1.3公式法第2课时（教学课件）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式因式分解，通过知识回顾（提公因式法、平方差公式）和情境引入（填空整式乘法完全平方公式并交换位置），搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公式来源及与整式乘法的逆关系。 其亮点在于注重概念辨析（归纳完全平方式三项式、同号平方项、积的2倍项特点）和步骤指导（“一提二套三检”原则），结合实例（如判断三角形形状、简化计算）培养学生抽象能力、推理意识和模型意识。采用问题链引导和分层练习，小结系统梳理公式与方法，助力学生掌握因式分解技能，为教师提供清晰教学路径和丰富教学资源。

1.3 公式法 第1章 因式分解 第2课时 学 习 目 标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式;（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点） 知识回顾 2.把下列各式分解因式: (1)ax4-ax2; (2)x4-16. 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)； 平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b). 解:(1)ax4-ax2 =ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1). (2)x4-16 =(x2+4)(x2-4) =(x2 +4)(x+2)(x-2). 1.因式分解学过了哪些方法？ 有公因式，先提公因式. 因式分解要彻底. 情境引入 填空：（1）(a+2b)2＝ ； （2）(3a-b)2 ＝ . a2+4ab+4b2 9a2-6ab+b2 以上都是用完全平方公式：(a+b)2＝ a2+2ab+b2，(a-b)2＝ a2-2ab+b2计算得出来的. 整式的乘法 上述算式有什么共同特征？ 如果将上面的算式等号左右两边交换位置，等式还成立吗？ 根据上述问题中的等式填空： （1）a2+4ab+4b2＝ ； （2）9a2-6ab+b2＝ . 新知探究 探究一：用完全平方公式因式分解 (a+2b)2 (3a-b)2 根据学习用平方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2+2ab+b2、a2-2ab+b2”的式子因式分解吗？ 因式分解 它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？ 新知探究 用完全平方公式因式分解： 知识归纳 分别把乘法公式(a+b)2＝ a2+2ab+b2， (a-b)2 ＝a2-2ab+b2反过来，就得到: 语言叙述：两个数(或式子)的平方和加上(或减去)这两个数(或式子)的积的2倍，等于这两个数(或式子)的和(或差)的平方. 形如 a2±2ab+b2的式子称为完全平放式. a2+2ab+b2＝(a+b)2 ， a2-2ab+b2＝(a-b)2 . 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 新知探究 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 新知探究 完全平放式的特点： 知识归纳 1.是三项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是这两个数的积的±2倍. 只有完全平放式才可以用完全平方公式因式分解. 注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. 新知探究 1.下列多项式能用完全平方公式因式分解的有(　　) (1)a2+ab+b2；(2)a2-a+；(3)9a2-24ab+4b2；(4)-a2+8a-16. A.1个 　 B.2个 C.3个 D.4个 B 解析：(1)a2+ab+b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2-a+＝(a-)2；(3)9a2-24ab+4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)-a2+8a-16＝-(a2-8a+16)＝-(a-4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解. 1.把下列各式因式分解： (1)x2＋14x＋49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 新知探究 解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9 ＝ [(m＋n)－3]2 ＝(m＋n－3)2. 将m+n看成成一个整体. 新知探究 2.把下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－x2－4y2＋4xy. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2； (2)－x2－4y2＋4xy ＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝ －(x－2y)2. 先提取公因式. 首项系数为负数，一般先提取“-”号. 新知探究 用完全平方公式因式分解的注意事项： 知识归纳 运用完全平方公式因式分解所得结果是“和的平方”还是“差的平方”,取决于“积的二倍项的符号”与“平方项的符号”的关系:“积的二倍项”与“平方项”同号时,结果是和的平方;异号时,结果是差的平方。 新知探究 2.把多项式8a3-8a2+2a因式分解,结果正确的是(　　) A.2a(4a2-4a+1) B.8a2(a-1) C.2a(2a-1)2 D.2a(2a+1)2 C 新知探究 公式法 知识归纳 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 新知探究 探究二：完全平方公式因式分解的应用 解：(1) 2022+202×196+982 ＝2022+2×202×98+982 ＝(202+98)2 ＝3002 ＝90 000. 利用完全平方公式因式分解，可以简化计算. (2)38.92-2×38.9×48.9+48.92 ＝(38.9-48.9)2 ＝(-10)2 ＝100. 1.利用完全平方公式因式分解计算下列各式：(1)2022+202×196+982； (2)38.92-2×38.9×48.9+48.92. 新知探究 2.已知a+b＝5，ab＝10，求a3b+a2b2+ab3的值. 解：a3b+a2b2+ab3 ＝ab(a2+2ab+b2) ＝ab(a+b)2. 当a+b＝5，ab＝10时， 原式＝×10×52＝125. 方法归纳：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值. 新知探究 （1）回顾从整式乘法到因式分解的探索过程，你有哪些感悟？ （2）在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明. 提示：整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形,可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。 因式分解是解题的工具,可以将复杂的多项式转化为乘积形式,方便化简与计算。 新知探究 在进行因式分解时,应遵循“一提、二套、三检查”的原则，一般按如下步骤进行: 因式分解的一般步骤： 知识归纳 典例分析 把下列各式因式分解: (1)a2+4a+4; (2)(x-1)2-6(x-1)+9;  (3)(x2+4)2-16x2.　 例1 解:(1)a2+4a+4 =a2+2·a·2+22 =(a+2)2. (2)(x-1)2-6(x-1)+9 =(x-1)2-2·(x-1)·3+32 =[(x-1)-3]2 =(x-4)2. (3)(x2+4)2-16x2 =(x2+4)2-(4x)2 =(x2+4+4x)(x2+4-4x) =(x+2)2(x-2)2. 已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状,并说明理由． 例2 典例分析 ∴△ABC是等边三角形． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， 巩固练习 1.下列不能用公式法因式分解的是(　　) A.a2-6a+9 B.1+4a2 C.4b2+4b+1 D.a2+2ab+b2 B 2.小组活动:把多项式x2+x+1因式分解.组长小明发现小组里有以下四种结果与自己的结果“x+1)2”不同,他认真思考后,发现还有一种结果是正确的,你认为正确的是 (　　) A.x+1)2 B.x+1)2 C.x+2)2 D.(x+2)2 D 4.如图是长与宽分别为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a3b+2a2b2+ab3的值为(　　) A.2560 B.490 C.70 D.49 巩固练习 5.若x+y=2,则多项式x2+2xy+2y2的值为 (　　) A.2 B.4 C.8 D.16 B C A 巩固练习 7.因式分解：y3−4y2+4y＝ . y(y−2)2 8.若m2=n+2025，n2=m+2025，且m≠n，则代数式m3-2mn+n3的值为 . -2025 9.为了烘托新年的节日氛围,市政人员在某广场上用鲜花摆放了一个圆形花坛,已知该花坛的面积为πa2+18πab+81πb2(a>0,b>0)平方米,则这个圆形花坛的半径为　　　　　　.  (a+9b)米 6.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 .(填序号)①x2-2x-2；②x2+1；③x2-4x+4；④x2+4x+1. ③ 巩固练习 10.把下列各式因式分解: (1)4x2+8x+4; (2)(x-2y)2+8xy. (3)-9x3+18x2-9x;  (4)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2. (3)-9x3+18x2-9x =-9x(x2-2x+1) =-9x(x-1)2. (4)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2 =(x2+4)2+2·(x2+4)·4x+(4x)2 =(x2+4+4x)2 =(x+2)4. (2)(x-2y)2+8xy =x2-4xy+4y2+8xy =x2+4xy+4y2 =(x+2y)2. 解：(1)4x2+8x+4 =4(x2+2x+1) =4(x+1)2. 巩固练习 11.已知x2+4x+y2−2y+5＝0,求xy的值. 解：∵x2+4x+y2−2y+5＝0， ∴(x2+4x+4)+(y2−2y+1)=0， 即(x+2)2+(y−1)2＝0, ∴ x+2＝0，y−1＝0.  ∴x＝−2，y＝1. ∴xy＝−2. 巩固练习 12.已知a,b,c分别是△ABC的三边长. (1)分别将多项式ac-bc,-a2+2ab-b2进行因式分解; (2)若ac-bc=-a2+2ab-b2,试判断△ABC的形状,并说明理由. 解:(1)ac-bc=c(a-b); -a2+2ab-b2=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2. (2)△ABC是等腰三角形. 理由:因为ac-bc=-a2+2ab-b2, 所以c(a-b)=-(a-b)2, c(a-b)+(a-b)2=0, (a-b)(c+a-b)=0. 因为a,b,c分别是△ABC的三边长, 所以它们满足任意两边之和大于第三边, 所以c+a-b>0, 所以a-b=0, 即a=b, 故△ABC是等腰三角形. 课堂小结 公式法2 完全平方公式因式分解 a2±2ab+b2=(a±b)2 言叙述：两个数(或式子)的平方和加上(或减去)这两个数(或式子)的积的2倍，等于这两个数(或式子)的和(或差)的平方. 完全平放式的特点： 1.是三项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是这两个数的积的±2倍. 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 公式法 感谢聆听! $