18.5 课时1 分式方程及其解法 课件 2026-2027学年人教版 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程的概念、解法及增根问题，通过轮船顺逆流航行的实际情境导入，引导学生从时间相等关系抽象出分式方程，再通过观察方程特征定义分式方程，对比整式方程强化概念，搭建从实际问题到数学概念的学习支架。 其亮点在于以现实问题为载体培养模型意识，通过“去分母转化整式方程、解整式方程、验根”三步解法训练运算能力与推理意识，增根案例引导学生发现检验必要性发展批判性思维。练习题从基础判断到综合参数问题，帮助学生巩固并提升应用能力，教师可直接用于教学，有效提升课堂效率。

18.5 分式方程 课时1 分式方程及其解法 第十八章 分式 1 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？ 解：如果设江水的流速为v km/h， 已知所用时间相等，得到方程 . 轮船逆流航行的速度为 (30-v) km/h，航行60 km所用的时间为 h . 轮船顺流航行的速度为 (30+v) km/h，航行90 km所用的时间为 h； 追问：方程 与上面的方程有什么共同特征？ 任务一：了解分式方程的概念并掌握其解法. 活动1：仔细观察方程 ，未知数的位置有什么特点？ 分母中含有未知数． 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 3 下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程 的是 . （2）（3） （1） （3） （4） （1） （2） 分析：判断一个等式是分式方程有两个条件： （1）这个等式是方程； （2）分母中含有未知数. 4 活动2：你能试着解方程 吗？和同伴一起交流. 问题2：怎样去分母？ 问题3：在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ 问题1：如何把它转化为整式方程？ “去分母” 在方程两边都乘同一个式子， 最简公分母 5 解法： 方程两边同乘 (30+v)(30-v)，则得到 方程各分母最简公分母是： (30+v)(30-v) 90(30-v)= 60(30+v). 解得 v=6. v=6是原分式 方程的解吗？ 检验：将v=6代入原分式方程中，左边= =右边，因此v=6是原分式方程的解. 江水的流速为6km/h. 解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程. 具体做法：是“去分母”， 即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 去分母 分式方程 整式方程 转化 方程两边乘x(x-2)，得5(x-2)=7x， 解得 x=-5. 检验：将x=-5代入原方程，左边=-1=右边， 因此 x=-5是原分式方程的解. 解方程： . 解：为去分母，在方程两边乘最简公分母 (x+5)(x-5)， 得整式方程 任务二：了解分式方程的增根与无解情况. 活动：运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程 x+5=10. 解得 x=5. x=5是原分式方程的解吗？如何验证呢？ 你发现了什么问题？ 9 将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义. 因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 检验： 解得 x=5. 10 90(30-v)=60(30+v) 分式方程两边乘了同一个不为0的式子，所得整式方程的解与原分式方程的解相同. ①观察 去分母的过程： 思考：比较解两个分式方程的过程，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 两边同乘(30+v)(30-v) 当v=6时,(30+v)(30-v)≠0 11 思考：比较解两个分式方程的过程，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ ②观察 去分母的过程： x+5=10 分式方程两边乘了同一个等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解． 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 12 注意：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 回顾解分式方程 与 的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？ 分式方程 去分母 转化 整式方程 基本思路： 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零）. 一般步骤： 分式方程 整式方程 检验 目标 解整式方程 去分母 最简公分母不为0 最简公分母为0 针对本课关键词“分式方程” ，说说你学到了什么？ 不是分式方程的解 　是分式方程的解 1.解分式方程 的结果为（　　） A．1 B．-1 C．-2 D．无解 D 解：方程两边乘x(x-3)，得 2.解方程: 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3)≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 3.已知关于x的方程 无解，求a的取值范围． 解：去分母得：ax+2=3x-3， 移项合并得：(a-3)x=-5， 当a-3=0，即a=3时，方程无解； 则a=-2或3时，分式方程无解． 当a-3≠0，即a≠3时，解得： 由分式方程无解，得到 即a=-2， 解：方程两边乘3x(x-1)，得3x+3–(x–1)=x2+kx， 整理，得x2+(k–2)x–4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程，得–4=0，所以x=0不是分式方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时，分式方程有增根x=1. 4.已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值. $