解答题专训08 独立事件的概率（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

解答题专训08 独立事件的概率 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 独立事件的概率 1 题型2 统计与独立事件的概率 3 题型3 体育比赛与独立事件的概率 6 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 18 解题方法及技巧提炼 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与__，与B，与也都相互独立. 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 题型通法及变式提升 题型1 独立事件的概率 【例1】（25-26高三上·北京海淀·期末）某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则没有加分资格；若考核为优秀，获得分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核结果相互独立． (1)求在这次考核中，甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为分的概率． 【解】（1）若甲、乙两名同学都没有获得加分资格，则概率为， 甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率为. （2）甲、乙、丙三名同学所得加分之和为，则有两名同学获得加分资格， 另一名同学没有获得加分资格， 则所求概率. 【变式1】（25-26高三下·北京通州·期末）在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求： (1)两人都通过体质健康测试的概率； (2)恰有一人通过体质健康测试的概率； (3)至少有一人通过体质健康测试的概率． 【解】（1）根据题意，记甲通过体能测试为事件，乙通过体能测试为事件， 且事件与事件相互独立， 则两人都通过体能测试的概率. （2）由事件与事件相互独立，则恰有一人通过体能测试的概率为 . （3）由事件与事件相互独立，则至少有一人通过体能测试的概率为 . 【变式2】（24-25高三下·北京大兴·期末）一个口袋中有质地和大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求编号和为5的事件发生的概率； (2)这种游戏规则公平吗？说明理由； (3)如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？ 【解】（1）根据题意可知摸出的所有球的组合情况共有以下情况： （甲、乙） 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 共25种情况， 其中编号和为5的事件发生的情况有（2，3），（3，2），（1，4），（4，1），共4种； 因此编号和为5的事件发生的概率； （2）易知两个编号的和为偶数的情况共有13种， 如果两个编号的和为偶数算甲赢，则甲赢的概率为， 则乙赢的概率为， 显然两人赢的概率并不相等，因此这种游戏规则不公平. （3）设甲胜为事件，乙胜为事件； 则甲胜即摸出球的两个编号的和为偶数所包含的基本事件数为8个， 即； 不放回摸球时易知甲、乙两人取出的数字共有种 因此甲赢的概率为，乙赢的概率为， 显然此时，此时游戏对乙有利. 题型2 统计与独立事件的概率 【例2】（25-26高三下·北京海淀·期中）为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； (3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 【解】（1）频率分布直方图中，每个小矩形的面积=组距×频率密度=该组的频率， 所有小矩形面积之和等于1. 各组组距均为2，则：， 化简得：，解得：. （2）由题可知，样本总数为500人，组距为2， 则可计算得组频率为，人数为； 组频率为，人数为； 组频率为，人数为. 三组总人数为， 从中抽取10人，所以抽样比例为. 计算可得组抽人； 组抽人；组抽人. 从这10人中随机抽取3人，总基本事件数为：， 组有4人，从中选2人：， 其余1人从另外两组共人中选：. 则从10人中随机抽取3人，其中内的学生人数恰有2人的概率为： . （3）已知频率密度，计算可得出各组频率为： 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为. 事件：阅读时间在内，包括和两组，. 事件：阅读时间在内，包括、、、四组， . 事件：阅读时间同时满足和，即区间，. 若与独立，则. 计算可得， 因为，所以， 因此与互相独立. 【变式1】（25-26高三上·北京东城·期末）某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立. 收银台 顾客 A收银台 B收银台 C收银台 甲 a 0.2 0.4 乙 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率； (3)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率. 【解】（1）由表可知,甲选择A收银台的概率为, 乙选择B收银台的概率为 （2）设事件为“甲选择C收银台”,事件为“乙选择收银台”,事件为“甲,乙两人在结账时都选择C收银台”. 根据题意,,事件相互独立. 所以. （3）设事件为“甲，乙两人在结账时至少一人选择收银台”, . 【变式2】（24-25高三下·北京东城·期末）某校学生会制定了本学期学生活动计划.为了解该校学生对活动计划是否支持，按照高一、高二、高三三个年级进行分层随机抽样，获得数据如下表（单位：人）： 年级 支持 不支持 高一 70 20 高二 60 30 高三 20 100 假设所有学生对活动计划是否支持相互独立.用频率估计概率. (1)分别估计该校高一年级学生支持活动计划的概率、该校学生支持活动计划的概率； (2)从该校高一全体学生、高二全体学生、高三全体学生中各随机抽取1人，估计这3人都支持活动计划的概率； (3)已知该校高一（1）班至少有一半的学生支持活动计划.将该校学生支持活动计划的概率估计值记为，除高一（1）班学生外该校其他学生支持活动计划的概率估计值记为.比较与的大小.（结论不要求证明） 【解】（1）由题可知估计该校高一年级学生支持活动计划的概率为， 该校学生支持活动计划的概率为. （2）根据题意估计高一、高二、高三支持活动的概率分别为， 所以估计这3人都支持活动计划的概率. （3），理由如下， 设该校共有学生人，高一（1）班共有人，设高一（1）班学生支持活动计划概率为， 所以，即， 又由（1）知，， 所以，即. 题型3 体育比赛与独立事件的概率 【例3】（25-26高三上·北京房山·期末）已知甲运动员的投篮命中率为0.8，乙运动员投篮命中率为0.7，甲、乙各投篮一次．设事件A为“甲投中”，事件B为“乙投中”． (1)求甲、乙二人中恰有一人投中的概率； (2)求甲、乙二人中至少有一人投中的概率． 【解】（1）由题可得，，则， 所以甲、乙二人中恰有一人投中的概率为； ； （2）由题可得甲、乙二人都没有投中的概率为， 所以甲、乙二人中至少有一人投中的概率为. 【变式1】甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的. (1)求比赛恰进行两局就结束的概率； (2)求这场比赛甲获胜的概率. 【解】（1）比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能， 事件：甲胜乙，事件：乙胜甲.，， . （2）这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜. ，， ∴. 【变式2】（25-26高三上·北京延庆·期末）已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，如果他们三人每人投篮一次，假设三人每次投篮是否命中相互之间没有影响． (1)求三人都没命中的概率； (2)求恰有一人命中的概率； (3)求至少有两人命中的概率． 【解】（1）设事件A：甲投篮命中；事件B：乙投篮命中；事件C：丙投篮命中， 甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为 所以甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为； （2）设“恰有一人命中”为事件D， 所以甲，乙，丙各投篮一次，恰有一人命中的概率为； （3）设“至少有两人命中”为事件E， 所以甲，乙，丙各投篮一次，至少有两人命中的概率为． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（24-25高三上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 【解】（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”， 则. （2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”， 则. （3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”， 则. 2．（25-26高三下·北京东城·期末）某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛. (1)单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，求甲领先的概率； (2)若每局比赛乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，求乙以赢得比赛的概率. 【解】（1）设事件：单局比赛中甲领先，则， 所以单局比赛中甲领先的概率为. （2）设事件：乙以赢得比赛，即前3局中乙输1局胜2局，第4局乙胜的事件， 则， 所以乙以赢得比赛的概率是. 3．（25-26高三下·北京·期末）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必须参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立. (1)求乙通过考核的概率； (2)求甲乙两人考核的次数和为的概率. 【解】（1）乙第一次考核通过的概率， 乙第二次考核通过的概率为， 乙通过考核的概率为； （2）甲考核1次，乙考核2次的概率； 甲考核2次，乙考核1次的概率； 甲乙两人的考核次数和为3的概率. 4．（25-26高三上·北京顺义·期中）值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【解】（1）甲赢得比赛的概率为，乙赢得比赛的概率为， 因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大； （2）甲未赢得比赛的概率为，乙未赢得比赛的概率为， 所以两人均未赢得比赛的概率为， 所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为. 5．三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. (1)求两人各自闯关成功的概率； (2)求三人中恰有两人闯关成功的概率. 【解】（1）设两人各自闯关成功的概率分别是. 由题意得 解得， 所以两人各自闯关成功的概率分别是，. （2）三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 故三人中恰有两人闯关成功的概率为. 6．（24-25高三上·北京西城·期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【解】（1）由频率分布直方图及分层抽样的概念得： 应从评分在内的用户中抽取的人数为：； （2）由频率分布直方图得： B地区用户对该公司产品的评分小于60分的概率为：， B地区用户对该公司产品的评分大于60分的概率为：， 设这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分为事件A， 则； （3）， ， 所以 ，， 则. 7．（24-25高三上·北京房山·期末）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 (1)从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； (2)若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； (3)现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 【解】（1）所有参与调研的人共有人， 不满意的人数是. 记事件“从所有参与调研的人中随机选取人，此人不满意”， 则所求概率为 （2）参与调研的青年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的青年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 参与调研的中年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的中年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 则从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人， 恰有人“满意”的概率估计为， ； （3）这种抽样不合理. 理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为， 满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异， 所以从三种态度的老年中各选取人不合理.合理的抽样方法是采用分层抽样， 根据，，的具体数值来确定抽样的数目. 8．（25-26高三上·北京西城·期末）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4～7.5 8.1～8.6 及格 7.6～9.5 8.7～10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生：7.0  7.2  7.2  7.3  7.4  7.4  7.5  7.5  7.9  8.3  8.6  9.6 女生：7.4  7.6  7.6  7.8  7.9  8.0  8.3  8.4  8.7  9.2  9.4  10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； (2)从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 【解】（1）由给定数据得，12名高一男生50米跑测试成绩在7.3及以下的有4人， 高一女生50米跑测试成绩在8.0及以下的有6人， 所以估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率分别为和. （2）该校高一男生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为， 高一女生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为， 抽取的2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的事件为，则， 由（1）知，，显然事件相互独立， 因此， 所以2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率为. （3）依题意，，， ，因此， 所以与相互不独立. 9．（25-26高三下·北京通州·期末）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率． 选考情况 第1门 第2门 第3门 第4门 第5门 第6门 物理 化学 生物 历史 地理 政治 高一选科人数 80 70 35 20 35 60 高二选科人数 60 45 55 40 40 60 高三选科人数 50 40 60 40 40 70 (1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数； (2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率； (3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为，当取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明） 【解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有人，其中选择历史学科的学生有人， 故估计高一年级选历史学科的学生有人． （2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2， 编号为，，，，， 从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为， ，，，，，，，，，共10种， 设为事件“这2名参赛同学来自不同年级”， 则为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有，，，共2种， 所以事件发生的概率． （3）解：， ， ， ， ， ， 当取得最大值时，． 10．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱.某直播平台有1000个直播商家，对其进行统计调查，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具和饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示.为更好地服务买卖双方，该直播平台用分层抽样方式抽取了80个直播商家进行问询调查. (1)应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？ (2)工作人员对直播商家的每日平均利润状况进行了统计，制作了如图2所示的频率分布直方图.估计该直播平台商家平均日利润的中位数和平均数（结果保留整数，求平均值时，同一组中的数据用该组区间中点的数值代替）； (3)甲、乙、丙三人进入该直播平台后，下单购物的概率分别为，，，且各自是否下单购物相互独立.求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下单购物的概率. 【解】（1）由已知，小吃类商家占35%，， 玩具类商家占10%，， 所以小吃类、玩具类商家应分别抽取28家、8家. （2）由已知，所以， 设中位数为x，因为前两组的频率之和为0.3，前三组的频率之和为0.6， 所以，且，解得， . 所以，估计该直播平台商家平均日利润的中位数为433元，平均数为440元. （3）记“甲、乙、丙三人下单购物”分别为事件A，B，C，“三人中有且只有1人下单购物”为事件D， 由已知，，， 则. 11．（25-26高三上·北京东城·期末）2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下： 方式 手机 电脑 电视 未观看 频率 0.5 0.2 0.1 0.2 假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率. (1)若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数； (2)从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率； (3)从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率. 【解】（1）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为， 所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为. （2）设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式.由频率估计概率，得. 设事件B：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式.由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则. （3）设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使用电脑观看了开幕式，则. 设事件D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人用电脑观看了开幕式，则. 12．（25-26高三上·北京·开学考试）某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 3 20 2 10 1 15 0 15 用频率估计概率. (1)从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率； (2)从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率； (3)从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为，试判断和的大小（结论不要求证明）. 【解】（1）由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生， 科普过程性积分不低于2分的人数的频率为， 所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于2分的概率为； （2）随机抽取三人，得分为6分的可能有： 情况1：1人0分，2人3分； 情况2：1人1分，1人2分，1人3分； 情况3：3人都是2分， 结合图表知得0分，1分，2分，3分的概率分别为 ， 所以随机抽取3人得6分的概率为 ； （3）根据题意从样本中科普过程性积分不低于1分的学生中抽取1人，得1分、2分、3分的频率依次为， 所以从全校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取1名学生其积分，为1分、2分、3分的概率估计依次为， 则任意取2名同学，其积分之差的绝对值不超过1的可能有：{1分，1分}；{1分，2分}；{2分，2分}；{2分，3分}；{3分，3分}五种可能， 即， 任意取2名同学，其积分之差的绝对值不低于1的可能有：{1分，2分}；{1分，3分}；{2分，3分}三种可能， 即， 显然. 创新提升 13.（25-26高三上·北京延庆·期末）已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下： A组 11 12 13 14 15 16 17 B组 13 14 16 17 18 15 a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率； (2)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3)写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明） 【解】（1）设事件为＂甲是组的第i个人＂，事件为＂乙是B组的第i个人＂，. 由题意，得 由题意可知，事件＂甲的康复时间不少于14天＂等价于＂甲是A组的第4人，第5人，或者第6人，或者第7人＂， 所以甲的康复时间不少于14天的概率是． （2）设事件C为＂甲的康复时间比乙的康复时间长＂，由题意，得 ． （3）A组病人康复时间平均数为：， 其方差为：. B两组病人康复时间平均数为： 其方差为： 依题意：，解得或 14．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； (3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率. 【解】（1）用事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”. 依题意知，事件A和事件B相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为. （2）用事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件. 由于，，，之间相互独立， 所以与（i，，且）之间也相互独立. 由于， 所以， 故 . 所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为. （3）用事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”， 则，且与是互斥事件. 由于，，，之间相互独立， 所以与（i，，且）之间也相互独立. 因为， 所以， 故 . 所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为. 15．（2026·北京平谷·模拟预测）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． (1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率； (2)假设每位顾客是否购买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明） 【解】（1）从统计表可以看出，在这位顾客中，有位顾客同时购买了甲、乙两种商品， 所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为； （2）设事件为顾客购买了两种商品，事件为顾客购买了一种商品，事件为顾客购买了三种商品； 从统计表可以看出，可以估计为， 可以估计为， 可以估计为， 随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品， 1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率为 ， 所求的概率可估计为； （3）在这名顾客中，同时购买甲、丙的概率为， 在这名顾客中，同时购买甲、丁的概率为， 该顾客购买丙的可能性较大. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训08 独立事件的概率 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 独立事件的概率 1 题型2 统计与独立事件的概率 2 题型3 体育比赛与独立事件的概率 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与__，与B，与也都相互独立. 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 题型通法及变式提升 题型1 独立事件的概率 【例1】（25-26高三上·北京海淀·期末）某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则没有加分资格；若考核为优秀，获得分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核结果相互独立． (1)求在这次考核中，甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为分的概率． 【变式1】（25-26高三下·北京通州·期末）在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求： (1)两人都通过体质健康测试的概率； (2)恰有一人通过体质健康测试的概率； (3)至少有一人通过体质健康测试的概率． 【变式2】（24-25高三下·北京大兴·期末）一个口袋中有质地和大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求编号和为5的事件发生的概率； (2)这种游戏规则公平吗？说明理由； (3)如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？ 题型2 统计与独立事件的概率 【例2】（25-26高三下·北京海淀·期中）为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； (3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 【变式1】（25-26高三上·北京东城·期末）某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立. 收银台 顾客 A收银台 B收银台 C收银台 甲 a 0.2 0.4 乙 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率； (3)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率. 【变式2】（24-25高三下·北京东城·期末）某校学生会制定了本学期学生活动计划.为了解该校学生对活动计划是否支持，按照高一、高二、高三三个年级进行分层随机抽样，获得数据如下表（单位：人）： 年级 支持 不支持 高一 70 20 高二 60 30 高三 20 100 假设所有学生对活动计划是否支持相互独立.用频率估计概率. (1)分别估计该校高一年级学生支持活动计划的概率、该校学生支持活动计划的概率； (2)从该校高一全体学生、高二全体学生、高三全体学生中各随机抽取1人，估计这3人都支持活动计划的概率； (3)已知该校高一（1）班至少有一半的学生支持活动计划.将该校学生支持活动计划的概率估计值记为，除高一（1）班学生外该校其他学生支持活动计划的概率估计值记为.比较与的大小.（结论不要求证明） 题型3 体育比赛与独立事件的概率 【例3】（25-26高三上·北京房山·期末）已知甲运动员的投篮命中率为0.8，乙运动员投篮命中率为0.7，甲、乙各投篮一次．设事件A为“甲投中”，事件B为“乙投中”． (1)求甲、乙二人中恰有一人投中的概率； (2)求甲、乙二人中至少有一人投中的概率． 【变式1】甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的. (1)求比赛恰进行两局就结束的概率； (2)求这场比赛甲获胜的概率. 【变式2】（25-26高三上·北京延庆·期末）已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，如果他们三人每人投篮一次，假设三人每次投篮是否命中相互之间没有影响． (1)求三人都没命中的概率； (2)求恰有一人命中的概率； (3)求至少有两人命中的概率． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（24-25高三上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 2．（25-26高三下·北京东城·期末）某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛. (1)单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，求甲领先的概率； (2)若每局比赛乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，求乙以赢得比赛的概率. 3．（25-26高三下·北京·期末）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必须参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立. (1)求乙通过考核的概率； (2)求甲乙两人考核的次数和为的概率. 4．（25-26高三上·北京顺义·期中）值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 5．三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. (1)求两人各自闯关成功的概率； (2)求三人中恰有两人闯关成功的概率. 6．（24-25高三上·北京西城·期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 7．（24-25高三上·北京房山·期末）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 (1)从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； (2)若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； (3)现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 8．（25-26高三上·北京西城·期末）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4～7.5 8.1～8.6 及格 7.6～9.5 8.7～10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生：7.0  7.2  7.2  7.3  7.4  7.4  7.5  7.5  7.9  8.3  8.6  9.6 女生：7.4  7.6  7.6  7.8  7.9  8.0  8.3  8.4  8.7  9.2  9.4  10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； (2)从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 9．（25-26高三下·北京通州·期末）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率． 选考情况 第1门 第2门 第3门 第4门 第5门 第6门 物理 化学 生物 历史 地理 政治 高一选科人数 80 70 35 20 35 60 高二选科人数 60 45 55 40 40 60 高三选科人数 50 40 60 40 40 70 (1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数； (2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率； (3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为，当取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明） 10．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱.某直播平台有1000个直播商家，对其进行统计调查，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具和饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示.为更好地服务买卖双方，该直播平台用分层抽样方式抽取了80个直播商家进行问询调查. (1)应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？ (2)工作人员对直播商家的每日平均利润状况进行了统计，制作了如图2所示的频率分布直方图.估计该直播平台商家平均日利润的中位数和平均数（结果保留整数，求平均值时，同一组中的数据用该组区间中点的数值代替）； (3)甲、乙、丙三人进入该直播平台后，下单购物的概率分别为，，，且各自是否下单购物相互独立.求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下单购物的概率. 11．（25-26高三上·北京东城·期末）2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下： 方式 手机 电脑 电视 未观看 频率 0.5 0.2 0.1 0.2 假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率. (1)若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数； (2)从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率； (3)从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率. 12．（25-26高三上·北京·开学考试）某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 3 20 2 10 1 15 0 15 用频率估计概率. (1)从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率； (2)从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率； (3)从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为，试判断和的大小（结论不要求证明）. 创新提升 13.（25-26高三上·北京延庆·期末）已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下： A组 11 12 13 14 15 16 17 B组 13 14 16 17 18 15 a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率； (2)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3)写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明） 14．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； (3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率. 15．（2026·北京平谷·模拟预测）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． (1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率； (2)假设每位顾客是否购买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明） 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $