湖南邵阳市隆回县第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2026年上学期高二年级数学期考试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（共40分） 1．在复平面内，对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（ ） A．1 B． C．2 D． 5．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A．3 B．5 C． D． 6．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ） A． B． C． D． 7．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分．已知双曲线：，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数．若函数有三个极值点，，，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．已知函数，则（ ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 10．如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．若，为线段上两点（），且，则（ ）） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．点到平面的距离为 11．已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）． A．抛物线的准线方程为 B．一定为钝角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 三、填空题（共15分） 12．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为________． 13．某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为______________． 14．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的4个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为_________________． 四、解答题（共77分） 15．（13分）已知的展开式中，二项式系数和为256． （1）求的值； （2）求该展开式中的常数项； （3）求该展开式中所有的有理项． 16．（15分）在中，内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）已知，为的中点，且，求的周长． 17．（15分）已知椭圆：过点，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆交于，两点，线段的中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（17分）一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球． （1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； （2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； （3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球．现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求． 19．（17分）已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上学期高二年级数学期考试题 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】D 二、多选题 9.【答案】BC 10.【答案】ACD 11.【答案】ABD 三、填空题 12.【答案】7 11 13.【答案】160.6875 14.【答案】10π 四、解答题 15.【答案】(1)8 (2)1792 (3)x8,-448x4,1792 【详解】(1)由二项式系数和为2”=256，得n=8.3 (2)展开式的通项为 8、4 =0 令3 ，得r=6,故常数项为乃=（-2)°C=1792 7 8、4 (3)要使3为整数，r需为3的倍数，又0≤r≤8，故r=0,3,6 当r=0时，T=Cgx8=x8 当r=3时，T=(-2)°Cx4=-448x4 (答案) 当r=6时，7=(-2)°C=1792 故有理项为x,-448x,1792 13 4=2n 16.【答案】(1) 3 (2)8+V78 【详解】(1) acosC=b+1 C indcosC=sinB+sinc 2及正弦定理得 1 因为B=元-(M+C),所以sinB=sin(A+C)=sin4cosC+cos4sinC 1 。sinC COSA+ sinC=0 代入上式： sinAcosC=sinAcosC+cosinC ,整理得 2 1 COsA=- 因为C∈(0，)，所以sinC>0,所以co 2 2π 又4e0),所14-号 6 D(+C) (2)因为D为BC中点，所以 7 两边平方得 D-++28.c)-+cos)(e+-be)=9 可 b2+c2-bc=36①， 9 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bcc0sA=b2+c2+bc=64②， 11 整理可得b2+c2=50,bc=14,故b+c=VB+c2+2bc=V50+2x14=V78, 14 故△ABC的周长为a+b+c=8+V78 15 x2 17.【答案】(1)3+2=1 (2)存在定点P(0,)】 16 3 【详解】(1)由题知，椭圆C过点 1 、2 a+36=1 c2.1 a2=b2+c2 a2=3 所以( +y=1 解得b=1所以椭圆C的方程为3 5 (2)假设在y轴上存在定点P,使得∠EOP=2∠EFP恒成立，设P(O,),E(:,）,F(,乃)由 y=- 2 3+2=1 12k -9 符4+12)r-12-9=0.+64+12.64+12 8 △=144k2+36(4+12k2)>0 :∠EQP=2∠EFP.∴.∠EFP=∠FPQ.∴.QE=QF=QP ∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF 10 PE=(,y-）.PF=(x,2-) .PE.PF=xx2+(y -yo)(y2-Yo) =53+-(0以+)+好 =+西+)厂[+)-+好+ =:)x行%j+)++w日 12(08-+4后+4。-8=0126-1e2+4+4-8=0恒成立 4+12k2 13 ∫-1=0 4听+4%。-8=0，解得%=1 .P(0,1) :存在定点P(0,1),使得∠EOP=2∠EFP恒成立. 15 3 40 18.【答案】(1)28 (2)分布列见解析，7 (3) 【详解】(1)依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球，其概率为 CCZA:3 A28 4 (2)依题意X=2,3,4,5,6,7 5 P(X=2)= A-1 当X=2时， A28,当X=3时， P(x=3)=CCgA=2_1 A2814 P(X-4)-CCiA:_3 P(X=5)=CCgA-4=1 当X=4时， A28,当X=5时， A287 P(X=6)=CCiA:+A:-63 当X=6时， AS 2814,当X=7时， P(X=7)= CC A+CChA-12-3 A 287 8 故分布列为： X2 5 6 7 1 1 1 3 3 28 14 28 7 14 7 2 3 4 1216040 E(X)=2× +3× +4× +5 期望 28 28 28 28+6x 28287 10 (3)依题意有甲袋始终有4个小球，重复”(N)次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为 13x3-g=446 313 9,恰有0个红球的概率为1-P-9。,则A=4×4+4x48. -公n+子+0-)安≥2 1 1 一×一十一X一 44 2 ,n∈N 14 7 15 4 543 1 即数列( 56为首项，公比为8的等比数列， 16 当n=1时满足等式. 31)”,4 +7,n∈N 17 19.【答案】 (1) (2)证明：见答案 (3)4 【详解】(1)f()的定义域为(0，+），令f()=0,即f()=x(nr-)=0,即lnr-ar=0, Inx a= 即 X, 设8()mr g(x)-1-m x,则 当0<x<e时，8'()>0,8()在(0，e)上单调递增， 当x>e时，8'()<0,8()在(c,+o）单调递减，所以8 =go)-日 又8(0=0，当x→0时，g()→-0：x→o时，8()→0 画出8（的大致图象如图所示. e 函数f()有两个零点，等价于函数y=8()的图像与直线y=a有两个交点，则需使 <a< e,由图 象可得，实数4的取值范围为 5 (2)证明：因为a=1,所以f(x)=r-x2 e+-1 故要证f()之-e,需证xnx-2≥-e,即证 x-x+ -≥0 即证x-lnr≤e*r() 7 令)=-x-1则四1- 令K'()<0,则0<x<1:令K()>0,则x>1. 所以k(x)在(0,1)上单调递减，在（山，+∞）上单调递增， 故k(x)m=k(0)=0,即x-1nr-1≥0， 8 令1=x-mx-1(≥0)，从而由()只需证c≥1+1（≥0） 令)=e-t-1,则r)=e-1≥0， 所以r0在(0，+o)上单调递增，故0m=r(0)=0 所以e≥1+1，从而f()之e恒成立 10 (3)a=3时， f(d≤-(m+2)nx-n+ 恒成立，即lnr-3x≤-(m+2)lr-n+2恒成立，也即 (m+3)lnr-3x+n-2≤0恒成立. 设函数H(:)=(m+3)lnx-3x+n-2 (i)当m<-3时，因为函数y=(m+3列血x,y=-3x+n-2在(0，+o)上均为减函数，所以函数 H(x)在(0，+0)上单调递减. 且当x→0时，H()→+0，与思意不符： 11 (i)当m>-3时， )-0) 0<x<m+3 3时，H'()>0,H()在9 0,一3上单调递趟 >m+3 m+3 当 3时，H'()0,H)在3w )上单调递减. 所以 e=n）=(6e+haa+3+-2 12 度a490a+hg-e+20 ”-=6s1-nm+34 所以m+3 3m+3, 13 s()=1-nr-4 (x)=-1+4=3x+4 x,则 x+3=3x2, 当0<x<4 当0<<3时，p()>0()在3)上单调递增， 4 4 当>3.)0.)在5t )上单调递减. 4 4 3 In 所以当3时，()取得最大值，最大值为 (3 4 15 -lnmr-4≤n3 故 x4, n-6 1-nm+34 3 ≤l 3 所以m+3 3m+3 4,当m=1,n=4h血+6 4时等号成立. n-6 3 综上所述，m+3的最大值为4. 17