1.2提公因式法第2课时（教学课件）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解中的提公因式法第二课时，核心内容为识别多项式形式的公因式及变形后提取公因式。课堂通过知识回顾旧知（公因式定义、提公因式法步骤），结合情境引入（如a(x-y)+b(x-y)等实例），搭建从单项式公因式到多项式公因式的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于注重整体思想渗透与变形能力培养，通过探究二（如a(x-y)+b(y-x)转化为(a-b)(x-y)）发展学生推理意识，结合拼图应用（用面积表示推导an+bn=(a+b)n等）体现模型意识。采用“探究-练一练-典例-巩固”流程，学生能提升因式分解技能与数学思维，教师可借助清晰结构提高教学效率。

1.2 提公因式法 第1章 因式分解 第2课时 学 习 目 标 1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解;（重点） 2.能运用整体思想进行因式分解.（难点） 知识回顾 1.我们把多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式. 2.如果一个多项式的各项含有 ，那么就可以把这个公因式 ，将多项式化成 的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 相同因式 提出来 两个因式乘积 公因式 情境引入 思考：下面的多项式有公因式吗？ （1）a(x-y)-b(x-y); （2）2a(b+c)-3(b+c); （3）a(x-3)+2b(x-3); （4）y(x+1)+y2(x+1)2. 以上多项式有公因式，并且是多项式形式，那么怎样因式分解呢？ x-y b+c x-3 y(x+1) 新知探究 探究一：公因式是多项式的因式分解 解:（1）a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b); （2）y(x+1)+y2(x+1)2 ＝y(x+1) [1+y(x+1)] ＝y(x+1) (xy+y+1). 把下列各式因式分解: （1）a(x-3)+2b(x-3) ； （2）y(x+1)+y2(x+1)2. 把(x-3)看作一个整体，提出公因式. 把(x+1)看作一个整体，提出公因式. 新知探究 提公因式法的基本步骤： 知识归纳 (1)找出公因式：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. (2)提公因式并确定另一个因式. 注意：整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 新知探究 1.把5(a-b)+m(a-b)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是(　　) A.5+m B.5-m C.-5+m D.-5-m A 把下列各式分解因式. （1）a(x-y)+b(y-x)； （2）6(m-n)3-12(n-m)2. 新知探究 解：(1)a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) = (x-y)(a-b); (2)6(m-n)3-12(n-m)2 =6(m-n)3 -12[-(m-n)]2 = 6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2) 互为相反数 互为相反数 探究二：变形后公因式是多项式的因式分解 新知探究 (1)观察； (2)适当变形； (3)确定公因式； (4)提取公因式. 提公因式法因式分解的步骤： 知识归纳 新知探究 2.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)·(8b-7a)分解因式的结果是(　　) A.8(7a-8b)(a-b) B.2(7a-8b)2 C.8(7a-8b)(b-a) D.-2(7a-8b) 解析：(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) ＝(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)·(7a -8b) ＝(7a-8b)［(3a-4b) -(11a-12b)］ ＝(7a-8b)(3a-4b-11a+12b) ＝(7a-8b)(-8a+8b) ＝8(7a-8b)(b-a). C 新知探究 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流. 1.公因式必须是多项式的每一项都含有的因式，公因式的系数取最大公约数，相同字母取最低次幂； 2.多项式既可以是单项式也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式，注意符号变形； 3.首项为负，通常先提负号； 4.公因式要提干净，分解到不能再分解为止； 5.最后检验是否正确时，可以按照整式乘法把因式乘回去检验. 新知探究 探究三：提公因式法因式分解的应用 如图所示，有三张不同型号的长方形卡片。 (1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗? 能，选择前两张卡片能拼成长方形，如下图所示. n a ① b n ② m a+b ③ n a+b ① ② 新知探究 (2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗? n a ① b n ② m a+b ③ 能，拼成的长方形如下图所示. m+n a+b ① ② ③ 新知探究 (3)依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解?