.抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移 个单位得到． 2.抛物线y＝- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2． 3.抛物线y＝-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 基础巩固 上 3 下 1 向下 y轴 （0，-5） 3. 剪纸是我国的民间传统艺 术，能为节日增加许多喜庆的氛围.剪纸中 有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮 廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图， 这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶， C A. B. C. D. 建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的,,, 四点落在 抛物线 上，则下列结论正确的是( ) 中考考法 15 知识点2 二次函数 的性质 4. 对于二次函数,当时, 的取 值范围是( ) C A. B. C. D. 中考考法 16 5.已知关于的二次函数 有最值6，且 当时，随 的增大而减小，则该二次函数的解析式是 _____________. 中考考法 17 知识点3 抛物线与 间的关系 6. 下列各组抛物线中能够通过互相平移得到 的是( ) D A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 中考考法 18 （第7题） 7.如图，将抛物线 沿 轴向下平移一段距离后，得到一 条新的抛物线 .若曲线 段平移至曲线段，曲线段 所扫过的区域为阴影部分，则阴影 部分的面积是____. 16 中考考法 19 课堂小结 复习y=ax2 探索y=ax2+k的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 y轴（直线x=0） （0,k） a>0,开口向上 a<0,开口向下 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $