2026—2027 学年人教版数学八年级上册期中测试（测试范围：第十三章—第十五章）

**基本信息** 以航天科技、射击运动等时代情境为载体，通过基础题（如三角形三边关系）、综合题（如“美好等腰三角形”探究）和实际应用题（办公楼高度测量），分层考查轴对称、三角形性质与全等判定，培养几何直观、推理意识和应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|轴对称图形、三角形三边关系、全等判定|第1题结合航天图标考轴对称，体现数学眼光观察现实世界| |填空|6/18|坐标系对称、三角形稳定性、角度计算|第12题以射击托枪三角形考稳定性，强化应用意识| |解答题|8/72|全等证明、尺规作图、新定义探究|24题“美好等腰三角形”新定义，通过猜想证明发展推理能力与创新意识|

2026—2027学年八上期中测试 考试范围：第十三—十五章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．据中国载人航天工程办公室消息，2026年，中国载人航天工程将深入贯彻落实“十五五”规划部署，在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，努力为加快建设航天强国作出更大贡献．下列关于航天航空领域的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 4．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 5．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 6．将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 8．如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且分别交于点，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知，点M、N分别是边、上的定点，点P、Q分别是边、上的动点，记，，当最小时，（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 12．年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 13．如图，已知，，，则的度数为______． 14．如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，于F，于E．小丁在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，已知C，M，D三点共线，与互余，且，，．则办公楼的高度________． 15．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 16．如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）如图，在和中，，，．求证：． 18．（8分）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 19．（8分）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）． 如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等． 20．（8分）如图，已知，． (1)与平行吗？ (2)若平分，于点A，且，求的度数． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的图形．（点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应） (2)在（1）的作图下，点F的坐标为________． (3)在y轴上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹） 22．（10分）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 23．（10分）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 24．（12分）【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上期中测试 考试范围：第十三—十五章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．据中国载人航天工程办公室消息，2026年，中国载人航天工程将深入贯彻落实“十五五”规划部署，在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，努力为加快建设航天强国作出更大贡献．下列关于航天航空领域的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 4．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 5．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 6．将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 8．如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且分别交于点，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知，点M、N分别是边、上的定点，点P、Q分别是边、上的动点，记，，当最小时，（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 12．年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 13．如图，已知，，，则的度数为______． 14．如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，于F，于E．小丁在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，已知C，M，D三点共线，与互余，且，，．则办公楼的高度________． 15．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 16．如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）如图，在和中，，，．求证：． 18．（8分）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 19．（8分）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）． 如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等． 20．（8分）如图，已知，． (1)与平行吗？ (2)若平分，于点A，且，求的度数． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的图形．（点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应） (2)在（1）的作图下，点F的坐标为________． (3)在y轴上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹） 22．（10分）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 23．（10分）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 24．（12分）【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上期中测试 考试范围：第十三—十五章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C D C B B D C B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 12. 稳定性 13. /100度 14. /11米 15. 2 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分） 【答案】见解析 【分析】根据两边及其夹角相等证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．（6分） 18．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即；（4分） （2）解：的三边长为， ， 原式 ．（8分） 19．（8分） 【答案】解：如图，点为所求． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图．作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点． 【详解】略（8分） 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，垂线的定义，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础． （1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行可得结论； （2）由， 得到，则可得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；（4分） （2）解：∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴．（8分） 21．（10分） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，轴对称---最短路径问题等知识点． （1）分别作出点关于y轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可； （3）连接与轴交点即为点，由于关于轴对称，则，那么，故此时最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （3分） （2）解：点F的坐标为， 故答案为：；（6分） （3）解：如图，点即为所求 （10分） 22．（10分） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ；（5分） （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ．（10分） 23．（10分） 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ．（5分） （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ．（10分） 24．（12分） 【答案】(1)证明：和是美好等腰三角形， ，， ，， ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， ，所在直线是线段的垂直平分线； (2)证明：如图，作射线交于点． ， ． . ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 点在线段上，且，则和是美好等腰三角形 (3) 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数. 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴.（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上期中测试 考试范围：第十三—十五章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．据中国载人航天工程办公室消息，2026年，中国载人航天工程将深入贯彻落实“十五五”规划部署，在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，努力为加快建设航天强国作出更大贡献．下列关于航天航空领域的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 2．三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】解：设第三边长为，根据三角形三边关系可得：， 即， 则只有选项A符合． 3．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 4．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 5．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合， ∴， ∵，， ∴． 6．将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和为与平行线的性质求解即可． 【详解】解：在中，， ∴； ∵，， ∴，即， 解得． 7．如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 8．如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的中线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 9．如图，在中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且分别交于点，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分线性质得出，，进而利用等边对等角求出和，最后利用三角形内角和求出，通过角度相减即可求解． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ． 10．如图，已知，点M、N分别是边、上的定点，点P、Q分别是边、上的动点，记，，当最小时，（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为． 12．年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 【答案】稳定性 【详解】解：生活中利用三角形构造支撑结构，应用了三角形具有稳定性的原理，因此该应用的数学原理是三角形具有稳定性． 13．如图，已知，，，则的度数为______． 【答案】/100度 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14．如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，于F，于E．小丁在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，已知C，M，D三点共线，与互余，且，，．则办公楼的高度________． 【答案】/11米 【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． ∴． 则办公楼的高度为． 15．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 【详解】解：∵是中边上的中线， ∴， ∴ ． 16．如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长和交于点构造等边三角形，设，利用题目所给条件推出，从而由可得，从而得出，设，在中利用所对的边是斜边的一半用表示出，由等量关系解出的值即可． 【详解】解：如图，延长和交于点， ， ， 是等边三角形， ， 设，则， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ，解得， ． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两边及其夹角相等证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．（6分） 18．（8分）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即；（4分） （2）解：的三边长为， ， 原式 ．（8分） 19．（8分）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）． 如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等． 【答案】解：如图，点为所求． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图．作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点． 【详解】略（8分） 20．（8分）如图，已知，． (1)与平行吗？ (2)若平分，于点A，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，垂线的定义，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础． （1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行可得结论； （2）由， 得到，则可得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；（4分） （2）解：∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴．（8分） 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的图形．（点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应） (2)在（1）的作图下，点F的坐标为________． (3)在y轴上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，轴对称---最短路径问题等知识点． （1）分别作出点关于y轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可； （3）连接与轴交点即为点，由于关于轴对称，则，那么，故此时最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （3分） （2）解：点F的坐标为， 故答案为：；（6分） （3）解：如图，点即为所求 （10分） 22．（10分）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ；（5分） （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ．（10分） 23．（10分）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ．（5分） （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ．（10分） 24．（12分）【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明：和是美好等腰三角形， ，， ，， ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， ，所在直线是线段的垂直平分线； (2)证明：如图，作射线交于点． ， ． . ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 点在线段上，且，则和是美好等腰三角形 (3) 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数. 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴.（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $