1.1.1向量空间及其线性运算导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量及其线性运算，通过滑翔伞运动受力的现实情境导入，引导学生从平面向量概念及运算自然过渡到空间向量，构建从已知到未知的学习支架，帮助理解空间向量的概念、线性运算法则及共线共面条件。 以核心素养为导向，情境导入培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，例题与变式题设计强化数学思维的推理与运算，符号化表达训练数学语言的精确性，分层练习与易错点提示助力学生深化理解，提升空间观念与应用意识。

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 学习目标　1.理解空间向量的概念。2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程,掌握空间向量的运算法则。 问题 如图，展示的是一个做滑翔伞运动的场景,可以想象在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向大小各异的力,你能用图示法表示这些力吗?能对这些力进行力的合成吗? 一、空间向量相关概念 知识梳理 (1)在空间,把具有 和 的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的 或 。空间向量用字母,,…表示。 (2)空间向量也用有向线段表示,有向线段的 表示空间向量的模。如图,向量的起点是A,终点是B,则向量也可以记作,其模记为||或||。 (3)几类特殊的空间向量: 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做 ,记为 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量长度 而方向 的向量,叫做的相反向量,记为 相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量。在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫做 或平行向量 【例1】下列说法正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【变式1-1】(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A.在同一条直线上的单位向量都相等； B.只有零向量的模等于0； C.在正方体中，与是相等向量； D.在空间四边形中，与是相反向量； 【变式1-2】如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： （1）与相等的向量； （2）与相反的向量； （3）与平行的向量． 2、 空间向量的线性运算 （1）空间向量的加、减、数乘运算及其运算律 空 间 向 量 的 运 算 +=+= -=-= 当λ>0时,λ=λ=, 当λ=0时,λ=, 当λ<0时,λ=λ= 线性 运算 的运 算律 (1)交换律:+=+; (2)结合律:(+)+=+(+),λ(μ)=(λμ); (3)分配律:(λ+μ)= λ(+)= (λ,μ∈R) （2）空间向量加法的运算的小技巧 ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； （3）向量共线的充要条件：对任意两个空间向量,(≠),∥的充要条件是存在 ,使=λ。 （4）直线的方向向量：在直线l上取非零向量,把与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量。 （5）共面向量 ①定义:平行于 的向量,叫做共面向量。 ②充要条件:如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对， 【例2】化简所得的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（ ） A． B． C． D． 【例3】【例3】如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【变式3-1】如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点， N 是BD中点，判断与是否共线？ 【例4】若对任意一点O和不共线的三点A,B,C,有=x+y+z,则x+y+z=1是四点P,A,B,C共面的充要条件吗?为什么? 【变式4-1】下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则的值是多少？ 易错点提示（1）向量共面是指向量平行于同一平面,并不一定在同一平面内,可将向量平移到同一个平面内。向量共面中的向量所在的直线可能相交、平行或异面. （2）空间任意两个向量总是共面的,空间任意三个向量可能共面,也可能不共面。 巩固加练 1.下列命题为真命题的是（ ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 2.如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（ ） A． B． C． D． 3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是 ( ) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 4.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有如下关系:6=+2+3,则 ( ) A.四点O,A,B,C必共面 B.四点P,A,B,C必共面 C.四点O,P,B,C必共面 D.五点O,P,A,B,C必共面 5.（多选）下列说法正确的是（ ） A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 6.如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为向量的有 ( ) A.(+)+ B.(+)+ C.(+)+ D.(+)+ 7.设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______． 8.光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为，则______． 9.如图所示，M、N分别是空间四边形的边、的中点.试判断向量与向量、是否共面. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 学习目标　1.理解空间向量的概念。2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程,掌握空间向量的运算法则。 问题 如图，展示的是一个做滑翔伞运动的场景,可以想象在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向大小各异的力,你能用图示法表示这些力吗?能对这些力进行力的合成吗? 参考答案　竖直向下：重力，线段长度对应重力大小，箭头朝下；水平向右：风力，线段长度对应风力大小，箭头朝右；斜向上多条伞绳拉力：每条拉力画斜向上有向线段，长度对应各绳拉力大小； 有向线段的长度表示力的大小，箭头指向代表力的方向，起点统一为受力点。滑翔伞受到的重力、风力、多条伞绳拉力不在同一平面内，属于空间向量求和。 一、空间向量相关概念 知识梳理 (1)在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。空间向量用字母,,…表示。 (2)空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模。如图,向量的起点是A,终点是B,则向量也可以记作,其模记为||或||。 (3)几类特殊的空间向量: 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量,记为 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量,叫做的相反向量,记为 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量。在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量 【例1】下列说法正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】D 【解析】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：D 【变式1-1】(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A.在同一条直线上的单位向量都相等； B.只有零向量的模等于0； C.在正方体中，与是相等向量； D.在空间四边形中，与是相反向量； 【答案】BC 【解析】A错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，所以不一定相等；B正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；C正确，由正方体的性质知：与的模相等，方向相同；D错误，空间四边形中，与的模不一定相等，方向也不一定相同； 故选：BC 【变式1-2】如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： （1）与相等的向量； （2）与相反的向量； （3）与平行的向量． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等， ∴与相等的向量为； （2）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形， ∴，与相反的向量为． （3）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形，∴，与平行的向量为． 2、 空间向量的线性运算 （1）空间向量的加、减、数乘运算及其运算律 空 间 向 量 的 运 算 +=+= -=-= 当λ>0时,λ=λ=, 当λ=0时,λ=, 当λ<0时,λ=λ= 线性 运算 的运 算律 (1)交换律:+=+; (2)结合律:(+)+=+(+),λ(μ)=(λμ); (3)分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ (λ,μ∈R) （2）空间向量加法的运算的小技巧 ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； （3）向量共线的充要条件：对任意两个空间向量,(≠),∥的充要条件是存在实数λ,使=λ。 （4）直线的方向向量：在直线l上取非零向量,把与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量。 （5）共面向量 ①定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量。 ②充要条件:如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 【例2】化简所得的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】故选：D 【变式2-1】如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A： ，故A正确； B： ，故B错误； C： ，故C错误； D： ，故D错误； 故选：A 【变式2-2】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，又，，，∴, 故选：B． 【例3】如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为， ， 所以，所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线。 【变式3-1】如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点， N 是BD中点，判断与是否共线？ 【答案】共线 【解析】∵M，N分别是AD1，BD的中点，四边形ABCD为平行四边形， 连结AC，则N为AC的中点．∴. ∴与共线． 【例4】若对任意一点O和不共线的三点A,B,C,有=x+y+z,则x+y+z=1是四点P,A,B,C共面的充要条件吗?为什么? 【解析】因为P,A,B,C四点共面的充要条件是存在m,n使=m+n,即-=m(-)+n(-)⇔=(1-m-n)+m+n。令x=1-m-n,y=m,z=n。则=x+y+z且x+y+z=1 【变式4-1】下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于D选项，，,所以点与、、三点共面. 故选：D. 【变式4-2】在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则的值是多少？ 【答案】 【解析】由题意，，∵，，共面， ∴在在实数唯一实数对，使得， ， ∴，解得． 易错点提示（1）向量共面是指向量平行于同一平面,并不一定在同一平面内,可将向量平移到同一个平面内。向量共面中的向量所在的直线可能相交、平行或异面. （2）空间任意两个向量总是共面的,空间任意三个向量可能共面,也可能不共面。 巩固加练 1.下列命题为真命题的是（ ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 【答案】D 【解析】空间中任意两个向量必然共面，A错误；若，则､的长度相等但方向不确定，B错误；向量不能比较大小，C错误；由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确. 故选：D. 2.如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，所以 ， 故选：D. 3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是 ( ) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 【答案】A 【解析】因为+=+,所以=。所以AB∥DC且|AB|=|DC|。所以四边形ABCD为平行四边形。 4.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有如下关系:6=+2+3,则 ( ) A.四点O,A,B,C必共面 B.四点P,A,B,C必共面 C.四点O,P,B,C必共面 D.五点O,P,A,B,C必共面 【答案】B 【解析】由6=+2+3,得-=2(-)+3(-),即=2+3。由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面。 5.（多选）下列说法正确的是（ ） A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】AD 【解析】向量与是相反向量，长度相等，故选项A正确； 空间四形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，故B错误： 空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，故选项C错误； 由空间向量的有关概念与性质易知选项D正确． 故选：AD． 6.（多选）如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为向量的有 ( ) A.(+)+ B.(+)+ C.(+)+ D.(+)+ 【答案】ACD 【解析】A中,(+)+=+=;B中,(+)+=+;C中,(+)+=+=;D中,(+)+=+=。所以,选项ACD中式子的运算结果都是。 7.设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______． 【答案】 【解析】，， ， 三点共线，存在实数，使得，即， ，解得： 8.光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为，则______． 【答案】 【解析】如图，延长，，，相交于一点， 则，，， 所以，，， 所以. 故答案为： 9.如图所示，M、N分别是空间四边形的边、的中点.试判断向量与向量、是否共面. 【答案】向量与向量，共面. 【解析】由题图可得，①；，②. ，.由①②得，即， 故向量与向量、共面。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $