竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题 专项训练-2026-2027学年初升高暑假物理人教版必修第一册

**基本信息** 聚焦竖直上抛运动规律及相遇问题，通过生活情境题构建从单一运动到多体相遇的递进训练，强化运动和相互作用观念与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |竖直上抛运动的规律及应用|6例+6变式|单选、多选、计算，涉及最大高度、运动时间、速度计算，情境含水火箭、纵跳摸高|以匀变速直线运动规律为基础，通过竖直上抛运动公式（速度、位移）及对称性分析，构建单一物体运动模型| |自由落体和竖直上抛相遇类问题|3例+3变式|计算为主，涉及同时运动相遇时间、位置关系，情境含抛接球、管球相对运动|在单一运动规律上拓展，通过运动学公式联立求解多体相遇条件，体现从独立到关联的运动分析逻辑|

竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题专项训练 竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题专项训练 考点目录 竖直上抛运动的规律及应用 自由落体和竖直上抛相遇类问题 考点一 竖直上抛运动的规律及应用 例1．（25-26高一上·河南安阳·期末）同学们制作的水火箭原理图如图所示，发射时利用压缩空气把水从火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，火箭受到反冲作用而高速升空。假设水火箭以大小为的加速度从地面由静止开始竖直匀加速上升，上升8m后无动力上升到最大高度，重力加速度g取，忽略空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．水火箭上升的最大高度为14.4m B．水火箭上升的最大高度为16m C．水火箭上升过程所用总时间为3.6s D．水火箭上升过程所用总时间为2.8s 【答案】D 【详解】AB．设上升8m时的速度为v，则有 代入数据，解得 此后匀减速上升，有 解得 因此，故AB错误； CD．水火箭加速上升时间 水火箭减速上升时间 水火箭上升过程所用总时间为，故C错误，D正确。 故选D。 例2．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）从某一高处竖直向上抛出一物体，该物体上升的最大高度距抛出点为，不计空气阻力。取，则正确的是（　　） A．物体从抛出点到最高点需要的时间是 B．物体从抛出点到返回抛出点需要的时间是 C．物体的初速度大小是 D．物体在抛出后第末的速度大小是 【答案】C 【详解】A．将竖直上抛上升阶段的逆过程看作自由落体运动，由可得上升时间，故A错误； B．竖直上抛运动上升和下落过程对称，返回抛出点的总时间为，故B错误； C．物体上升到最高点时速度为0，由A选项分析可知物体上升时间 故初速度大小，故C正确； D．物体从抛出点到最高点需要的时间是，故物体在抛出后第末对应于物体从最高点下落的时间，速度大小为，故D错误。 故选C。 例3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中·多选）原地纵跳摸高是竖直的弹跳，先蹲下预备动作纵向向上加速，离地后身体形状近似不变，直至触碰摸高杆。图甲展示的即为离地后到触碰摸高杆的过程。图乙为包九外2024年秋季运动会中高一年级某同学进行原地纵跳摸高比赛的照片，该次手指摸到的最大高度为。已知该同学刚离地时其指尖距地面的高度为。重力加速度取。据此估算（　　） A．该同学离地时的速度大小最接近 B．该同学离地时的速度大小最接近 C．该同学原地纵跳开始到落地的时间是 D．该同学原地纵跳开始到落地的时间是 【答案】BD 【详解】设该同学离地时的速度大小为，上升高度 将上升过程看成反向的自由落体运动，则有 代入数据可得 该同学原地纵跳开始到落地的时间为上升时间的2倍，由 解得 故该同学原地纵跳开始到落地的时间是 故选BD。 例4．（25-26高一上·山东滨州·期末·多选）如图所示，将小球A从地面以初速度竖直上抛，同时将小球B从距地面h处由静止释放，两球同时到达距地面处，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两球同时到达距地面处的时间为 B．初速度的大小为 C．A球能上升的最大高度为 D．两球同时到达距地面处时A球的速度小于B球的速度 【答案】ACD 【详解】A．两球同时到达距地面处的时间为，A正确； B．根据 可得初速度的大小为，B错误； C．A球能上升的最大高度为，C正确； D．两球同时到达距地面处时A球的速度 B球的速度，D正确。 故选ACD。 例5．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）如图为我校举办的篮球比赛中抢发球场景，裁判将篮球从距地面处向上抛起（视为竖直上抛），学生稍后向上起跳将下落中的篮球拍向队友，为了更快拍到球需在自身起跳达到最高处时刚好碰到篮球。已知篮球被抛出时的初速度，学生静态摸高，跳起后摸高，忽略空气阻力，取。求 (1)学生跳至最高点的时间？ (2)为了更快拍到球学生需在裁判抛球后多久起跳？ 【答案】(1)0.3s (2)0.9s 【详解】（1）学生起跳后做竖直上抛运动，上升的高度为： 竖直上抛上升过程可逆向看作自由落体运动，由 代入数据得： 解得学生跳至最高点的时间 （2）设篮球从抛出到运动至 处的总时间为 ，取向上为正方向，对篮球由竖直上抛位移公式： 代入数据 得： 整理得 解得两个解： ，对应篮球上升过程经过； ，对应篮球下落过程经过。 题目要求拍下落的篮球且更快拍到，因此取总时间 设抛球后经过 学生起跳，满足 ，因此： 例6．（25-26高一上·云南普洱·期中）某人站在离地高H=59m的平台边缘，以v0=20m/s的初速度竖直向上抛出一块可以看成质点的石块，石块抛出点距离平台边缘高度为h1=1m，不考虑空气阻力，取。求： (1)石块上升离地面的最大高度h； (2)石块从抛出到落到地面所用的时间t。 【答案】(1)80m (2)6s 【详解】（1）石块做的是竖直上抛运动，其加速度大小为，设石块竖直上抛运动上升的最大高度为，则根据速度与位移的关系式有 代入数据解得 所以石块上升离地面的最大高度为 （2）以竖直向上为正方向，则石块从抛出到落地的全过程，由竖直上抛的位移公式有 代入数据解得， 即石块从抛出到落到地面所用的时间为。 变式1．（25-26高一下·云南昆明·期中）2026年世界泳联跳水世界杯中国跳水“梦之队”包揽了全部赛事项目的9枚金牌。某次跳水比赛中若将运动员的运动视为竖直上抛运动，忽略空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．上升过程中加速度逐渐减小 B．上升到最高点时速度为零，加速度也为零 C．下落过程中速度变化量的方向竖直向下 D．上升和下落经过同一位置时的速度大小相等、方向相同 【答案】C 【详解】A．忽略空气阻力时，运动员整个运动过程仅受重力作用，加速度恒为重力加速度g，大小、方向均不变，故A错误； B．上升到最高点时速度为零，但仍受重力作用，加速度为g，方向竖直向下，不为零，故B错误； C．根据加速度定义，速度变化量方向与加速度方向一致，下落过程加速度方向竖直向下，因此速度变化量方向竖直向下，故C正确； D．根据竖直上抛运动的对称性，上升和下落经过同一位置时速度大小相等、方向相反（上升时速度向上，下落时速度向下），故D错误。 故选C。 变式2．（25-26高一上·北京西城·期中）某物体以的初速度竖直上抛，不计空气阻力，取，则5s内物体的（　　） A．路程为45m B．位移大小为25m，方向向下 C．速度改变量的大小为10m/s D．平均速度大小为5m/s，方向向上 【答案】D 【详解】A．上升到最高点的时间 上升最大高度 总时间，下落时间 下落高度 路程为上升高度加下落高度，即，故A错误； B．位移是从抛出点到末位置的有向线段，，末位置在抛出点上方，方向向上，故B错误； C．末速度 速度改变量，大小为，故C错误； D．平均速度，位移方向向上，故平均速度方向向上，故D正确。 故选D。 变式3．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测·多选）物体以初速度竖直上抛，经3s到达最高点，空气阻力不计，g取，则下列正确的是（     ） A．物体的初速度为60m/s B．物体上升的最大高度为45m C．物体在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比为5∶3∶1 D．物体在1s内、2s内、3s内的平均速度之比为9∶4∶1 【答案】BC 【详解】A．竖直上抛运动的上升过程用逆向思维可看成自由落体运动，由速度时间关系可得，故A错误； B．物体上升的最大高度为，故B正确； C．初速度为零的匀加速直线运动相同时间内的位移比为，可知竖直上抛运动中，物体在第内、第内、第内的位移之比为，由可知，平均速度之比为，故C正确； D．物体在内、内、内的位移之比为，由可知，平均速度之比为，故D错误。 变式4．（25-26高一上·广东江门·阶段检测·多选）一个从地面竖直上抛的小球，到达最高点前1 s上升的高度是它上升的最大高度的，不计空气阻力，g取10 m/s2.则（     ） A．小球上升的最大高度是20 m B．小球上抛的初速度是20 m/s C．2.5 s时物体正在上升 D．1 s末、3 s末物体处于同一位置 【答案】ABD 【详解】A．逆过程中自由下落第1s的位移，等于原过程最高点前1s上升的高度 由题意，得最大高度，故A正确； B．竖直上抛最大高度满足 代入得 ，故B正确； C．小球上升的总时间，则时物体正在下降，故C错误； D．根据竖直上抛位移公式 1s末位移 3s末位移 位移相等，说明两时刻小球处于同一位置，故D正确。 故选ABD。 变式5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）一人站在距地面50m高处，将物体A以初速度为v0=10m/s竖直向上抛出做竖直上抛运动，落地后不反弹。求： (1)当物体的速率为4m/s时所用时间； (2)当物体运动到距抛出点4.8m时所用时间； (3)若物体抛出的同时，另一物体B在同一位置处以相同速度大小向下运动，其加速度即重力加速度，试在同一坐标系中画出A、B两物体的v—t图像，并用阴影来表示两者在0~2s内的距离。（取g=10m/s2）（规定竖直向上为正方向） 【答案】(1)0.6s，1.4s (2)0.8s，1.2s，2.4s (3) 【详解】（1）规定竖直向上为正方向，抛出点为位移原点，若上升过程速度达到4m/s，则有 解得 若下降过程速度达到4m/s，则有 解得 （2）当物体运动到距抛出点上方4.8m时，有 解得或 当物体运动到距抛出点下方4.8m时，有 解得或（舍） （3）如图 变式6．（25-26高一下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图所示，长为的直杆AB沿竖直方向，直杆下侧的C点有一可视为质点的小球，小球到直杆下端的距离为，小球距离地面足够高。假设在下列运动过程中小球和直杆不会发生碰撞，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)若小球不动，直杆由静止释放，直杆通过小球的时间； (2)若直杆不动，小球以初速度竖直向上抛出，小球向上运动通过直杆的时间； (3)若直杆自由释放的同时，小球以初速度竖直向上抛出，欲使小球在竖直下落过程中（到达C点及C点之前）与直杆的下端相遇，则满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若小球不动，直杆由静止释放后，设经时间直杆的下端B刚好运动到小球所在的位置，则有 解得 设经时间直杆的上端A刚好运动到小球所在的位置，则有 解得 直杆通过小球的时间为 解得 （2）若直杆不动，小球做竖直上抛运动，设小球刚好运动到B端的时间为，则有 设小球刚好运动到A端的时间为，则有 小球通过直杆的时间为 代入数据解得 （3）若直杆自由释放的同时，小球以初速度竖直向上抛出，设经时间二者相遇，对小球有 对直杆有 小球与直杆的下端相遇时，有 整理得 小球上升到最高点的时间为 小球从抛出到回到抛出点的时间为 欲使小球在下落过程中与直杆的下端相遇，则应有 联立解得 考点二 自由落体和竖直上抛相遇类问题 例1．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图所示，篮球运动员在争球训练时，从地面以的速度竖直起跳，在运动过程中身形保持不变，起跳的同时手的正上方高处有篮球自由下落，运动员落地前已经接触到篮球。已知重力加速度为，不计空气阻力，求 (1)运动员从开始运动到手接触到篮球所用的时间； (2)若运动员调整起跳速度，确保在上升阶段接触到篮球，起跳速度的范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设运动员经过时间接触到篮球，运动员做竖直上抛运动，时刻上升的高度 篮球做自由落体运动，时刻下降的高度 运动员从开始运动到手接触到篮球，两者相对靠近的距离为，满足 运动员从开始运动到手接触到篮球所用的时间 （2）运动员竖直上抛，上升到最高点的时间为 要在上升阶段接触篮球，要求接触时间满足 代入， 整理得 即 例2．（25-26高一上·山东青岛·期末）某同学练习抛接球杂技。时，他将一小球从距地面处的O点以初速度竖直向上抛出。小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度。 (1)时，求小球距地面的高度； (2)若该同学未能接住小球，求小球从抛出到落到地面的时间； (3)若该同学在时从O点以相同速度抛出第2个小球，求两球相遇时第1个小球的速度大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，方向竖直向下 【详解】（1）设小球距点的高度为 解得 小球距地面的高度 解得 （2）方法一：设小球上升的时间为，下降的时间为，上升的最大高度为， 解得 解得 自由落体过程 解得 所以小球从抛出到落到地面的时间 方法二：取向上为正方向 对全程 解得 （3）设第1个小球抛出后经过时间后两球相遇 第1个小球位移 第2个小球位移 满足 解得 此时第1个小球的速度为 解得 所以第1个小球的速度大小为，方向竖直向下。 例3．（25-26高一上·四川绵阳·期末）如图所示，竖直固定的足够长直圆管内有一静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为0.8m。一个小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，碰撞时间极短，碰后瞬间小球与圆盘速度大小均为碰撞前瞬间小球速度大小的一半，小球的速度方向相反，碰后圆盘在管中向下匀速滑动。小球在管内运动时与管壁不接触，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球与圆盘第一次碰撞前瞬间的速度大小； (2)小球与圆盘第一次碰撞与第二次碰撞的时间间隔； (3)小球与圆盘第二次碰撞前，小球与圆盘间的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设第一次碰撞前小球的速度大小为v，由自由落体运动公式可得 解得 （2）设小球与圆盘第一次碰撞与第二次碰撞的时间间隔为。此过程中小球与圆盘的位移相同，已知碰后瞬间小球与圆盘速度大小均为碰撞前瞬间小球速度大小的一半，小球的速度方向相反，取向下为正，对圆盘有 对小球有 联立解得 （3）小球与圆盘第二次碰撞前，当小球与圆盘速度相等时两者距离最远。设第一次碰撞后，经时间两者速度相等，则有 解得 则小球与圆盘间的最远距离为 变式1．（25-26高一上·广西南宁·期末）A球从屋顶自由落下，当A球落下距离为时，B球从与屋顶距离为的地方开始自由落下，两球同时落地。重力加速度g取，忽略一切阻力的影响，且两球不会相碰。 (1)求屋顶到地面的距离； (2)若两球都是弹性小球，即与水平地面碰撞后立刻以原速率反弹，从两球同时落地时开始计时，经过多长时间两球第一次在空中达到同一高度？ 【答案】(1)4.05m (2)1.6s 【详解】（1）由题知，当A球从屋顶自由下落的距离为时，根据自由落体运动规律有 解得 设屋顶到地面的距离为，B球自由下落的时间为。对A球有 对B球有 联立解得 （2）A球从屋顶自由下落，根据 可得A球落到地面的速度为 B球离地面的高度为 根据 可得B球落到地面的速度为 两球都是弹性小球，即与水平地面碰撞后立刻以原速率反弹，则两球反弹后做竖直上抛运动。 根据竖直上抛运动规律，可得A球上到最高点的时间为 B球上到最高点的时间为 说明B球比A球先到达最高点，然后B球第二次与地面碰撞，立刻以原速率反弹，经时间与A球第一次在空中达到同一高度，设该高度为，取竖直向上为正方向，对A球有 其中 对B球有 联立可得 代入数据解得 故从两球同时落地时开始计时，两球第一次在空中达到同一高度，所经过的时间为 变式2．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）如图所示，最初球位于离地高处的位置，球位于球正上方离球处的位置，现同时从静止开始释放、两球。设球与地面碰撞后原速率反弹，忽略空气阻力，两小球均可视为质点，重力加速度。求： (1)球刚落地时，球的速度； (2)从开始释放到两球第一次相遇所经历的时间。 【答案】(1)4m/s (2)0.7s 【详解】（1）设球落地所需时间为t1，则 解得t1=0.4s 此时球的速度 （2）根据运动的对称性，球落地反弹后上升到最高点所需时间 tA时间内球下落的高度，说明球在上升过程中与球第一次相遇，球落地反弹后的速度，方向竖直向上，设再经过t2时间两球第一次相遇，根据距离关系有 解得t2=0.3s 从开始释放到两球第一次相遇所经历的时间t=t1+t2=0.7s 变式3．（25-26高一上·广东惠州·期中）长为的金属管竖直静置在地面上，上管口正上方处有一可视为质点的小球自由下落，不计空气阻力，取。求： (1)小球通过金属管所用的时间； (2)若小球自由下落的同时，金属管从地面以竖直上抛， ①金属管上升时小球恰穿出下管口，求金属管竖直上抛的初速度大小； ②若小球在金属管下降阶段穿出金属管，则需要满足什么条件？ 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）小球做自由落体运动，根据 解得小球到达金属管上端所用时间为 根据 解得小球到达金属管下端所用时间为 则小球通过金属管所用的时间为 （2）①若小球自由下落的同时，金属管从地面以竖直上抛，金属管上升时小球恰穿出下管口，对金属管有 对小球有 联立解得， ②由于小球和金属管的加速度均为重力加速度，以金属管为参考系，小球以向下做匀速直线运动，则小球到达金属管下端所用时间为 金属管上升阶段所用时间为 金属管落回地面所用时间为 为了使小球在金属管下降阶段穿出金属管，则有 解得需要满足 2 学科网（北京）股份有限公司 $竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题专项训练 竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题专项训练 考点目录 竖直上抛运动的规律及应用 自由落体和竖直上抛相遇类问题 考点一 竖直上抛运动的规律及应用 例1．