15.3.1.1等腰三角形的性质-课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的定义、等边对等角、三线合一及轴对称性，通过情境引入（如跷跷板场景）和动手折纸活动，承接轴对称知识，搭建从具体操作到抽象性质的学习支架，帮助学生逐步理解核心概念。 其亮点在于融合数学思维与几何直观，通过折纸探究性质培养推理能力，分层例题（如黄金三角形、生活应用题）渗透分类讨论思想，课堂小结系统归纳性质。学生能提升逻辑推理与应用意识，教师可高效落实教学目标。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 15.3.1.1等腰三角形的性质 第十五章 轴对称 人教版八年级上册15.3.1.1等腰三角形的性质同步练习题 知识点核心：等腰三角形的定义、两条核心性质（等边对等角；等腰三角形三线合一）、等腰三角形轴对称性、利用性质求角度、边长计算、几何证明、分类讨论思想（顶角、底角分类） 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的一个重要性质“等边对等角”是指（） A. 相等的边所对的角相等 B. 所有角都相等 C. 锐角一定相等 D. 边角没有对应关系 2. 等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（） A. 80° B. 50° C. 40° D. 30° 3. 等腰三角形不具备的特征是（） A. 两底角相等 B. 是轴对称图形 C. 三条边都相等 D. 顶角平分线垂直底边 4. 等腰三角形的一个角为50°，则另两个角不可能是（） A. 50°、80° B. 65°、65° C. 50°、60° D. 以上都不对 5. 等腰三角形“三线合一”中的三线不包括（） A. 顶角平分线 B. 底边上的中线 C. 腰上的高 D. 底边上的高 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 有两条边相等的三角形叫做________三角形。 2. 等腰三角形两底角相等，简称为________。 3. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、________相互重合，简称三线合一。 4. 等腰三角形是________图形，有________条对称轴。 5. 等腰三角形底角为70°，则顶角为________°。 三、解答题（共60分） 1.（15分）已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=55°，求∠C和∠BAC的度数。 2.（15分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，BD=CD。 3.（15分）已知等腰三角形一个内角为100°，求另外两个内角的度数。 4.（15分）在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，求证：∠B=∠CAD。 参考答案与解析 一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 解析：等腰三角形核心考点：等边对等角、三线合一，且三线合一只针对顶角和底边，不适用于腰；已知等腰三角形一个内角需分类讨论，钝角只能为顶角。 二、填空题：1.等腰 2.等边对等角 3.底边上的高 4.轴对称、1 5.40 解析：熟练掌握基础概念，三线合一是等腰三角形独有的重要性质，是几何证明、垂直、平分线段的常用依据。 三、解答题：1. 解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=55°，∠BAC=180°−55°−55°=70°。 2. 证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一性质，可得AD⊥BC，BD=CD。 3. 解：100°为钝角，只能是顶角。底角=(180°−100°)÷2=40°，另外两角均为40°。 4. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵BD=AD，∴∠B=∠BAD。根据外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，又∠ADC+∠C+∠CAD=180°，可推得∠B=∠CAD。 情境引入 QING JING YIN RU 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 A B C D 找一张等腰三角形纸片，动手折一折，它是轴对称图形吗？ 其中有哪些相等的角和线段？ △ABC是轴对称图形，对称轴与线段BC交于点D 相等的边 相等的角 AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法一 数学 语言 图形 证明 过程 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 证明： 作底边的中线 AD，则 BD = CD. AB = AC BD = CD AD = AD ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 在 △BAD 和 △CAD 中， 方法1：作底边上的中线. A B C D 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法二 数学 语言 图形 证明 过程 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 证明： 作顶角的平分线 AD， 则∠BAD = ∠CAD. AB = AC (已知)， ∠BAD = ∠CAD (已作)， AD = AD (公共边)， ∴△ABD≌△ACD (SAS). ∴∠B =∠C 在△ABD 和△ACD 中， A B C D 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法三 数学 语言 图形 证明 过程 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. A B C D 证明：作底边 BC 上的高 AD. ∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL).∴∠B＝∠C. 要分类讨论：底角还是顶角？ 填空： （1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 ； （2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是 ； （3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角 等于 . (4)△ ABC中，AB=AC,∠A= 36◦,则∠B= ， ∠C= . (5)△ ABC中，AB=AC,∠B= 36◦,则∠A= ， ∠C= . 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 20°或50° 100° 45° 72° 72° 108° 36° 无度数则设未知数 能否画出三角形？找出其中的等腰三角形 在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数. 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知） ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.(等边对等角） 设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠BDC+∠ADB=180°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°. ∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°， ∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°） 解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°. C D B A 知识拓展 QING JING YIN RU 黄金三角形（含有36°角的等腰三角形） = 黄金分割比 你中有我，我中有你. 看见等边主动寻找等角 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 解：∵OA=AB， ∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°, ∴∠BAC=∠ABO+∠O=30°. ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC=30°， ∴∠CBO=135°，∴∠CBD=∠O+∠ACB=45°. ∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠BCD=90°, ∴∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°. 如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数. ⌒ 15° 1 C D B O A ⌒ 1. ［2025广安期中］已知 是等腰三角形，若 ，则 的顶角度数是( ) C A. B. C. 或 D. 以上都不正确 （第2题） 2. 如图，，在上截取 ，连 接，当 时， 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 12 （第3题） 3. 如图①是 两名同学玩跷跷板的场景，如 图②是跷跷板示意图，支柱 与地面垂直，是 的中 B A. B. C. D. 点，绕着点上下转动.当端落地时， ，则 跷跷板上下可转动的最大角度 是( ) 返回 中考考法 13 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 A B C D ( ( 1 2 根据等腰三角形的性质定理完成下列填空. 在△ABC 中，AB = AC. (1) ∵ AD⊥BC， ∴∠____=∠____，_____=_____. (2) ∵ AD 是中线， ∴ ____⊥____，∠____ =∠____. (3) ∵ AD 是角平分线， ∴ ____⊥____，____ =____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 对于以上三组条件和结论，你有何思考？ 归纳总结 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (简写成“三线合一”). 一定是需要底边上的中线和高才行！ 注 意 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形“三线合一”证明 数学 语言 图形 证明 过程 已知：在△ABC 中，AB = AC,AD⊥BC. 求证：∠BAD =∠CAD，BD=CD. A B C D 证明：在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠BAD =∠CAD，BD=CD. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形“三线合一”证明 数学 语言 图形 证明 过程 已知：在△ABC 中，AB = AC,BD=CD. 求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC. A B C D 证明：在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC AD＝AD BD=CD ∴ △ABD≌△ACD (SSS). ∴∠BDA =∠CDA=90°，即AD⊥BC ∠BAD =∠CAD 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形“三线合一”证明 数学 语言 图形 证明 过程 已知：在△ABC 中，AB = AC,∠BAD =∠CAD. 求证：BD=CD，AD⊥BC. A B C D 证明：在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC ∠BAD =∠CAD AD＝AD ∴ △ABD≌△ACD (SAS). ∴∠BDA =∠CDA=90°，即AD⊥BC BD=CD 思考全等三角形的判定条件 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE. 求证：(1)△AEF≌△CEB； 证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠B＋∠BCE＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB，在△AEF和△CEB中， ∠EAF＝∠ECB， AE＝CE， ∠AEF＝∠CEB ∴△AEF≌△CEB（ASA） 第（1）问的全等有什么结论？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE. 求证：(2)AF＝2CD. (2)∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD，∴BC＝2CD，∴AF＝2CD 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 思考图中有几个等腰三角形？ 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC. (1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE； 图① A B D E C 证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G. ∵ AB＝AC，AD＝AE， ∴ BG＝CG，DG＝EG. ∴ BG－DG＝CG－EG. ∴ BD＝CE. G 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 (2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：AF⊥BC. 图② A B D E C F (2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点， ∴ BD＋DF＝CE＋EF. ∴ BF＝CF. ∵ AB＝AC， ∴ AF⊥BC. 能够利用等腰三角形和外角构造出二倍角？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 E ∵ED=BE, ∴∠EDB=∠B, ∴∠AED=∠EDB+∠B=2∠B， ∴∠C=∠AED, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠CAD, ∵AD=AD,∴△EAD≌△CAD(AAS), ∴ED=CD=3,AE=AC=5, ∴BE=DE=3，∴AB=BE+AE=8. 垂直平分线的性质是什么？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 方程思想莫忘记！ 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 能否通过“三线合一”得到？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 ∵∠GDF=∠ADF，∠ADE=∠F， ∴∠GDF=∠F， ∴DG=FG, 由（1）得， 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 （3）证明： 由（1）得， 4. ［2025长沙天心区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠 晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色， 迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一 亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”. 如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，， 是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线 的是( ) 中考考法 29 （第4题） A. B. C. D. 与 的周长相等 √ 返回 中考考法 30 5.母题教材P79例1 如图，已知等腰三角形， ， ，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰 于 点，连接，则____ . 30 （第5题） 返回 中考考法 31 6. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是 “倍长三角形”，底边的长为3，则腰 的长为___. 6 中考考法 32 【点拨】 等腰三角形是“倍长三角形”， 或 .若，则 的三边长分别是6，6， 3，符合题意， 腰的长为6；若 ，则 ，则的三边长分别是， ，3， ， 此时不能构成三角形，这种情况不存在. 综上所述，腰 的长是6. 返回 中考考法 33 7.母题教材P86习题 小琳想要证明命题：等 腰三角形两腰上的中线相等.请你将该命题的已 知与求证补充完整，并完成证明过程. 已知：如图，在 中，_________________ ____，，分别为边与 边上的中线， ； 求证： _____________________________________________ ____________________________________________________ 【解】证明：， . 是边上的中线，是 边上的中线， 中考考法 34 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________. ，.又 , . 又 ， . 返回 中考考法 8. ［2025天津和平区期中］如图，已知 是 四边形内一点， , ,则 的大 小是( ) D A. B. C. D. 中考考法 36 【点拨】, , , . . , , .故选 D. 返回 中考考法 37 9. 已知,,分别是等腰三角形 三边的长，且满足 ,若,,均为整数，则这样的等腰三角形 有 ( ) B A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 中考考法 38 10. 如图，在中， ， ，为边 边上的中线， 于点，交于点，过点作 的垂线交于点 .有下列结论： ；； 为 C A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ③④⑤ 的中点；为的中点； .其中正确的 结论为 ( ) 中考考法 39 课堂小结 QING JING YIN RU 等边对等角 等腰三角形的性质 注意是指同一个三角形中 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质. 而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质 $