25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解法解一元二次方程，通过物理上抛问题（10x - 4.9x² = 0）导入，衔接配方法、公式法，构建从“降次”原理到提公因式、公式法等具体方法的学习支架，帮助学生理解解法逻辑。 其亮点是练习题分层设计（基础、进阶、综合应用），结合推理能力和模型意识，如等腰三角形周长问题培养用数学语言解决实际问题。课堂小结系统归纳步骤，助力学生形成结构化知识，教师可提升教学效率，学生深化解法本质理解。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 练习题 知识点回顾：因式分解法是解一元二次方程最简便、最高效的特殊解法，核心原理为“若$$ab=0$$，则$$a=0$$或$$b=0$$”。适用于方程右边为0，左边可通过提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式的一元二次方程。常用分解方法：提公因式法、公式法（$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$、$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$）。解题步骤：移项（使方程右边为0）、因式分解、降次为两个一元一次方程、求解得根。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 解方程$$x(x-2)=0$$，最简便的方法是（） A. 配方法 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 直接开平方法 2. 一元二次方程$$x^2-4=0$$的根是（） A. $$x=2$$ B. $$x=-2$$ C. $$x=\pm2$$ D. 无实数根 3. 方程$$(x+1)^2=2(x+1)$$因式分解后正确的是（） A. $$(x+1)(x-1)=0$$ B. $$(x+1)(x+3)=0$$ C. $$(x+1)(x-2)=0$$ D. $$x+1=0$$ 4. 方程$$x^2-6x+9=0$$的根的情况为（） A. 两个相等实数根 B. 两个不相等实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 用因式分解法解方程$$2x^2-5x=0$$，得到的根是（） A. $$x=0$$ B. $$x=\frac{5}{2}$$ C.$$x_1=0，x_2=\frac{5}{2}$$ D. $$x_1=0，x_2=-\frac{5}{2}$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 解方程$$(x-3)(x+5)=0$$，可得$$x_1=$$__________，$$x_2=$$__________。 2. 方程$$x^2-3x=0$$提公因式分解为__________，方程的根为__________。 3. 利用平方差公式分解：$$4x^2-25=$$__________。 4. 方程$$x^2-10x+25=0$$的实数根为__________。 5. 若$$x^2+mx+6=(x+2)(x+3)$$，则$$m=$$__________。 三、解答题（共60分） 1.（24分）用因式分解法解下列基础一元二次方程。 （1）$$x^2-7x=0$$ （2）$$x^2-9=0$$ （3）$$x^2+2x+1=0$$ （4）$$x^2-5x+6=0$$ 2.（18分）用因式分解法解进阶变式方程。 （1）$$3x^2-6x=0$$ （2）$$(x-2)^2-4=0$$ （3）$$2(x-3)^2=x^2-9$$ 3.（18分）综合应用题。 （1）已知一个数的平方与这个数的3倍相等，求这个数； （2）已知等腰三角形的底边长为8，腰长是方程$$x^2-9x+20=0$$的根，求该等腰三角形的周长。 参考答案 一、选择题：1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 二、填空题：1.3、-5 2.$$x(x-3)=0$$，$$x_1=0、x_2=3$$ 3.$$(2x+5)(2x-5)$$ 4.$$x_1=x_2=5$$ 5.5 三、解答题：1.（1）$$x_1=0，x_2=7$$；（2）$$x_1=3，x_2=-3$$；（3）$$x_1=x_2=-1$$；（4）$$x_1=2，x_2=3$$。2.（1）$$x_1=0，x_2=2$$；（2）$$x_1=4，x_2=0$$；（3）$$x_1=3，x_2=7$$。3.（1）设这个数为$$x$$，列方程$$x^2=3x$$，因式分解得$$x(x-3)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=3$$，这个数为0或3；（2）因式分解方程得$$(x-4)(x-5)=0$$，根为4或5，根据三角形三边关系，腰长不能为4（4+4=8，无法构成三角形），故腰长为5，周长为5+5+8=18。 25.2.3 因式分解法 学习目标 1.理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程.(重点) 2.学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次 方程.(难点) 3. 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程， 培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决 问题，体会转化的思想方法. 学习目标 新课导入 导入课题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2. 问题：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0 学习目标 (1)会用因式分解法解一元二次方程. (2)能选用合适的方法解一元二次方程. 推进新课 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？ 是否还有更简单的方法呢？ 分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0， 求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2= . 5 思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降为一次的？ 解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 解下列方程： x(x-2)+x-2=0； 解： 分解因式，得 (x-2)(x+1)=0 即 x-2 =0或x+1 =0, x1=2，x2=-1 解： 移项、合并同类项得 4x2-1=0 (2x-1)(2x+1)=0 即2x-1 =0或2x+1 =0, x1= , x2= 思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？ 提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是： 如果ab=0，则a=0或b=0. 解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 4x2－11x=0. 解： 由题可得 x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3 解： 分解因式，得 故x=0或 x1=0, 你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？ 第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根. 知识点2 一元二次方程解法的选用 选择适当的方法解下列方程： 2x2-4x+1=0； (2x-1)2=x(3x+2)-7； 解： 解：化简，得 4x2-4x+1=3x2+2x-7 x2-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0 x1=2，x2=4 x2+2x-35=0； (x-1)2+2x-3=0； 解：分解因式，得 (x-5)(x+7)=0 x1=5, x2=-7 解：化简，得 x2-2x+1+2x-3=0 x2-2=0 直接开平方法适用于哪种形式的方程？ 配方法适用于哪种形式的方程？ 公式法适用于哪种形式的方程？ 因式分解法适用于哪种形式的方程？ x2=p (mx+n)2=p ax2+bx+c=0(a≠0) x2-(m+n)x+mn=0 13 随堂演练 基础巩固 1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ ） A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，5 2.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ ） A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和2 3.方程x2-3x+2=0的根是 . 4. 方程 的根是 . D D x1=1, x2=2 5. 用适当方法解下列方程： （1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11； 解：化简，得 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得 (x-1)(x+4)=0 x1=1, x2=-4 解：化简，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5 知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据 1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 中考考法 16 2. 已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这 个方程可能为( ) A A. B. C. D. 中考考法 17 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3. 三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方 程 的一个实数根，则该三角形的周长是 ( ) B A. 23 B. 23或33 C. 24 D. 24或30 中考考法 18 4. 设是方程的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是( ) C A. B. C. D. 2 【点拨】,,或 ， 解得或是方程 的一个较大的 根，, , 或，解得或 是方程 的一个较小的根， , ，故选C. 中考考法 19 5.菱形一条对角线的长为6，另一条对角线的长是 的一个根，则这个菱形的边长为________. 或5 【点拨】， ，解得 或 菱形的另一条对角线长为6或 菱形一条 对角线的长为6, 菱形的边长为 或 .故答案为 或5. 中考考法 20 课堂小结 因式分解法 通过因式分解实现降次来解一元二次方程 提公因式法 公式法 十字相乘法 完全平方公式 平方差公式 $