（25-26高一上·河南安阳·期末）同学们制作的水火箭原理图如图所示，发射时利用压缩空气把水从火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，火箭受到反冲作用而高速升空。假设水火箭以大小为的加速度从地面由静止开始竖直匀加速上升，上升8m后无动力上升到最大高度，重力加速度g取，忽略空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．水火箭上升的最大高度为14.4m B．水火箭上升的最大高度为16m C．水火箭上升过程所用总时间为3.6s D．水火箭上升过程所用总时间为2.8s 例2．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）从某一高处竖直向上抛出一物体，该物体上升的最大高度距抛出点为，不计空气阻力。取，则正确的是（　　） A．物体从抛出点到最高点需要的时间是 B．物体从抛出点到返回抛出点需要的时间是 C．物体的初速度大小是 D．物体在抛出后第末的速度大小是 例3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中·多选）原地纵跳摸高是竖直的弹跳，先蹲下预备动作纵向向上加速，离地后身体形状近似不变，直至触碰摸高杆。图甲展示的即为离地后到触碰摸高杆的过程。图乙为包九外2024年秋季运动会中高一年级某同学进行原地纵跳摸高比赛的照片，该次手指摸到的最大高度为。已知该同学刚离地时其指尖距地面的高度为。重力加速度取。据此估算（　　） A．该同学离地时的速度大小最接近 B．该同学离地时的速度大小最接近 C．该同学原地纵跳开始到落地的时间是 D．该同学原地纵跳开始到落地的时间是 例4．（25-26高一上·山东滨州·期末·多选）如图所示，将小球A从地面以初速度竖直上抛，同时将小球B从距地面h处由静止释放，两球同时到达距地面处，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两球同时到达距地面处的时间为 B．初速度的大小为 C．A球能上升的最大高度为 D．两球同时到达距地面处时A球的速度小于B球的速度 例5．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）如图为我校举办的篮球比赛中抢发球场景，裁判将篮球从距地面处向上抛起（视为竖直上抛），学生稍后向上起跳将下落中的篮球拍向队友，为了更快拍到球需在自身起跳达到最高处时刚好碰到篮球。已知篮球被抛出时的初速度，学生静态摸高，跳起后摸高，忽略空气阻力，取。求 (1)学生跳至最高点的时间？ (2)为了更快拍到球学生需在裁判抛球后多久起跳？ 例6．（25-26高一上·云南普洱·期中）某人站在离地高H=59m的平台边缘，以v0=20m/s的初速度竖直向上抛出一块可以看成质点的石块，石块抛出点距离平台边缘高度为h1=1m，不考虑空气阻力，取。求： (1)石块上升离地面的最大高度h； (2)石块从抛出到落到地面所用的时间t。 变式1．（25-26高一下·云南昆明·期中）2026年世界泳联跳水世界杯中国跳水“梦之队”包揽了全部赛事项目的9枚金牌。某次跳水比赛中若将运动员的运动视为竖直上抛运动，忽略空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．上升过程中加速度逐渐减小 B．上升到最高点时速度为零，加速度也为零 C．下落过程中速度变化量的方向竖直向下 D．上升和下落经过同一位置时的速度大小相等、方向相同 变式2．（25-26高一上·北京西城·期中）某物体以的初速度竖直上抛，不计空气阻力，取，则5s内物体的（　　） A．路程为45m B．位移大小为25m，方向向下 C．速度改变量的大小为10m/s D．平均速度大小为5m/s，方向向上 变式3．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测·多选）物体以初速度竖直上抛，经3s到达最高点，空气阻力不计，g取，则下列正确的是（     ） A．物体的初速度为60m/s B．物体上升的最大高度为45m C．物体在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比为5∶3∶1 D．物体在1s内、2s内、3s内的平均速度之比为9∶4∶1 变式4．（25-26高一上·广东江门·阶段检测·多选）一个从地面竖直上抛的小球，到达最高点前1 s上升的高度是它上升的最大高度的，不计空气阻力，g取10 m/s2.则（     ） A．小球上升的最大高度是20 m B．小球上抛的初速度是20 m/s C．2.5 s时物体正在上升 D．1 s末、3 s末物体处于同一位置 变式5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）一人站在距地面50m高处，将物体A以初速度为v0=10m/s竖直向上抛出做竖直上抛运动，落地后不反弹。求： (1)当物体的速率为4m/s时所用时间； (2)当物体运动到距抛出点4.8m时所用时间； (3)若物体抛出的同时，另一物体B在同一位置处以相同速度大小向下运动，其加速度即重力加速度，试在同一坐标系中画出A、B两物体的v—t图像，并用阴影来表示两者在0~2s内的距离。（取g=10m/s2）（规定竖直向上为正方向） 变式6．（25-26高一下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图所示，长为的直杆AB沿竖直方向，直杆下侧的C点有一可视为质点的小球，小球到直杆下端的距离为，小球距离地面足够高。假设在下列运动过程中小球和直杆不会发生碰撞，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)若小球不动，直杆由静止释放，直杆通过小球的时间； (2)若直杆不动，小球以初速度竖直向上抛出，小球向上运动通过直杆的时间； (3)若直杆自由释放的同时，小球以初速度竖直向上抛出，欲使小球在竖直下落过程中（到达C点及C点之前）与直杆的下端相遇，则满足的条件。 考点二 自由落体和竖直上抛相遇类问题 例1．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图所示，篮球运动员在争球训练时，从地面以的速度竖直起跳，在运动过程中身形保持不变，起跳的同时手的正上方高处有篮球自由下落，运动员落地前已经接触到篮球。已知重力加速度为，不计空气阻力，求 (1)运动员从开始运动到手接触到篮球所用的时间； (2)若运动员调整起跳速度，确保在上升阶段接触到篮球，起跳速度的范围。 例2．（25-26高一上·山东青岛·期末）某同学练习抛接球杂技。时，他将一小球从距地面处的O点以初速度竖直向上抛出。小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度。 (1)时，求小球距地面的高度； (2)若该同学未能接住小球，求小球从抛出到落到地面的时间； (3)若该同学在时从O点以相同速度抛出第2个小球，求两球相遇时第1个小球的速度大小和方向。 例3．（25-26高一上·四川绵阳·期末）如图所示，竖直固定的足够长直圆管内有一静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为0.8m。一个小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，碰撞时间极短，碰后瞬间小球与圆盘速度大小均为碰撞前瞬间小球速度大小的一半，小球的速度方向相反，碰后圆盘在管中向下匀速滑动。小球在管内运动时与管壁不接触，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球与圆盘第一次碰撞前瞬间的速度大小； (2)小球与圆盘第一次碰撞与第二次碰撞的时间间隔； (3)小球与圆盘第二次碰撞前，小球与圆盘间的最远距离。 变式1．（25-26高一上·广西南宁·期末）A球从屋顶自由落下，当A球落下距离为时，B球从与屋顶距离为的地方开始自由落下，两球同时落地。重力加速度g取，忽略一切阻力的影响，且两球不会相碰。 (1)求屋顶到地面的距离； (2)若两球都是弹性小球，即与水平地面碰撞后立刻以原速率反弹，从两球同时落地时开始计时，经过多长时间两球第一次在空中达到同一高度？ 变式2．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）如图所示，最初球位于离地高处的位置，球位于球正上方离球处的位置，现同时从静止开始释放、两球。设球与地面碰撞后原速率反弹，忽略空气阻力，两小球均可视为质点，重力加速度。求： (1)球刚落地时，球的速度； (2)从开始释放到两球第一次相遇所经历的时间。 变式3．（25-26高一上·广东惠州·期中）长为的金属管竖直静置在地面上，上管口正上方处有一可视为质点的小球自由下落，不计空气阻力，取。求： (1)小球通过金属管所用的时间； (2)若小球自由下落的同时，金属管从地面以竖直上抛， ①金属管上升时小球恰穿出下管口，求金属管竖直上抛的初速度大小； ②若小球在金属管下降阶段穿出金属管，则需要满足什么条件？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $