滚动训练(4) 试题范围：1.1-1.4- 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊四边形性质与几何变换的综合应用，以题串联概念生成与推理逻辑，强化空间观念与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊四边形性质|选择1-5、填空9-11|菱形/矩形/正方形性质计算与证明|从对角线、边长等基础性质到面积平分、动态最值的应用拓展| |几何变换与综合|选择6-8、解答15-18|旋转/折叠结合全等与动态问题|通过变换构建图形间逻辑联系，培养几何直观与推理能力| |中点及中位线|填空10-12、解答16-17|中点性质与中位线定理应用|从单一中点到多点中位线的逻辑推导，强化抽象能力与模型意识|

滚动训练(4)试题范围：1.1-1.4 一、选择题：本大题共8小题，共24分。 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若，，，垂足为E，则AE的长为(    ) A. 12 B. 14 C. D. 3.如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若，，则MN的长为(    ) A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 4.如图，在中，，点D，E在边BC上，，，，若F是AC边的中点，则DF的长度为    A. B. C. 2 D. 1 5.如图，在菱形ABCD中，对角线，，M，N分别是BC，CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则的最小值是(    ) A. B. C. 5 D. 6.如图，把边长为5的正方形OABC绕点O逆时针旋转得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，连接CD，若，则BP的长为(    ) A. B. C. D. 2 7.如图，在菱形ABCD中，，直线EF将菱形ABCD的面积平分，且分别交AB，CD于点E，若，，则EF的长为(    ) A. 2 B. C. D. 8.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且，连接AE，AF，若，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 9.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若，，则菱形ABCD的面积为          . 10.如图，小逸同学利用刻度直尺单位：测量直角三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上刻度2和8，D为BC的中点.若，则AD的长为           11.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接若，，则GH的最小值为          . 12.定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，四边形EFGH也是“对垂四边形”，则四边形EFGH的面积是          . 13.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若，且，则CF的长为           三、解答题：本大题共5小题，共61分。 14.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且求证： 15.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，连接DE，EF，DF，且，将绕点D逆时针旋转，得到求证：≌ 16.如图，AD和BC相交于点O，，，点E，F分别是AO，DO的中点.当时，求证：四边形BECF是矩形. 17.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上且 试探索线段AF，DE的大小关系，写出你的结论并说明理由. 连接EF，DF，分别取AE，EF，FD，DA的中点H，I，J，K，顺次连接，得到四边形 ①请在图2中补全图形; ②四边形HIJK是什么特殊平行四边形?请说明理由. 18. 【动手操作】如图1，将正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点E处，得到折痕折痕FG与折痕AC交于点H，打开铺平，连接DE，HE，HD，则的度数是          ; 【理解应用】 如图2，某公园有一块边长为60m的菱形ABCD空地，园区管理员准备在该空地上种植花卉.为方便游客观赏，在其中修四条步道AM，AN，MN和BD，且点M在BC上，点N在BD上， ①求的度数提示：构造全等先求出的度数 ②求出三条步道AM，AN和MN所围成的的面积的最小值步道宽度忽略不计 答案和解析 1.【答案】D  2.【答案】C  3.【答案】C  4.【答案】B  5.【答案】C  6.【答案】D  7.【答案】D  【解析】如图，过点A作于点P，过点E作于点Q， 四边形ABCD是菱形， ，， ， ， ， ， ，，， 四边形PAEQ是矩形， ， 直线EF将菱形ABCD的面积平分， 过菱形的对称中心， ， ， 故选 8.【答案】B  【解析】在正方形ABCD中，，BD是对角线， ， 在和中， ≌， ，， ，， ，是等边三角形， ，， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选 9.【答案】24  10.【答案】3  11.【答案】  12.【答案】2  【解析】点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，，FG，GH，EH分别为，，，的中位线，，，，四边形EFGH为平行四边形，，，，又，，平行四边形EFGH为矩形．四边形EFGH是“对垂四边形”，矩形EFGH为正方形，四边形EFGH的面积为 13.【答案】  14.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，≌  15.【答案】证明：四边形ABCD是正方形， 由旋转的性质可得，，， ，，C，M三点共线. ，， ， 又，， ≌   16.【答案】解：，，， ≌，， 点E，F分别是AO，DO的中点， ，， ，，， 和都是等边三角形， ，， ，， 四边形BECF是矩形.   17.【答案】【小题1】 解：四边形ABCD是正方形， ， ，≌， 【小题2】 ①补全图形如图. ②四边形HIJK是正方形. ，I，J，K分别是AE，EF，FD，DA的中点， ， ，， 四边形HIJK是菱形. ≌， ，， ，， 四边形HIJK是正方形.   18.【答案】【小题1】 【小题2】 ①如图2，过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为 ， 在菱形ABCD中，BD是的平分线，， ，在和中， ， ，， ， ②如图2，过点N作于点G， 设，则，， ，即， 解得，则， 当a最小时，面积最小，当时，AM最小，进而的面积最小. ，，，， ， ， 的面积存在最小值，最小值为   【解析】  解：如图1，由折叠可知，连接 由折叠可知，，， 设，则，， ， 是等腰直角三角形， 故答案为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $