26.1.1 二次函数-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念、一般形式及应用，通过喷头水珠轨迹等实际问题导入，联系已学函数知识，以生活现象为支架引导学生从数量关系中抽象出二次函数概念。 其亮点在于融合数学核心素养，通过正方形面积、水火箭高度等实际建模问题培养学生用数学眼光观察现实，借助定义辨析、参数范围求解等环节发展数学思维，以函数关系式表达实际问题强化数学语言。助力学生深化概念理解与应用能力，教师可依托分层练习与清晰小结提升教学效率。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十六章 二次函数 22.1.1 二次函数 练习题 知识点回顾：一般地，形如 $$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$ 是常数，$$a eq0$$）的函数，叫做二次函数。其中 $$x$$ 是自变量，$$a$$ 为二次项系数，$$b$$ 为一次项系数，$$c$$ 为常数项。核心特征：自变量最高次数为2、整式函数、二次项系数不为0。特殊形式：$$y=ax^2$$、$$y=ax^2+c$$、$$y=ax^2+bx$$ 均属于二次函数。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） 2. 二次函数 $$y=3x^2-2x+5$$ 的二次项系数是（） A. 3 B. -2 C. 5 D. 2 3. 若函数 $$y=(m-2)x^2+3x$$ 是二次函数，则 $$m$$ 的取值范围是（） A. $$m eq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m>2$$ D. $$m\lt2$$ 4. 函数 $$y=x^2-4$$ 的常数项为（） A. 4 B. -4 C. 1 D. 0 5. 已知二次函数 $$y=ax^2+bx$$，当 $$x=1$$ 时，$$y=2$$；$$x=2$$ 时，$$y=6$$，则$$a$$ 的值为（） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数的一般形式为________________________。 2. 函数 $$y=2x^2-5x-1$$ 的一次项系数是__________，常数项是__________。 3. 若 $$y=(k+1)x^2$$ 是二次函数，则 $$k$$ 的取值范围是__________。 4. 已知二次函数$$y=x^2-3x+1$$，当 $$x=2$$ 时，$$y=$$__________。 5. 若函数 $$y=x^{m^2-2}+3x$$ 是二次函数，则 $$m=$$__________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）判断下列函数是否为二次函数，若是，请分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）$$y=5x^2$$ （2）$$y=3x-2x^2$$ （3）$$y=x^2+\dfrac{1}{x}$$ （4）$$y=(x-1)^2$$ 2.（20分）已知函数 $$y=(m^2-1)x^2+(m-1)x+3$$。 （1）当 $$m$$ 为何值时，该函数为二次函数？ （2）当 $$m$$ 为何值时，该函数为一次函数？ 3.（20分）实际建模问题：一个正方形的边长为 $$x$$，若边长增加2，设新正方形的面积为 $$y$$。 （1）求 $$y$$ 与 $$x$$ 之间的函数关系式； （2）判断该函数是否为二次函数； （3）当原正方形边长为3时，求新正方形的面积。 参考答案 一、选择题：1.C 2.A 3.A 4.B 5.A 二、填空题 1. $$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$ 2. -5、-1 3. $$k eq-1$$ 4. -1 5. $$\pm2$$ 三、解答题 1. 解：（1）是二次函数，二次项系数5，一次项系数0，常数项0； （2）是二次函数，整理为 $$y=-2x^2+3x$$，二次项系数-2，一次项系数3，常数项0； （3）不是二次函数，分母含未知数，是分式函数； （4）是二次函数，整理为 $$y=x^2-2x+1$$，二次项系数1，一次项系数-2，常数项1。 2. 解：（1）当 $$m^2-1 eq0$$，即 $$m eq\pm1$$ 时，函数为二次函数； （2）当 $$m^2-1=0$$ 且 $$m-1 eq0$$，即 $$m=-1$$ 时，函数为一次函数。 3. 解：（1）由题意得：$$y=(x+2)^2$$，整理得 $$y=x^2+4x+4$$； （2）该函数符合 $$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$ 形式，是二次函数； （3）当 $$x=3$$ 时，$$y=(3+2)^2=25$$，新正方形面积为25。 26.1.1 二次函数 学习目标 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题； 3.能根据实际问题列二次函数关系式.（难点） 学习目标 新课导入 导入课题 问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？ 上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？ （1）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系. （2）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数. 学习目标 正方体的表面积y与棱长x的关系式为 ，y是x的函数吗？ 推进新课 知识点1 二次函数的概念 y=6x2 是 显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的函数关系式为y=6x2. 5 我们再来看几个问题。 问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个队要与其他 个球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛. (n-1) m是n的函数吗？ 即 所以比赛的场次数为 表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对 于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数. 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 问题2 产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的 倍；两年后的产量是一年后的产量的 倍.于是两年后的产量y与增加的倍数x的关系式为 . (1+x) (1+x) y=20(1+x)2 y是x的函数吗？ y=20(1+x)2 y=20x2+40x+20 表示两年后的产量y与计划增产的倍数x的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数. y=20x2+40x+20 思考 函数y=6x2 , , y=20x2+40x+20 , 有什么共同点? 上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地， 形如 y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，c分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次项 一次项 常数项 知识点1 二次函数的定义 1. 下列函数中，一定是二次函数的有( ) ；； ； ； . C A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 中考考法 12 2.若函数是二次函数，则 ___. 3 【点拨】 当函数的二次项系数包含字母时，要注意二次项系数不为 0，解此类题易只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系 数的限制，从而导致错误. . . . . 中考考法 13 ①y=6x2 , , ② y=20x2+40x+20 . ③ 分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。 出题角度一 二次函数的识别 下列函数中是二次函数的有 。 二次函数：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，a≠0） √ a=0 × 最高次数是4 × × √ =x2 √ ①⑤⑥ 运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0. 出题角度二 应用二次函数的概念求相关字母的取值(或范围) 解： 根据二次函数的定义可得 解得m=3或m=-1. 当m=3时，y=6x2+9;当m=-1时，y=2x2-4x+1. 综上所述，该二次函数的解析式为： y=6x2+9或y=2x2-4x+1. 练习 解：依题意，得 解得a=-1. 出题角度三 求二次函数的函数值 知识点2 根据具体问题确定二次函数解析式 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言； ②根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式； ③联系实际，确定自变量的取值范围. ①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式； ②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式； ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式. y=πx2 y=2(1+x)2 S=4πr2 做一做: (x>0) (x>0) (r>0) 说一说以上二次函数解析式的各项系数。 随堂演练 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y= x-2 2. 二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（ ） A.1 B.-1 C.7 D.-6 3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 . C 基础巩固 B a≠1 知识点2 二次函数的一般形式及函数值 3. 把函数 化成一般形式后， 二次项系数和一次项系数分别是( ) B A. 1,9 B. ,9 C. 1， D. ， 中考考法 23 4. [2026合肥期中] “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实 验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的 升空高度与飞行时间 满足的关系为 ．若“水火箭”的升空高度为 ，则此 时的飞行时间为( ) C A. B. C. D. 或 中考考法 24 5. 如图，它是一个运算程序示意图，若第一次 输入1，则输出的结果是____. 11 中考考法 25 知识点3 建立二次函数模型 6. 黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一. 新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为 元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天 的销售额为元.设增长率为，则关于 的函数关系式为 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 26 7. 如图,用长为 的 篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长 度是 ）,围成中间有一道篱笆的 （1）求与的函数关系式及 的取值范围. 【解】 . 矩形花圃,设该花圃的一边长是,面积是 . 中考考法 27 （2）如果要围成面积为的矩形花圃,那么 的长应为 多少米？ 当时，,解得, . , . 答：的长应为 . 中考考法 28 8. 已知二次函数 的二次项系数 与一次项系数的和为 ，差为2，则常数项为( ) A A. B. C. D. 中考考法 29 9. 刀削面堪称天下一绝， 传统的操作方法是一手托面，一手拿刀， 直接将面削到开水锅里.如图，面刚被削离 时与开水锅的高度差 D A. B. C. D. ，与锅的水平距离，锅的半径 . 若将 削出的小面条（看作点）的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使 其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度 不可能为 （提示：，，水平移动距离 ） ( ) 中考考法 30 课堂小结 问题导入，列关系式 探索二次关系式共同点 总结二次函数概念 二次函数y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，a≠0） 二次函数的判别: ①含未知数的代数式为整式； ②未知数最高次数为2； ③二次项系数不为0. 确定二次函数解析式及自变量的取值范围 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $