上海交通大学附属中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期 高二数学期末考试 (满分100分，60分钟完成.答案一律写在答题纸上) 命题：李琛冰审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有10题，满分46分，第1~4题每题4分，第5~10题每题5分）考生应在答 题纸的相应位置直接填写结果。 1.底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为 答案：4.【几何与代数/简单几何体/柱体】 2.设f(x)=e-sinx,则f'(0)= 答案：0.【函数/导数及其运用/导数的运算】 *3.若C=C,则x的值为 答案：1或者4.【概率与统计/计数原理/组合】 4.由0、1、2、3、4、5这六个数字，能组成的无重复数字的四位数共有 个. 答案：300.【概率与统计/计数原理/乘法原理】 5.空间中，已知直线1的一个方向向量为r=(4,-8,6),平面的一个法向量为n=(a,3,6)(常数 a∈R).若l∥o,则实数a的值为 答案：-3.【几何与代数/空间直线与平面/直线与平面位置关系】 6.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中任取两张，卡片上数字和为偶数的概率为」 答案： 十C-,【率与统计计数原理来法原理雪加法原理、组合】 、4 9 冰7 x-+15的展开式合并幂指数相同的项后，含x项的系数为 答案：1314.【概率与统计/计数原理/二项式定理】 *8.设f(x)=x3-2ax+b(常数a,b∈R),若函数y=f(x)为奇函数，且在x=1处取得极值，则a-b= 答案：。【团数号数及其运用于数的应用 9.设点集2={(x,y,)1≤x,y,二≤8，x,八，=∈，从集合2中任取一点P(,%,)满足 七+=2的概率为 (结果用最简分数表示). 答案：】·【概率与统计/计数原理/计数原理在古典概型中的应用】 16 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷答案 第1页共5页 10.设f(x)=e-2+ln(x-1)-1,g(x)=xnx-ar)-2(常数a∈R),若函数y=f(x)和y=g(x) 分别存在零点、n,且|m-nK1,则实数a的最小值为 答案：-2. 解由函数y=f(x)为(L,+o)上的严格增函数且f(2)=0,因此函数y=f(x)有且仅有唯一的零点 x=2,即m=2. 由题意，|n-2s1,即1≤n≤3.因此函数y=g(x)在区间[1,3]上有零点.方程g(x)=0等价于 0-二=a.令u()=nx2 -3,x≥0，则)x-nx+4；令vx)=x-xnx+4,则/(x)=-nx,■ 3 因此函数y=v(x)在区间[1,3]上严格诚，从而v(x)≥v(3)>0.因此，当x∈[1,3]时，'(x)>0,函数y=u(x) 在L3上严格增，因此西数V三山©当x时取得最小值2，当=3时取得最大值：3，其值坡为 2-引 因此，要让方程血x2 ra区间L3上有解，应有2≤a≤3号从而实数a的绿小值为-2 【函数/导数及其运用/导数的应用】 二、进择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸 的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 11.空间中，两条直线、马的方向向量分别为、5，则“⊥5”是“1⊥，”的(). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 答案：C. 【几何与代数空间向量及其应用空间向量在立体几何中的应用】 12.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立 事件的是(). A,至少有1个白球和2个都是白球 B,至少有1个白球和至少有1个红球 C.恰有1个白球和恰有2个白球 D.至少有1个白球和2个都是红球 答案：C 【概率与统计概率初步/独立性】 13.设函数y=f(x)的定义域为R,(≠0)是y=f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 (). 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷答案 第2页共5页 A.对任意x∈R,f()≤f(x) B.-是y=f(-x)的极小值点 C.-x是y=-f(x)的极小值点 D.-x是y=-f(-x)的极小值点 答案：D. 【函数/导数及其运用/导数的应用】 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E为棱B,C的中点，点 P在直线DC上的动点，给出以下两个结论 ①存在唯一点P,使得PA1=PE; ②△PAE的面积最小值为√5； 其中() A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 答案：A. 【几何与代数/空间直线与平面平面与平面的位置关系】 解以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD为x、以z轴正方向建立空间直角坐标系. 对于①，A(2,0,2),E(1,2,2),设P(0,,0),若|PA曰PE引，即|PAP-PE2,也即 4++4=1+(0,-2)2+4, 解得⅓=子即命怒①正确， 对于②，设P是点P在平面AB,C,D上的射影，P到直线AE的距离为d,P到直线AE的距离为 d',则P=PP+d2.显然，由于PP恒为2，因此当d'=0,即P'是AE与DC公共点时，d取得最小 值2.结合AE的长为V5,因此△PAE的面积最小值为V√5，即命题②正确. 综合上述，A选项正确. 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷答案 第3页共5页 三、解答题（本大题共有2题，满分34分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步聚， 15.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分) 设n是正整数，1+2x)”展开式的通项T,+中的组合数Cn称为该项的为二项式系数.对于Q+2x)”, 考虑以下问题： (1)若展开式各二项式系数的和为512，求展开式中二项式系数最大的项； (2)当=8时，若从展开式的二项式系数中任取两项，求和为偶数的概率； (3)当n28时，若从展开式的二项式系数中任取一项，要使这个二项式系数小于C的概率大于0.7， 求n的取值范围. 答米：)a-c2f=2016、.=c2=4032r:a8:(o)32nz. 解(1)由展开式各二项式系数的和为512知2”=512，即1=9.此时展开式中二项式系数最大的项 的第五项为T4+1=Cg(2x)=2016.x4和第六项T+1=C(2x)=4032x. 解(2)Cg=C=1、Cg=Cg=8、C=C=28、C=C=56、C8=70.总的取法有C=36种； 符合题意的取法为在C。、C、、C8中任取两个，或者同时取Cg、C⑧，共有C+1=22种.因此所求 的概*为日 解(3)C为展开式第9项的二项式系数. 当8≤n≤16时，此时小于C的有C=C’、、C=C8,共2×(m-8)个数.所求概率为2n-16 n+1; 其值随n的增大而增大；由2m-16>0.7解得n3,161∩Z. n+1 16 +1,其值 当n≥17时，此时小于Cn的项有C=C%、、C7=C7,共2×8个数.所求则概率为 随n的增大而减小；由16 ≥0.7，解得ne17,21]∩Z. n+1 因此整数n的取值范围为n∈[13,21]∩Z. 【概率与统计/计数原理/二项式定理】 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷答案 第4页共5页 16.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分) 设函数y=f(x)定义域为R,其导函数为y=f'(x).对于常数a∈R,定义集合 To=x|f(x)-f(a)zf'(a)(x-a). (1)设f(x)=x2,求T; (2)设f(x)=x-x,若函数y=f(x)在x=处的切线经过点(-1,0)（>-1)，求的值并求出 集合T。； (3)若0∈T且T,=(-0,0]U},求T. 解(1)由f(x)=x2,得f1)=1;由f'(x)=2x,得f'I)=2.于是，可将f(x)-fI)≥f'I)(x-1) 整理得(x-1)≥0，该不等式解集为R,因此T=R. 解(2)对f(x)=x-x求导可得f'(x)=3x2-1,由导数的几何意义，曲线f(x)=x3-x在x=处切 线的斜率为x-;进而，该处的切线方程为y=(3x-1)(x-)+x-右· 由切线经过点(-10)，将坐标代入直线方程得0=-B-6+D+号-名，解得=或=-1， 结合6>-1，可知飞3行)含，了)}不等式-6)2sx-)等价于 +4之0，整理得(x+1(2x-1)2≥0，解得x之-1. 综合上述，T5=[-1,+w). 解(3)先证明：f'①)=f'(0). 设g(x)=f(x)-f'(O)x-f(O),则根据导数的运算法则，函数y=g(x)在R上存在导函数，且 g'(x)=f'(x)-f'(0). 由T={x|f(x)-f(0)≥f'(0)x}=(-∞，0]UI},可知不等式g(x)≥0的解集为(-o,0]U}.因此，当 x∈(0，+∞)时，当且仅当x=1时，g(x)≥0，从而x=1是函数y=g(x)在(0，+o)上唯一的最大值点，从 而也是唯一的极大值点.因此g'(①)=0，即∫'(1)-∫'(0)=0，也即f'()=∫'(0)· 再证明：f1)-f(0)=f'(0). 由0∈T可得f(0)-f(1)≥-f');由f)-f(0)≥f"(0).由不等式的性质，结合f'1)=f"(0)可得 f)-f(0)=f'(1),即f(0)=f(1)-f'). 不等式f(x)-f(0)≥f'(0)(-0)即f(x)-fI)+f'I)≥f'I)x,整理得f(x)-f①)≥f'I)(x-1).于是， 二者解集相同，即T=,因此，T=(-o,0]U 【函数/导数及其运用/导数的概念及意义、导数的运算】 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷答案 第5页共5页2025-2026学年度第二学期 高二数学期末考试 (满分100分，60分钟完成.答案一律写在答题纸上) 命题：李琛冰审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有10题，满分46分，第1~4题每题4分，第510题每题5分）考生应在答 题纸的相应位置直接填写结果。 1.底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为 2.设f(x)=e-sinx,则f'(0)= *3.若C=C,则x的值为 4.由0、1、2、3、4、5这六个数字，能组成的无重复数字的四位数共有个. 5.空间中，已知直线1的一个方向向量为r=(4,-8,6),平面a的一个法向量为=(a,3,6)(常数 a∈R).若l∥a,则实数a的值为一· 6.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中任取两张，卡片上数字和为偶数的既率为 7.（x9+15 4 的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为」 *8.设f(x)=x3-2ax+b(常数a,b∈R),若函数y=f(x)为奇函数，且在x=1处取得极值，则a-b= 9.设点集2={(x,y,)川1≤x,y,=≤8，x,y,=∈，从集合2中任取一点P(,,)满足 名+0=2%的概率为 (结果用最简分数表示). 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷 第1页共5页 10.设f(x)=e-2+ln(x-l)-1,g(x)=xnx-ar)-2（常数a∈R),若函数y=f(x)和y=g(x) 分别存在零点m、n,且|m-nK1,则实数a的最小值为一· 二、进择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸 的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 11.空间中，两条直线、的方向向量分别为5、5，则“5⊥5”是“（⊥1，”的（）. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 12.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立 事件的是(). A,至少有1个白球和2个都是白球 B.至少有1个白球和至少有1个红球 C.恰有1个白球和恰有2个白球 D.至少有1个白球和2个都是红球 13.设函数y=f(x)的定义域为R,(≠0)是y=f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 (). 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷 第2页共5页 A.对任意x∈R,f()≤f(x) B.-是y=f(-x)的极小值点 C.-x是y=-f(x)的极小值点 D.-是y=-f(-x)的极小值点 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E为棱B,C1的中点，点 P在直线DC上的动点，给出以下两个结论 ①存在唯一点P,使得PA1=PE; ②△PAE的面积最小值为√5； 其中() A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷 第3页共5页 三、解答题（本大题共有2题，满分34分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步聚， 15.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分) 设n是正整数，Q+2x)”展开式的通项T,+中的组合数C,称为该项的为二项式系数.对于Q+2x)”, 考虑以下问题： (1)若展开式各二项式系数的和为512，求展开式中二项式系数最大的项； (2)当=8时，若从展开式的二项式系数中任取两项，求和为偶数的概率； (3)当n28时，若从展开式的二项式系数中任取一项，要使这个二项式系数小于C的概率大于0.7， 求n的取值范围. 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷 第4页共5页 16.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分) 设函数y=f(x)定义域为R,其导函数为y=f'(x).对于常数a∈R,定义集合 To=x|f(x)-f(a)zf'(a)(x-a). (1)设f(x)=x2,求T; (2)设f(x)=x-x,若函数y=f(x)在x=处的切线经过点(-1，O)（>-1),求的值并求出 集合Tn； (3)若0∈T且T=(-0,0]U},求T. 2025-2026学年度第二学期高二数学期末试卷 第5页共5页