你是怎样想的? n a+b ① ② m+n a+b ① ② ③ (1)中由拼图可得an+bn=n(a+b). (2)中由拼图可得an+bn+(a+b)m=(m+n)(a+b). 同一个图形，由两种不同的面积表示形式建立等量关系，从而得到多项式的因式分解结果. 典例分析 把下列各式因式分解： (1)m(m-5)+2(m-5); (2)(x-y)2+y(y-x)；  (3)(a+b)(a-b)-a-b. 例1 (2)方法1：(x-y)2+y(y-x)        ＝（x-y)2-y(x-y)        ＝(x-y)(x-y-y)       ＝(x-y)(x-2y). 方法2：(x-y)2+y(y-x)        ＝（y-x)2+y(y-x)        ＝(y-x)(y-x+y)       ＝(y-x)(2y-x). (3)(a+b)(a-b)-a-b ＝(a+b)(a-b)-(a+b) ＝(a+b)(a-b-1) 解:(1)m(m-5)+2(m-5)        ＝(m-5)(m+2). 先因式分解，再求值：4a2(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3. 例2 典例分析 解:原式=(x+7)(4a2-3). 当a=-5,x=3时, 原式=(3+7)×[4×(-5)2-3]=970. 巩固练习 2.将3x(a−b)−9y(a−b )因式分解，应提的公因式是( ) A.3x−9y　　　　　　　　B.3x+9y C.a−b　　　　　　　　　D.3(a−b) 1.因式分解2x(-x+y)2-(x-y)3时应提取的公因式是(　　) A.-x+y                       B.x-y C.(x-y)2                      D.以上都不对 3.把多项式m2 (a-2)+m(2-a)因式分解，结果正确的是(　　) A.(a-2)(m2-m)           B.m(a-2)(m+1) C.m(a-2)（m-1)        D.m(2-a)(m-1) C D C 巩固练习 4.若m-n=-1,则(m-n)2-2m+2n的值是(　　) A.3 B.2 C.1 D.-1 A A 5.把式子2x(a-2)+y(2-a)因式分解,结果是 (　　) A.(a-2)(2x-y) B.(2-a)(2x+y) C.(a-2)(2x+y) D.(2-a)(2x-y) 6.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于(　　) A.y－x B.x－y C.3a(x－y)2 D.－3a(x－y) C 巩固练习 10.已知a+b=5，ab=4,则ab2+a2b-a-b= . 9.已知x2+3x-2=0，则2x3+6x2-4x= . 8.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,余下的部分是 . 7.因式分解：x(x-2)-x+2=　　　　　　　　. (x-2)(x-1) 0 15 (m+2) 巩固练习 11.把下列各式进行因式分解. (1) x（a+b)+y(a+b)； (2) 3a(x-y)-(x-y)； (3) 6(p+q)2-12(q+p)； (4) p(a2 +b2 )-q(a2 +b2 )； (5) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a). 解：(1) x(a+b)+y(a+b)＝(a+b)(x+y)； (2) 3a(x-y)-(x-y)＝(x-y)(3a-1)； (3) 6(p+q)2-12(q+p)＝6(p+q)(p+q-2)； (4)p(a2 +b2 )-q(a2 +b2 )＝(a2+b2)(p-q)； (5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a) ＝a(x-a)-b(x-a)-c(x-a) ＝(x-a)(a-b-c). 巩固练习 12.请仔细观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别用两种方法因式分解的过程: 甲:am+an+bm+bn =(am+an)+(bm+bn)(分成两组) = a(m+n)+b(m+n)(提公因式) =(m+n)(a+b)。 乙:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)(分成两组) = m(a+b)+n(a+b)(提公因式) =(a+b)(m+n)。 运用他们提供的因式分解的方法,把下面的多项式因式分解: 巩固练习 解:(1)(方法一)ab-ac+bc-b2 =(ab-ac)+(bc-b2) =a(b-c)-b(b-c) =(b-c)(a-b)。 (2)m2+5n-mn-5m。 (1)ab-ac+bc-b2; (2)(方法一)m2+5n-mn-5m =(m2-mn)+(5n-5m) =m(m-n)+5(n-m) =m(m-n)-5(m-n) =(m-n)(m-5)。 (方法二)ab-ac+bc-b2 =(ab-b2)+(bc-ac) =b(a-b)+c(b-a) =b(a-b)-c(a-b) =(a-b)(b-c)。 (方法二)m2+5n-mn-5m =(m2-5m)+(5n-mn) =m(m-5)+n(5-m) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)。 课堂小结 提公因式法2 公因式是多项式的因式分解 (1)找出公因式：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. (2)提公因式并确定另一个因式. 变形后公因式是多项式的因式分解 (1)观察； (2)适当变形； (3)确定公因式； (4)提取公因式. 提公因式法因式分解的应用 感谢聆听! $