专题强化二　动态平衡问题　平衡中的临界与极值问题 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 聚焦动态平衡与临界极值问题，构建“题型特征-方法步骤-典例验证”三阶解题体系，强化科学思维中的模型建构与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动态平衡问题|4考向（4例）|图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法（正弦定理法）|从三力平衡特征出发，按力的变化类型（恒力、方向不变力等）匹配方法，通过矢量三角形/几何关系实现动态分析| |临界与极值问题|2类问题（2例）|极限法、数学分析法（三角函数/二次函数）、物理分析法（矢量图动态分析）|以临界条件（静摩擦最大、支持力为零等）为切入点，结合数学工具与物理过程分析求解极值，体现科学推理的严谨性|

专题强化二：动态平衡问题&平衡中的临界与极值问题 学习目标　1.会用图解法、解析法、相似三角形法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。 考点一　动态平衡问题 动态平衡是指物体的状态发生缓慢的变化，但在变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态。常用解题方法:图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 考向　图解法 1.特征:物体受三个力作用处于平衡状态，其中一个力(F1)大小方向均不变，另一个力(F2)方向不变，第三个力(F3)大小方向均变化。 2.方法:对物体进行受力分析，保持恒力(F1)位置不变，将方向不变的力(F2)延长，然后把第三个力平移过来，使三力构成首、尾相接的封闭三角形或将某力根据其作用力效果进行分解，画出平行四边形，比较不同的三角形或平行四边形，各力的大小及变化一目了然。 说明:第三个力若与方向不变的力垂直，则第三个力有最小值。 例1 (2026·江苏苏州五中月考)如图所示，小球在F作用下处于静止状态。现保持夹角θ不变，将F逆时针缓慢转至竖直位置，在转动过程中，下列说法正确的是(　　) A.力F一直减小 B.力F先减小后增大 C.细线弹力一直增大 D.细线弹力先增大后减小 答案　B 解析　小球的受力分析如图所示，将F由图示位置逆时针缓慢转至竖直的过程中，由解析图可知，F先减小后增大，细线弹力一直减小，故B正确，A、C、D错误。 考向　解析法 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 例2 (2026·江苏南京六校月考)如图所示，细线OC一端固定于天花板，另一端悬挂着一个光滑轻质定滑轮，小物块A置于斜面上，通过细线跨过滑轮与沙漏B连接，滑轮右侧细线与斜面平行，A、B、斜面始终处于静止状态，OC与竖直方向的夹角为θ，在B中的沙子缓慢流出的过程中(　　) A.A受到的细线拉力可能先减小后增大 B.A受到的摩擦力一定缓慢增大 C.细线OC的张力一定缓慢减小 D.细线OC与竖直方向的夹角θ可能增加 答案　C 解析　A受到的细线拉力等于沙漏B的重力，在B中的沙子缓慢流出的过程中A受到的细线拉力逐渐减小，A错误;若开始时A受摩擦力沿斜面向下，则FT=mgsin θ+Ff，则随着细线拉力FT的减小，A受到的摩擦力Ff逐渐减小，B错误;细线OC的张力FTOC=2FTcos θ，可知，随细线的拉力FT减小，细线OC的张力缓慢减小，C正确;因滑轮C两边细线的拉力相等，可知OC在两个细线夹角的角平分线上，因两根细线的夹角不变，可知细线OC与竖直方向的夹角为θ不变，D错误。 考向　相似三角形法 1.特征:物体受三个力作用处于平衡状态，其中一个力为恒力，另外两个力的方向均发生改变，而且这两个力的夹角也发生改变;物体所受三个力的示意图可在实物上找到对应的位置和长度。 2.方法:将物体所受三个力首尾相连构成闭合三角形，寻找与力的三角形相似的几何三角形;利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化。 例3 如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　) A.F不变，FN增大 B.F不变，FN减小 C.F减小，FN不变 D.F增大，FN减小 答案　C 解析　小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由三角形相似，得==，当A点上移时，半径R不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，故C正确。 考向　辅助圆法(正弦定理法) 1.特征:物体受三个力作用处于平衡状态，其中一个力为恒力，另两个力的大小、方向均发生变化，但变化的两力方向夹角保持不变。 2.辅助圆法:画出受力分析图，以恒力为弦作三力矢量三角形的外接圆，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 3.正弦定理法:如图所示， 物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即==。 例4 如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，在其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直，MN被拉直无张力，OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A.MN上的张力逐渐减小 B.MN上的张力先增大后减小 C.OM上的张力逐渐减小 D.OM上的张力先增大后减小 答案　D 解析　方法一　辅助圆法 以重物为研究对象，其受重力mg、OM绳上拉力FOM、MN绳上拉力FMN，由题意知，三个力的合力始终为零，且重力的大小和方向都不变，FOM、FMN的夹角不变，将矢量三角形移至同一个圆内，如图所示，在OM转至水平的过程中，MN上的张力FMN逐渐增大，OM上的张力FOM先增大后减小，故D正确。 方法二　正弦定理法 根据正弦定理有==，mg与sin α保持不变，sin θ1先变大后变小，FOM先增大后减小，sin θ2变大，FMN变大，故D正确。 考点二　平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见种类 (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F=0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN=0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 (2)数学分析法:根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。 (3)物理分析法:根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程分析，利用平行四边形进行动态分析，确定最大值与最小值。 例5 (2026·江苏南京六校调研)如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为2m，A、B的质量都为m，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求: (1)未拉A时，C受到B作用力的大小; (2)C从初始状态至恰好降到地面的过程中，A的位移大小; (3)动摩擦因数的最小值μmin。 答案　(1)mg　(2)2(-1)R　(3) 解析　(1)未拉A时C受力分析如图甲所示 由几何关系可知θ=30° 对C由平衡条件有2Fcos 30°=2mg 得F=mg。 (2)由几何关系得A移动的位移大小为xA=2(-1)R。 (3)C刚好降到地面时，B对C的支持力最大，B恰好保持静止时动摩擦因数最小，设为μmin C受力分析如图乙所示 则有2Fmcos 60°=2mg Fmsin 60°=μmin(mg+Fmcos 60°) 解得μmin=。 例6 如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 答案　2 N 解析　方法一　三角函数法 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)，整理得F==(其中sin β=)，当θ=-β时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin==2 N。 方法二　利用“摩擦角”法 设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tan α==μ ① 再设FN与Ff的合力为F' 如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值 即Fmin=mgsin α ② 由①②得Fmin=2 N。 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如:如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 A级　基础对点练 1.(2024·山东卷，2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜坡间的动摩擦因数不能小于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　斜坡倾角越大，“天工”越容易下滑，只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上不下滑，在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑，对在30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析，有μmgcos 30°≥mgsin 30°，解得μ≥，B正确。 2.(2026·江苏常州五校联考)如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上，现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动。则在这一过程中，环对杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况是(　　) A.Ff减小，FN不变 B.Ff增大，FN不变 C.Ff减小，FN增大 D.Ff不变，FN减小 答案　B 解析　结点O和由A、绳、B组成的整体受力分析分别如图甲、乙所示 由平衡条件，对结点O有F=mgtan α，对整体有Ff'=F，FN'=(m+M)g。小球B缓慢上升过程中α增大，则F增大，Ff'增大，FN'不变，由牛顿第三定律可知环对杆的摩擦力Ff增大，环对杆的压力FN不变，故B正确。 3.(2026·江苏无锡锡东高级中学月考)如图所示，小球放在光滑的竖直墙与装有铰链的光滑薄板之间，在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中(　　) A.墙对小球的支持力减小 B.薄板对小球的支持力增大 C.墙对小球的支持力先减小后增大 D.薄板对小球的支持力可能小于球的重力 答案　A 解析　以小球为研究对象，受力分析如图所示，由图可知，在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中，墙对球的支持力FN2逐渐减小，薄板对球的支持力FN1逐渐减小，但一直大于小球的重力，直到θ变为90°时，与小球的重力大小相等，所以薄板对小球的支持力不可能小于球的重力，故A正确，B、C、D错误。 4.(2026·江苏扬州高三开学考)某建筑工地通过如图所示的装置将工件运到楼顶，工人通过细绳搭在光滑定滑轮上将带铰链的轻杆缓慢上拉，从而取得工件，在轻杆被缓慢上拉到取到工件前的过程中(　　) A.轻杆所受压力大小始终不变 B.轻杆所受压力先减小，后增大 C.工人手所受的拉力始终不变 D.工人手所受的拉力增大 答案　A 解析　对结点C受力分析，如图所示，缓慢上拉，三个力平衡，三个力组成首尾相接的矢量三角形，力三角形与几何三角形ABC相似，根据相似三角形对应边比值相等，有==，因上拉过程中mg、AB不变，AC减小，BC不变，则F减小，FN不变，因此工人手所受的拉力减小，轻杆所受压力始终不变，故A正确，B、C、D错误。 5.(2025·河北卷，4)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为(　　) A.G B.G C.G D.G 答案　B 解析　小球受力情况如图所示。由平衡条件得2Fcos 45°+FN=mg，当凹槽底部对小球支持力FN=0时，拉力F最大，有2Fmcos 45°=G，解得Fm=G，故B正确。 6.两金属小球A、B用一轻质弹簧连接，球A用轻绳悬挂于O点，在水平拉力F的作用下，两小球处于如图所示的位置，此时轻绳与竖直方向的夹角为30°。现将力F逆时针缓慢转动30°，在此过程中，轻绳与竖直方向的夹角不变。下列说法正确的是(　　) A.轻绳的拉力先减小后增大 B.A、B两小球间的距离增大 C.力F先减小后增大 D.弹簧与竖直方向的夹角增大 答案　D 解析　对A、B整体受力分析，如图甲所示，绳与竖直方向夹角不变，则轻绳拉力FT方向不变，现将力F逆时针缓慢转动30°(此时力F与轻绳拉力FT垂直)，则此过程中，轻绳拉力FT减小，力F减小至最小，故A、C错误;对B小球受力分析可知，在F转动过程中，弹簧与轻绳的夹角始终大于90°，对A小球受力分析，如图乙所示，其受轻绳拉力FT方向不变，而拉力FT变小，A小球处于动态平衡，则可知F弹在逐渐减小且与竖直方向夹角增大，即弹簧与竖直方向的夹角增大，根据胡克定律F弹=kx可知，弹簧伸长量x减小，即A、B两小球间的距离减小，故B错误，D正确。 7.如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当细线拉力最小时，推力F等于(已知重力加速度为g)(　　) A.mgcos α B.mgsin α C.mgcos 2α D.mgsin 2α 答案　D 解析　小球受力如图所示，在小球沿斜面缓慢上升过程中，小球受到的合力为零，当拉力FT与支持力FN垂直时，拉力最小，最小值为FTmin=mgsin α;对小球和斜面体整体受力分析，根据平衡条件可得F=FTmin·cos α=mgsin αcos α=mgsin 2α，故D正确。 8.如图所示，光滑直杆OA、OB在O点由铰链固定，两杆间夹角θ(θ<90°)不变，在两杆上分别套上质量相等的小环P、Q，两小环由不可伸长的轻绳连接，初始时，杆OA竖直，现缓慢顺时针转动两杆至OB竖直，则在转动过程中(　　) A.杆对环P的弹力先变大后变小 B.杆对环Q的弹力一直变大 C.杆对环P的弹力一直变大 D.杆对环Q的弹力先变小后变大 答案　C 解析　对两环和绳整体受力分析，作力的矢量三角形如图所示，缓慢顺时针转动两杆至杆OB竖直，在转动过程中，杆对环P的弹力一直变大，杆对环Q的弹力一直变小，故C正确。 B级　综合提升练 9.(2026·江苏南通通州高级中学月考)如图甲所示，自动炒菜机的电动铲子既可推动炒菜也可翻动炒菜。自动炒菜机的炒菜原理可简化为如图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球(可视为质点)放在容器的底部，竖直光滑挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心O重合，有两种方式使小球到达容器口的P点:方式一是将挡板缓慢水平向右推，在推动过程中挡板始终保持竖直，使小球到达P点;方式二是让挡板绕O点缓慢转动，使小球到达P点。下列说法正确的是(　　) A.方式一中，挡板对小球的弹力先减小后增大 B.方式一中，内壁对小球的弹力一直减小 C.方式二中，挡板对小球的弹力先减小后增大 D.方式二中，内壁对小球的弹力一直减小 答案　D 解析　方式一，小球受力分析如图(a)所示， 由平衡条件可得FN2=mgtan θ，FN1=，将挡板缓慢水平向右推的过程中，θ由0增大到90°，则挡板对小球的弹力FN2不断增大，内壁对小球的弹力FN1也不断增大，故A、B错误; 方式二，小球受力分析如图(b)所示， 由题意可知，FN1'与FN2'始终垂直，且转动过程中α增大，由平衡条件可得FN2'=mgsin α，FN1'=mgcos α，则挡板对小球的弹力FN2'不断增大，内壁对小球的弹力FN1'不断减小，故C错误，D正确。 10.(2026·江苏无锡期中)如图所示，弹性绳的一端固定在O点，另一端穿过光滑的小孔O1系着一物体，刚开始时物体静止在粗糙水平面上的A点。已知OO1的距离刚好等于弹性绳的原长，弹性绳的弹力遵从胡克定律，物体与水平面间的动摩擦因数一定。用一外力F拉着物体缓慢向右移动到B点(弹性绳始终在弹性限度内)的过程中，下列表述正确的是(　　) A.外力F大小不变 B.地面对物体的支持力FN逐渐变小 C.地面对物体的摩擦力Ff逐渐变大 D.外力F与弹性绳对物体的弹力FT的合力保持不变 答案　D 解析　物体受到重力mg、支持力FN、水平拉力F、弹性绳的拉力FT和摩擦力Ff，如图所示，设物体处于A点时，与O1点的距离为h，移动过程中弹性绳的伸长量为x，弹性绳与水平面间的夹角为θ，则h=xsin θ，根据平衡条件可得FN=mg-kxsin θ=mg-kh，可知移动过程中地面对物体的支持力FN不变，由Ff=μFN可知，移动过程中地面对物体的摩擦力Ff不变，故B、C错误;水平方向根据平衡条件可得F=Ff+kxcos θ，由于移动过程中Ff不变、伸长量x逐渐增大、θ逐渐减小，则外力F逐渐增大，故A错误;根据平衡条件可知，外力F与弹性绳对物体的弹力FT的合力与重力mg、支持力FN和摩擦力Ff的合力平衡，由于重力mg、支持力FN和摩擦力Ff三个力的大小方向均保持不变，则其合力保持不变，因此外力F与弹性绳对物体的弹力FT的合力保持不变，故D正确。 11.(2026·江苏宿迁期末)如图所示，倾角为θ=30°、静置在水平地面上的斜面体顶端有一光滑的定滑轮，斜面上的物块A通过细线(A到定滑轮间细线平行于斜面)绕过定滑轮与物块B相连，此时物块A恰要沿斜面滑动，现在物块B上施加水平向右的力使物块B缓慢升高(图中未画出)，当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ=60°时，物块A也恰要沿斜面滑动，已知物块B的质量为m，重力加速度为g，整个过程斜面体始终静止，则(　　) A.外力F的最大值为2mg B.物块A的质量为2m C.物块A和斜面间的最大静摩擦力为mg D.地面和斜面体间的摩擦力一直减小 答案　C 解析　当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ=60°时，外力F具有最大值，以B为研究对象，根据平衡条件可得tan 60°=，解得外力F的最大值为Fmax=mg，故A错误;设A的质量为mA，由题意可知，对B施加外力F前，物块A恰要沿斜面下滑，则有mAgsin 30°-Ffm=FT1，其中FT1=mg，当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ=60°时，物块A恰要沿斜面上滑，则有mAgsin 30°+Ffm=FT2，其中FT2==2mg，联立解得mA=3m，Ffm=mg，故B错误，C正确;以A、B和斜面体为整体，根据平衡条件可得Ff地=F=mgtan φ，φ逐渐增大，则地面和斜面体间的摩擦力一直增大，故D错误。 C级　拔尖进阶练 12.(2026·江苏徐州期中)如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练，运动过程中保持绳子与水平面间的夹角为θ，轮胎质量为m，重力加速度为g。 (1)若地面对轮胎的阻力大小为f，当轮胎做匀速直线运动时，求绳中的拉力FT; (2)若训练的过程中，为确保轮胎不飞离地面，求绳中拉力的最大值FTm; (3)若轮胎与地面间的动摩擦因数为μ，求轮胎匀速运动时绳中拉力的最小值。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)轮胎做匀速直线运动时，由平衡条件有FTcos θ=f 解得绳中的拉力大小为FT=。 (2)轮胎刚好不离开地面时，轮胎与地面之间的弹力为零，此时绳的拉力最大，在竖直方向由平衡条件有mg=FTmsin θ 解得绳中拉力的最大值为FTm=。 (3)轮胎在地面上做匀速直线运动，设绳子的拉力为FT'，轮胎与地面之间的弹力为FN，由平衡条件， 竖直方向有mg=FN+FT'sin θ 水平方向有FT'cos θ=μFN 联立解得绳的拉力大小为FT'== 其中tan α= 当θ+α=90°时，绳中拉力最小，最小值为FTmin=。 学科网（北京）股份有限公司 $