7.9.1 向量法求空间角与距离 练习-2027届高三数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦向量法求空间角与距离，通过12道题构建“建系-求向量-设法向量-算角/距”的系统解题流程，强化空间几何问题代数化的数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间角计算|7题（含“鳖臑”、二面角等模型）|向量法四步流程（建系-求向量-设法向量-算角）|空间向量坐标运算→法向量→异面直线角/二面角/线面角公式| |空间距离计算|4题（点面/面面距离）|向量法四步流程（建系-求向量-设法向量-算距）|空间向量坐标运算→法向量→点面/面面距离公式| |综合应用|2题（多问解答）|向量法四步流程（建系-求向量-设法向量-综合运算）|空间向量坐标运算→法向量→角与距离公式的综合应用|

7.9　空间向量的应用 7．9.1　向量法求空间角与距离 一、 单选题 1 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2 如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A. B. C. 1 D. 3 [2026迁安四中月考]如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PAC＝∠ABC＝90°，PA＝BC＝1，E是AB的中点，PB＝AC＝2，则二面角BPCE的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4 [2025汕头二模]设平面α与长方体的六个面的夹角分别为θi(i＝1，2，…，6)，则cos2θi的值为(　　) A．2 B. 3 C. 4 D. 6 二、 多选题 5 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，0，1)，D(1，0，1)，E(5，6，－4)，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝4－3 B. A，B，C，E四点共面 C. 向量是平面ABC的法向量 D. OE与平面ABE所成角的余弦值为 6 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D，E分别是BB1，AC的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. CD⊥AC1 B. BE∥平面A1CD C. A1C1与CD所成角的余弦值为 D. A1D与平面BB1C1C所成角的余弦值为 7 [2025南京一中期末]如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M，N分别为CC1，BC的中点．若点P在棱A1B1上运动，则下列说法中正确的是(　　) A. AM⊥PN B. 点P到直线BC距离的最大值为 C. PN与平面ABC所成最小角的正切值为 D. 点N到平面AMP距离的最大值为 三、 填空题 8 [2026无锡天一中学月考]在空间直角坐标系中，点A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，0，0)，D(－1，2，1)，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为________． 9 已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，PC＝AB＝2，AC＝，则二面角APBC的余弦值为________． 10 如图，在直四棱柱ABB1A1-DCC1D1中，AB⊥AA1，且AA1＝A1B1＝AD＝AB＝1.若AB的中点为E，则直线AC与平面A1EC1所成角的正弦值为________． 四、 解答题 11 [2026无锡锡山高级中学月考]如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为4，E，F，G分别为棱AB，AP，PC的中点．求： (1) 点E到平面BFG的距离； (2) 二面角F-BG-E的平面角的正弦值． 12 [2026金坛一中月考]如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，＝. (1) 求证：BE⊥平面ACB1； (2) 求平面D1AC与平面B1AC夹角的余弦值； (3) 若F为线段CD上的动点，求点F到直线BE距离的最小值． 7．9　空间向量的应用 7．9.1　向量法求空间角与距离 1. A　解析：如图，正方体内的三棱锥A-BCD即为满足题意的“鳖臑”A-BCD，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，M，所以＝，＝(1，0，0).因为cos 〈，〉＝＝＝，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为. 2. D　解析：因为＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，所以BD＝. 3. C　解析：因为平面PAC⊥平面ABC，且AC 为交线，PA⊥AC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥平面ABC，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为PB＝AC＝2，在Rt△ABC中，AB＝＝＝，所以B(0，0，0)，P(0，，1)，C(1，0，0)，E，＝(－1，，1)，＝(0，－，－1)，＝.设平面BPC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即令y1＝1，则m＝(0，1，－).同理，设平面EPC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则即令y2＝2，则n＝(，2，－).设二面角B-PC-E的平面角为θ∈，则cos θ＝＝＝. 4. A　解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，正方体一个顶点处的三个平面的法向量分别为n1＝(1，0，0)，n2＝(0，1，0)，n3＝(0，0，1)，则cos 〈m，n1〉＝＝，cos 〈m，n2〉＝＝，cos 〈m，n3〉＝＝.因为正方体有三对互相平行的平面，所以cos2θi＝2(＋＋)＝2. 5．BC　解析：因为A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，0，1)，D(1，0，1)，E(5，6，－4)，所以＝(0，2，0)，＝(－1，0，1)，＝(4，6，－4)，所以4－3＝4(0，2，0)－3(－1，0，1)＝(3，8，－3)≠，故A错误；设＝x＋y，即解得即＝3－4，设＝λ，即(－1，0，1)＝λ(0，2，0)，即显然λ无解，即与不共线，所以A，B，C，E四点共面，故B正确；因为＝(1，0，1)，所以·＝0，·＝0，所以⊥且⊥，所以向量是平面ABC的一个法向量，故C正确；设平面ABE的法向量为n＝(a，b，c)，所以令a＝1，则b＝0，c＝1，所以n＝(1，0，1).又＝(5，6，－4)，设OE与平面ABE所成的角为θ，所以sin θ＝＝＝，即OE与平面ABE所成角的正弦值为，故D错误．故选BC. 6. BCD　解析：以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意，得E(0，0，0)，A，C，B，B1，D，A1，C1(－，0，2).对于A，＝，＝(－1，0，2)，则·＝－＋0＋2≠0，所以CD与AC1不垂直，故A错误；对于B，设A1C与AC1的交点为M，连接MD，易得MD∥EB.又MD⊂平面A1CD，BE⊄平面A1CD，所以BE∥平面A1CD，故B正确；对于C，＝，＝(－1，0，0)，所以·＝－，||＝＝，||＝1，所以|cos 〈·〉|＝＝＝，即A1C1与CD所成角的余弦值为，故C正确；对于D，＝，设平面BB1C1C的法向量为n＝(x，y，z)，由＝，＝(0，0，2)，得令x＝，则y＝－1，z＝0，所以n＝(，－1，0).设A1D与平面BB1C1C所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，所以cos θ＝，即A1D与平面BB1C1C所成角的余弦值为，故D正确．故选BCD. 7. ABD　解析：如图，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，P(x，0，2)，0≤x≤2，所以＝(0，2，1)，＝(x－1，－1，2).因为·＝0，所以AM⊥PN，故A正确；因为B(2，0，0)，C(0，2，0)，所以＝(－2，2，0)，＝(x－2，0，2)，0≤x≤2，所以点P到直线BC的距离为＝，当x＝0时，取得最大值，故B正确；易知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设PN与平面ABC所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，m〉|＝，当x＝0或x＝2时，sin θ取得最小值，此时tan θ＝，故C错误；因为＝(0，2，1)，＝(x，0，2)，设平面AMP的法向量为n＝(a，b，c)，所以令b＝x，则c＝－2x，a＝4，即n＝(4，x，－2x)，又＝(1，1，0)，则|cos 〈，n〉|＝＝＝.设f(x)＝，0≤x≤2，则f′(x)＝＝，当0≤x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当<x≤2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝时，f(x)取得最大值，此时点N到平面AMP的距离取得最大值·||＝，故D正确．故选ABD. 8. 　解析：由题意，得＝(1，1，1)，＝(－2，2，1)，＝(1，0，0).设向量n＝(x，y，z)与向量，都垂直，则即取x＝1，则n＝(1，3，－4).又平面α∥平面β，所以平面α与平面β间的距离d＝＝＝. 9. 　解析：以O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为y轴，z轴，过点O在平面ABC上垂直AB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，C为底面圆周上一点，则∠ACB＝90°.又AC＝，AB＝PC＝2，所以BC＝1，PO＝，则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，P(0，0，)，C，＝(0，1，－)，＝.设平面CPB的法向量为m＝(x，y，z)，则即令z＝1，得x＝1，y＝，所以m＝(1，，1).又易知平面APB的一个法向量为n＝(1，0，0)，所以cos 〈m，n〉＝＝＝＝，所以锐二面角A-PB-C的余弦值为. 10. 　解析：在直四棱柱ABB1A1DCC1D1中，AB⊥AA1，所以DC⊥DD1.又DA⊥DC，DA⊥DD1，所以以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，E(1，1，0)，C1(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，所以＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，2，0).设平面A1EC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝1，z＝1，所以平面A1EC1的一个法向量为n＝(1，1，1)，设直线AC与平面A1EC1所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，所以直线AC与平面A1EC1所成角的正弦值为. 11. (1) 取底面正方形的中心O为坐标原点，分别以OE，OP所在直线为x轴，z轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，－，0)，B(，，0)，C(－，，0)，D(－，－，0)，P(0，0，4)， 所以E(，0，0)，F(，－，2)，G(－，，2)，＝(0，，0)，＝(－，－，2)，＝(－，，0). 设平面BFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝1，z＝，即n＝(1，1，)是平面BFG的一个法向量． 则点E到平面BFG的距离d＝＝＝. (2) 设平面BGE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝4，则y1＝0，z1＝3，即m＝(4，0，3)是平面BGE的一个法向量． 设二面角F-BG-E的大小为θ，则|cos θ|＝＝＝＝， 得sin θ＝＝＝， 所以二面角F-BG-E的平面角的正弦值为. 12．(1) 由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，得AA1⊥底面ABCD. 因为AC⊂平面ABCD， 所以AA1⊥AC. 又AB⊥AC，AA1∩AB＝A，AA1⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B， 所以AC⊥平面AA1B1B. 因为BE⊂平面AA1B1B， 所以AC⊥BE. 因为AB＝1，AC＝AA1＝2，＝， 所以＝＝. 又∠EAB＝∠ABB1＝90°， 所以△ABE∽△BB1A， 所以∠ABE＝∠BB1A. 因为∠B1AB＋∠BB1A＝90°， 所以∠B1AB＋∠ABE＝90°，所以BE⊥AB1. 又AC∩AB1＝A，AC⊂平面ACB1，AB1⊂平面ACB1， 所以BE⊥平面ACB1. (2) 因为AA1⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC. 又AB⊥AC，所以AA1，AB，AC两两垂直， 故以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，D1(1，－2，2)，E. 由(1)知，＝为平面B1AC的一个法向量． 设平面D1AC的法向量为n＝(x，y，z)， 因为＝(1，－2，2)，＝(2，0，0)， 所以 令z＝1，则y＝1，x＝0，即平面D1AC的一个法向量为n＝(0，1，1). 因为cos 〈n，〉＝＝＝， 所以平面D1AC与平面B1AC夹角的余弦值为. (3) 设＝λ＝(－λ，－2λ，0)，0≤λ≤1， 则F(2－λ，－2λ，0)，＝(2－λ，－2λ，－). 设点F到直线BE的距离为d， 则d＝＝＝＝， 所以当λ＝时，dmin＝，即点F到直线BE距离的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $