1.3公式法第1课时（教学课件）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式因式分解，通过整式乘法平方差公式填空引入，提问交换等号两边是否成立引发思考，先复习提公因式法，再逆向迁移构建新知，形成旧知到新知的学习支架。 其亮点是以转化思想为主线，结合正方形剪角面积计算等实例，通过问题驱动和讲练结合培养学生推理意识与应用意识，课堂小结清晰梳理公式、注意事项及步骤，助力学生掌握分解方法，也为教师提供高效教学资源。

1.3 公式法 第1章 因式分解 第1课时 学 习 目 标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；（重点） 2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.（难点） 知识回顾 1.提公因式法因式分解时，公因式既可以是一个 的形式，也可以是一个 的形式. 单项式 多项式 2.提公因式法因式分解的步骤： (1)观察； (2)适当 ； (3)确定公因式； (4)提取公因式. 变形 情境引入 填空： （1）（x+5）（x-5） = ； （2）（3x+y）（3x-y）= ； （3）（3m+2n）（3m–2n）= ． 它们的结果有什么共同特征？ 以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2计算得出来的. 整式的乘法 9 – 9 – 如果将上面的算式等号左右两边交换位置，等式还成立吗？ 尝试将上面算式的结果分别写成两个因式的乘积，并与同伴进行交流. 新知探究 探究一：用平方差公式因式分解 （x+5）（x-5） （3m+2n）（3m–2n） （3x+y）（3x-y） 因式分解 你能由此得到什么结论？ 新知探究 用平方差公式因式分解： 知识归纳 把乘法公式(a+b)( a-b)＝a2-b2反过来，就得到 a2-b2＝(a+b)( a-b). 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2. 即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. 新知探究 解：（1）25-16x2 =52-(4x)2 =(5+4x)(5-4x)； 方法归纳：第一步，将两项写成平方的形式，找出a、b; 第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式. 1.把下列各式因式分解. （1）25-16x2； （2）. （2） = = 新知探究 解:(1)2x3-8x=2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(x-2). (2)9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n). 把下列各式因式分解： （1）2x3-8x ； （2）9(m+n)2-(m-n)2 . 还能继续分解吗？ 有公因式的要先提公因式,再进一步分解. 新知探究 1.具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式. 2.公式中的字母 即可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用. 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式. 4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简,直到不能再分解为止. 运用平方差公式因式分解的注意事项： 知识归纳 新知探究 探究二：用平方差公式因式分解的应用 如图所示，在一张边长为 a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm的正方形，求剩余部分的面积。当a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少？ 剩余部分的面积为a2-4b2=(a+2b) (a-2b)(cm2). 当a=3.6，b=0.8时， (a+2b) (a-2b) =(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8) =5.2×2 =10.4(cm2). 新知探究 解：(1)1012-992 ＝(101+99)(101-99) ＝200×2 ＝400. (2)5722×-4282× ＝(5722-4282)× ＝(572+428)(572-428)× ＝1000×144× ＝36 000. 利用平方差公式因式分解计算下列各式：(1)1012-992； (2)5722×-4282×. 方法归纳：利用平方差公式因式分解后，可以简化计算. 典例分析 运用平方差公式进行因式分解: (1))2a2b2-50；　 (2)4x3y-36xy3; (3)4(a-b)2-(a+b)2. 例1 解：(1)2a2b2-50 =2(a2b2-25) =2[(ab)2-52] =2(ab+5)(ab-5). (2) 4x3y-36xy3 ＝4xy(x2-9y2) ＝4xy(x+3y)(x-3y). (4)4(a-b)2-(a+b)2 =[2(a-b)]2-(a+b)2 =[2(a-b)+(a+b)][2(a-b)-(a+b)] =(2a-2b+a+b)(2a-2b-a-b) =(3a-b)(a-3b). 先因式分解，再求值： 4a2(x+7)-(x+7)，其中a=-5，x=3. 例2 典例分析 解:(1)4a2(x+7)-(x+7) =(x+7)(4a2-1) =(x+7)(2a+1)(2a-1). 当a=-5，x=3时， 原式=(3+7)×(-10+1)×(-10-1)=990. 巩固练习 1.多项式x2-4因式分解的结果是(　　) A.(x+2)(x-2) B.(x-2)2 C.(x+4)(x-4) D.x(x-4) 2.下列多项式中,能运用平方差公式因式分解的是(　　) A.a2+b2 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2 3.若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,则称这个正整数为“神秘数”(如4=22-02,12= 42-22)。在 1~100 这 100 个数中,“神秘数的个数是( ) A. 10 C. 12 D.13 B.11 A C D 4.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为(　　) A.a2-b2=(a-b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.(a-b)2=a2-2ab+b2 巩固练习 C 巩固练习 7.若x2-9=(x+a)(x+3),则a=　　　　.  6.因式分解:2a2-18=　　　 　.  -3 2(a+3)(a-3) 5.下列各式能用平方差公式因式分解的是 . ①a2+b2；②-x2-y2；③-x2+4；④x2-y4；⑤a4-1；⑥(x-y)2-(x+y)2. ③④⑤⑥ 8.若a+b＝3，a-b＝7，则b2-a2的值为　　　　. -21 9.计算：1002-992+982-972+962-952+… +22-12=　　　　. 5050 巩固练习 10.把下列各式因式分解: (1)(x+y)2-4； (2)2a2(n-m)+8(m-n)； (3)(2x+y)2-(x+3y)2; (4)-a4b4+16. 解:(1)(x+y)2-4 =(x+y)2-22 =(x+y+2)(x+y-2). (2)2a2(n-m)+8(m-n) =2(n-m)(a2-4) =2(n-m)(a-2)(a+2). (3)(2x+y)2-(x+3y)2 =(2x+y+x+3y)(2x+y-x-3y) =(3x+4y)(x-2y). (4)-a4b4+16 =16-a4b4 =42-(a2b2)2 =(4+a2b2)(4-a 2b2) =(4+a2b2)(2+ab)(2-ab). 巩固练习 11.当n为自然数时,(n+5)2-(n-3)2能被16整除吗?请说明理由. 解:能.理由如下: 因为(n+5)2-(n-3)2 =(n+5+n-3)(n+5-n+3) =16(n+1), 又因为n是自然数, 所以(n+5)2-(n-3)2能被16整除. 巩固练习 12.如图所示,在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b（b<）米的正方形修建花坛,其余的地方种植草坪.利用因式分解计算当a=13.6,b=1.8时,草坪的面积. 解:由图可得,草坪的面积是(a2-4b2)平方米. 当a=13.6，b=1.8时, a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) =(13.6+2×1.8)×(13.6-2×1.8) =17.2×10 =172, 即草坪的面积是172平方米. 巩固练习 13.已知a，b，c是△ABC的三边长. (1)分别将多项式 a2c2-b2c2，a4-b4因式分解; (2)若 a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状并说明理由. 解:(1)a2c2-b2c2=c2(a2-b2) =c2(a+b)(a-b); a4-b4 =(a2-b2)(a2+b2) =(a+b)(a-b)(a2+b2). 巩固练习 (2)△ABC为等腰三角形或直角三角形. 理由:∵a2c2-b2c2 =a4-b4, ∴c2(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)(a²+b²), ∴c²(a+b)(a-b)-(a-b)(a+b)(a²+b2)=0, ∴(a+b)(a-b)(c2-a²-b²)= 0. ∵a,b,c是△ABC的三边长, ∴a+b≠0, ∴a-b=0或c2-a2-b2=0， ∴a=b或c2=a2+b2， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. a2-b2＝(a+b)( a-b).（两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.） 课堂小结 公式法1 平方差公式因式分解 步骤 注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2.即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. 一提：有公因式的先提取公因式； 二套：套用公式（平方差公式）； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 感谢聆听! $