1.2空间向量基本定理导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理及正交分解，以老子《道德经》“道生一，一生二，二生三，三生万物”导入，类比基底从简单到复杂构建空间向量的过程，搭建从平面向量到空间向量的学习支架。 资料通过传统文化导入培养数学眼光，结合平行六面体等几何体的例题变式发展数学思维，正交分解训练数学语言表达，分层习题与易错提示助力学生高效掌握，凸显空间向量工具性与逻辑推理能力的培养。

第一章　空间向量与立体几何 1.2　空间向量基本定理 学习目标　1.掌握空间向量基本定理及其意义。2.掌握空间向量的正交分解。 问题 “道生一,一生二,二生三,三生万物”这句话出自老子《道德经》,它表示“道”生万物从少到多,从简单到复杂的一个过程，结合空间向量理解一下这段话。 参考答案　原本无坐标、无尺度，诞生第一条数轴。仅有一条直线无法构成平面，第二个相互垂直、互不依赖的基底，二者正交张成二维的平面。二元平面升维为立体空间，刚好匹配我们感知万物的三维现实。万物看似纷繁复杂，本质都由三个最基础的基底演化而来，繁归于简。 一、空间向量基本定理 知识梳理 如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x+y+z。其中{,,}叫做空间的一个基底,,,都叫做基向量。 【例1】若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：令，则，，A正确； 选项B：因为，所以不能构成基底； 选项C：因为，所以不能构成基底； 选项D：因为， 所以不能构成基底． 故选：A. 【变式1-1】下列说法正确的是（ ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 【答案】C 【解析】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误； 对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确； 对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误. 故选：C 【例2】如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=,=,=,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用表示以下各向量: (1);(2);(3)+。 【答案】(1)++ (2)-++ (3)++ 【解析】(1)因为P是C1D1的中点,所以=++=++=++=++。 (2)因为N是BC的中点,所以=++=-++=-++=-++。 (3)因为M是AA1的中点,所以=+=+=-+=++。 又=+=+=+=+,所以+=+=++。 【变式2-1】如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则的值分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】 ，，，.故选：D. 【例3】 如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证． 【解析】证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间一个基底，我们用它们表示，，则， ， 所以 所以． 【变式3-1】如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，，证明：。    【解析】证明：∵=++= = =++= = ， 又不在同一条直线上，. 【变式3-2】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求线段AC1 的长 【答案】2 【解析】选取作为一组基底，则， 则= = = ===. 二、空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{,,}表示。 (2)对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量x,y,z,使a=x+y+z。把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解。 【例4】如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求与所成角的余弦值 ． 【答案】 【解析】设，，，则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底． 因， ， 所以．所以与所成角的余弦值为． 易错点提示（1）零向量不能作为一个基向量.（2）空间向量的正交分解式不是唯一的，如果选用不同的正交基底,同一向量的正交分解式也会不同。 巩固加练 1.如图，在三棱柱中，与相交于点，则下列向量能组成一组基底的为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】依题意得，，，不共面，故A正确； 易知，，都在平面内，共面，故B不正确； 易知，，共面，故C不正确； 易知，，都在平面内，共面，故D不正确．故选：A 2.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 【答案】D 【解析】因为=λ+μ,所以,,共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内。 3.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为 ( ) A.1 B. C. D. 【答案】C 【解析】设=2,=2,=k,·=·k=·=0,||=||=||=1,则=+=i++,=+=++(-)=2++,=-=-,||===。 4.已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，，则，，，而，，， ， 所以. 故选：D． 5.（多选）下列说法不正确的是（ ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 【答案】ABD 【解析】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误； 对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确； 对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误. 故选：ABD 6.（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由，故A正确；由为中点，所以，故B错误；对C，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，即模长为，夹角为，，所以，故C正确；，， 又，所以，故D正确. 故选：ACD. 7.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=,=,A=,A1C1与B1D1的交点为E,则= 。  【答案】 【解析】如图,=+=+(+)=+(-)=。 8.已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则 。 【答案】 【解析】以向量为基底向量， 所以 所以  9.已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，求实数的取值范围。 【答案】 【解析】若，，共面，由共面向量定理知， 存在实数x，y，使得， 即． 因为不共面，所以，，， 解得，，，即当时，， 此时不能作为基底，所以若能作为基底， 则实数满足的条件是．所以的取值范围是. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　空间向量与立体几何 1.2　空间向量基本定理 学习目标　1.掌握空间向量基本定理及其意义。2.掌握空间向量的正交分解。 问题 “道生一,一生二,二生三,三生万物”这句话出自老子《道德经》,它表示“道”生万物从少到多,从简单到复杂的一个过程，结合空间向量理解一下这段话。 一、空间向量基本定理 知识梳理 如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在 有序实数组(x,y,z),使得= 。其中{,,}叫做空间的一个基底,,,都叫做 。 【例1】若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列说法正确的是（ ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 【例2】如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=,=,=,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用表示以下各向量: (1);(2);(3)+。 【变式2-1】如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则的值分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例3】 如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证． 【变式3-1】如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，，证明：。    【变式3-2】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求线段AC1 的长 二、空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量 ,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{,,}表示。 (2)对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量x,y,z,使= 。把一个空间向量分解为三个 的向量,叫做把空间向量进行正交分解。 【例4】如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求与所成角的余弦值 ． 易错点提示（1）零向量不能作为一个基向量.（2）空间向量的正交分解式不是唯一的，如果选用不同的正交基底,同一向量的正交分解式也会不同。 巩固加练 1.如图，在三棱柱中，与相交于点，则下列向量能组成一组基底的为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 3.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为 ( ) A.1 B. C. D. 4.已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5.（多选）下列说法不正确的是（ ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 6.（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 7.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=,=,A=,A1C1与B1D1的交点为E,则= 。  8.已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则 。 9.已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，求实数的取值范围。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $