幂函数课时作业24----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖幂函数定义、性质及综合应用，梯度合理，适配新授课知识内化与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|幂函数定义、奇偶性、单调性等单一知识点|以选择、填空基础题为主，如判断幂函数、奇偶性与单调性简单应用，培养抽象能力与运算能力| |提升层|比较大小、定义域值域综合分析|含多选题与中档填空，如不同幂函数值比较、参数范围求解，发展推理意识| |综合层|跨知识点应用|以解答题为主，结合二次函数、不等式等，如函数性质证明、恒成立问题，提升数学思维与应用意识|

课时作业24　幂函数 一、选择题 1．下列函数属于幂函数的是(　　) A．y＝xx B．y＝3 x C．y＝x＋1 D．y＝x 2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)内单调递减的函数是(　　) A．y＝x-2 B．y＝x-1 C．y＝x2 D．y＝x 3．函数y＝x图象的大致形状是(　　) 　 A　　　 　B　　　　 C　　　 D 4．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x-2的大小关系是(　　) A．h(x)<g(x)<f(x) B．h(x)<f(x)<g(x) C．g(x)<h(x)<f(x) D．f(x)<g(x)<h(x) 5．(多选题)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α的取值可能是(　　) A．－1 B．1 C. D．3 6．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xa的图象在直线y＝x的下方，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(－∞，0) C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 7．已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有如下性质：f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则f(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 8．已知f(x)＝x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A．f(a)<f(b)<f<f B．f<f<f(b)<f(a) C．f(a)<f(b)<f<f D．f<f(a)<f<f(b) 9．(多选题)已知幂函数f(x)＝x (m，n∈N*，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是(　　) A．m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数f(x)是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)是偶函数 D．0<<1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 10．已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数，函数g(x)是R上的奇函数，函数h(x)＝＋1，则h(2 020)＋h(2 019)＋h(2 018)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 018)＋h(－2 019)＋h(－2 020)＝(　　) A．0 B．2 020 C．4 040 D．4 041 2、 填空题 11．已知幂函数f(x)＝xm-3(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则m＝________． 12．若幂函数f(x)的图象过点(4，)，则f(x)的值域为________． 13．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝ . 14．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)>f(10－2a)，则a的取值范围为 ． 15.幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)，称这簇曲线为“幂族曲线”．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两条幂族曲线y＝xα和y＝xβ三等分，即有BM＝MN＝NA，那么αβ＝ . 3、 解答题 16．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是： (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)幂函数． 17．比较下列各组数的大小： (1)3－和3.2－； (2)(－)和(－)； (3)4.1和3.8－. 18．若已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围． 19．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，当x为何值时，有①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)<g(x)? 20．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围． 课时作业24　幂函数 （答案） 一、选择题 1．下列函数属于幂函数的是(　　) A．y＝xx B．y＝3 x C．y＝x＋1 D．y＝x 解析：由幂函数的定义，幂函数满足三个条件：①自变量的系数为1；②底数为自变量；③指数为常数．故选D. 答案：D 2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)内单调递减的函数是(　　) A．y＝x-2 B．y＝x-1 C．y＝x2 D．y＝x 解析：所给选项都是幂函数，其中y＝x-2和y＝x2是偶函数，y＝x-1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D； y＝x2在区间(0，＋∞)内单调递增，不合题意，y＝x-2在区间(0，＋∞)内单调递减，符合题意，故选A.答案：A 3．函数y＝x图象的大致形状是(　　) 　 A　　　 　B　　　　 C　　　 D 解析：因为y＝x是偶函数，且在第一象限内图象沿x轴递增，所以选项D正确． 答案：D 4．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x-2的大小关系是(　　) A．h(x)<g(x)<f(x) B．h(x)<f(x)<g(x) C．g(x)<h(x)<f(x) D．f(x)<g(x)<h(x) 解析：特值法．取x＝代入排除A、B、C，可知D正确． 答案：D 5．(多选题)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α的取值可能是(　　) A．－1 B．1 C. D．3 解析：α依次取值时，y＝x－1＝，y＝x，y＝x＝，y＝x3，显然除α＝－1外，其他函数的定义域都是R且都为奇函数． 答案：BCD 6．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xa的图象在直线y＝x的下方，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(－∞，0) C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：幂函数y＝x，y＝x－1在(1，＋∞)上的图象在直线y＝x的下方，即a<0或0<a<1，故选C. 7．已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有如下性质：f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则f(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 解析：由幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有性质f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，得12α＋(－1)2α＝2[1α＋(－1)α－1]，即1＋1＝2[1＋(－1)α－1]，所以(－1)α＝1，故α为偶数．由幂函数的图象和性质可知，函数f(x)是偶函数．答案：B. 8．已知f(x)＝x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A．f(a)<f(b)<f<f B．f<f<f(b)<f(a) C．f(a)<f(b)<f<f D．f<f(a)<f<f(b) 解析：因为0<a<b<1，所以0<a<b<<，又因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(b)<f<f.故选C. 9．(多选题)已知幂函数f(x)＝x (m，n∈N*，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是(　　) A．m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数f(x)是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)是偶函数 D．0<<1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 解析：f(x)＝x＝，当m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数f(x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)在x<0时无意义，故C中的结论错误；0<<1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故D中的结论错误，故选AB. 10．已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数，函数g(x)是R上的奇函数，函数h(x)＝＋1，则h(2 020)＋h(2 019)＋h(2 018)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 018)＋h(－2 019)＋h(－2 020)＝(　　) A．0 B．2 020 C．4 040 D．4 041 解析：由题知函数f(x)既是二次函数又是幂函数，∴f(x)＝x2，∴f(x)＋1为偶函数． 又函数g(x)是R上的奇函数，则y＝为R上的奇函数． ∵h(x)＋h(－x)＝＋ ＝＋2＝2， ∴h(2 020)＋h(2 019)＋h(2 018)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 018)＋h(－2 019)＋h(－2 020)＝[h(2 020)＋h(－2 020)]＋[h(2 019)＋h(－2 019)]＋…＋[h(1)＋h(－1)]＋h(0)＝2＋2＋…＋2＋h(0)＝2×2 020＋h(0)． 又h(0)＝＋1＝1， ∴原式＝2×2 020＋1＝4 041.故选D. 4、 填空题 11．已知幂函数f(x)＝xm-3(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则m＝________． 解析：因为f(x)＝xm-3在(0，＋∞)上单调递减，所以m－3<0，所以m<3.又因为m∈N*，所以m＝1或2.又因为f(x)＝xm-3是奇函数，所以m－3是奇数，所以m＝2. 答案：2 12．若幂函数f(x)的图象过点(4，)，则f(x)的值域为________． 解析：由题意设f(x)＝xm，由点(4，)在函数图象上得4m＝，解得m＝－2. 所以f(x)＝x-2＝，故其值域为(0，＋∞). 答案：(0，＋∞) 13．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝ . 解析：∵－<－，且(－)n>(－)n， ∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数． 又n∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n＝－1，或n＝2. 答案：n＝－1，或n＝2. 14．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)>f(10－2a)，则a的取值范围为 ． 解析：∵f(x)＝x (x≥0)，易知f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 又f(a＋1)>f(10－2a)， ∴解得 ∴3<a≤5. 答案：(3,5]. 15.幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)，称这簇曲线为“幂族曲线”．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两条幂族曲线y＝xα和y＝xβ三等分，即有BM＝MN＝NA，那么αβ＝ . 解析：首先搞清幂族曲线其实是幂函数图象的集合，故应借助幂函数的解析式进行计算求解． 由条件得，M，N，因为M，N分别在y＝xα和y＝xβ的图象上，α＝，β＝，则αβ＝β＝β＝，即αβ＝1. 答案：1. 5、 解答题 16．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是： (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)幂函数． 解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则 ∴m＝1. (2)若函数f(x)为反比例函数，则 ∴m＝－1. (3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1， ∴m＝－1±. 17．比较下列各组数的大小： (1)3－和3.2－； (2)(－)和(－)； (3)4.1和3.8－. 解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数， 又3＜3.2，所以3－＞3.2－. (2)(－)＝()，(－)＝()， 函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，而＞， 所以(－)＞(－). (3)4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1， 所以4.1＞3.8－. 18．若已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围． 解：(1)依题意得(m－1)2＝1， 解得m＝0或m＝2， 当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0. (2)由(1)可知f(x)＝x2， 当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增， ∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]， ∵A∪B＝A，∴B⊆A， ∴⇒0≤k≤1. 19．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，当x为何值时，有①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)<g(x)? 解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ， 则()α＝2，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1. 所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1. 分别作出它们的图象如图， 由图象可知，①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时， f(x)>g(x)； ②当x＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 20．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围． 解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， ∴－m2＋2m＋3>0， 即m2－2m－3<0， 解得－1<m<3. 又m∈Z，∴m＝0,1,2. 而当m＝0或2时，f(x)＝x3，不是偶函数； 当m＝1时，f(x)＝x4，是偶函数． 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4. (2)由(1)知f(x)＝x4， 则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1， 由g(x)>2对任意的x∈R恒成立， 得g(x)min>2(x∈R)． ∵g(x)min＝g(－1)＝c－1， ∴c－1>2，解得c>3. 故实数c的取值范围是(3，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $