第二章 实数的初步认识重难点检测卷-（暑期衔接课堂）2026年暑假苏科版八年级数学

**基本信息** 第二章实数初步认识单元检测卷，覆盖全章内容，通过27题（100分）实现基础巩固与创新应用结合，适配暑假复习，凸显数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|算术平方根、无理数、近似数|结合数轴（题4）、图形拼接（题5）考查几何直观| |填空题|8/16|平方根与立方根、实数性质|设计根整数新定义（题16），培养抽象能力| |解答题|11/68|实数运算、实际应用|综合题（题26礼品盒、题27A系列纸）体现模型意识，通过数据表格（题8、22）发展推理能力|

第二章 实数的初步认识重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数的初步认识全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2026·山东菏泽·二模）4的算术平方根是（   ） A． B． C．2 D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知，则下列选项中不是方程的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级下·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广西崇左·期末）小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 若微生物的初始数量为2个，培养3小时后的数量为个，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（25-26七年级下·北京·期中）图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆万州·阶段检测）下表记录了一些数的平方： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在之间．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（2026·陕西·模拟预测）实数中无理数的个数为___________． 10．（25-26八年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 11．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若实数 、 满足 ，则的值是___________． 12．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）49的算术平方根是______，的立方根是______，1的平方根是______． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 14．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 16．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26七年级下·北京·期中）求出下列等式中x的值： (1) (2) 18．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，求的值． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 20．（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 22．（25-26七年级下·河北沧州·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 23．（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2)若介于与之间，请直接写出满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 24．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 25．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 26．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 母亲节将至，小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________； (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 27．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】 阅读下列材料： 材料一：如图（1），我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形的面积为，其边长为，也是原来边长为1的小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样的方法剪接，所得到的大正方形的面积为，其边长为，也是原来边长为2的小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为a的小正方形用同样的方法剪接，所得到的大正方形的面积为：，其边长① 就是原边长为a的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为1平方米，将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；…，如图（2），将纸按如图（3）所示的方式折叠，则纸的长：宽=② 请根据材料回答下列问题： (1)补全材料一、材料二中①②所缺内容． ① ；② ． (2)按照图（2）中A系列纸的生成过程，若纸的宽为2，请求出纸的长与宽． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数的初步认识重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数的初步认识全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2026·山东菏泽·二模）4的算术平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，根据定义求解即可． 【详解】解：∵，且算术平方根一定为非负数， ∴的算术平方根是． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，可化为分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知，则下列选项中不是方程的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将的值逐个代入判断即可． 【详解】解：A．当时，，符合题意； B．当时，，不符合题意； C．当时，，不符合题意； D．当时，，不符合题意． 4．（25-26八年级下·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：这个数在和之间，则符合题意的只有B选项． 5．（25-26八年级下·广西崇左·期末）小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：左图两个正方形的面积之和为， 所以右图的正方形的面积为，边长为． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 若微生物的初始数量为2个，培养3小时后的数量为个，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据指数增长模型，代入已知条件建立方程并求解． 【详解】解：已知初始数量，经过小时培养后的数量为． 根据公式， 代入数据得： 两边同时除以2，化简为： 计算， 则． 因此，的值为4， 故选：B． 7．（25-26七年级下·北京·期中）图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积由组成正方形的小正方形个数决定，计算即可得出拼接的正方形的边长；观察作图过程得出拼接的正方形的边长=点到的距离，再根据实数与数轴的关系即可求解． 【详解】解：∵由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形 ∴正方形的面积 ∴拼接的正方形的边长， 观察作图过程得出点到的距离， ∴点表示的数是． 8．（24-25八年级上·重庆万州·阶段检测）下表记录了一些数的平方： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在之间．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，结合表格信息，根据平方根与算术平方根，整数部分的含义逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为6，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴30976的平方根是，故③正确； ∵，， ∴，，，的算术平方根在之间．故④正确； 综上：正确的有①③④． 故选：C 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（2026·陕西·模拟预测）实数中无理数的个数为___________． 【答案】 【详解】解：实数中，无理数有、，共个． 10．（25-26八年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 【答案】千位 【分析】本题考查近似数的精确度．科学记数法表示的近似数，其精确度由系数最后一位数字所在的数位决定，据此进行解答即可． 【详解】解：， 系数最后一位数字0对应千位， 故精确到千位． 故答案为：千位． 11．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若实数 、 满足 ，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出，的值，再计算 即可． 【详解】解：，，且， ， ， ． 12．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）49的算术平方根是______，的立方根是______，1的平方根是______． 【答案】 7 【详解】解：49的算术平方根是，的立方根是，1的平方根是． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 14．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是半圆滚动与数轴的结合，灵活运用半圆的周长公式是解题的关键．根据半圆的周长等于半圆弧长与直径之和，先求出直径为个单位长度的半圆的周长，进而确定点对应的数． 【详解】解：由图可知，半圆向右滚动一周，走过的路径为半圆的周长， 即， 点对应的数为． 故答案为：． 16．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 【答案】 【分析】根据根整数的定义，首先求出根整数为的最大整数为，再求出根整数为的最大整数，即为所求的的最大值． 【详解】解：，， 根整数为的最大整数是， ，， 根整数为的最大整数是， 连续求两次根整数后的结果为的最大整数为． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26七年级下·北京·期中）求出下列等式中x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解； （2）先移项变形，将方程整理为，再开立方求解． 【详解】（1）解：， ， 故或， 解得，． （2）解：， ， ， 解得． 18．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，求的值． 【答案】2 【分析】根据算术平方根与平方数的非负性，两个非负数相加为0则各自为0，列出二元一次方程组，用加减消元法求出、的值，再代入代数式计算结果． 【详解】解：由条件可知：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 当，时，． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 【答案】(1)不正确；举例见详解 (2)不正确；举例见详解 【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性． （1）考虑b的符号并举例即可判断． （2）考虑互为相反数的无理数即可求解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 当时，，例如，则，因此说法不正确． （2）解：不正确，理由如下： 两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和， 它们的和为0（有理数），因此说法不正确． 20．（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【答案】(1)小王加工的轴不合格，理由见解析 (2)轴长为的车间工人加工完原轴的范围是 【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格； （2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】（1）解：小王加工的轴不合格，理由如下： 图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格； （2）解：近似数的要求是精确到， 所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是． 22．（25-26七年级下·河北沧州·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 23．（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2)若介于与之间，请直接写出满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)或 (3)约 【分析】（1）根据算术平方根和平方根的定义从表格中得出结果即可； （2）从表格中分别找出的平方和的平方，找到位于这两个平方之间的正整数即为所求的正整数a； （3）关系式中代入，解出，根据表格中的数得出的大概取值即可． 【详解】（1）解：由表格得的算术平方根是，的平方根是； （2）解：由表格得，， 介于与之间，和之间的正整数有，， 满足条件的正整数a为或； （3）解：， 当时，， 由表格得介于和之间， 该物体到达地面大概需要． 24．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 25．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 26．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 母亲节将至，小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________； (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能装下，理由： 圆柱形蛋糕的直径为， ， ，即， ， ， ，即， 这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 【分析】（1）设圆柱形蛋糕的半径为，根据题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解； （2）通过立方根的定义即可求解； （3）通过无理数的估算，实数比较大小即可求解． 【详解】（1）解：设圆柱形蛋糕的半径为， ， （负数舍去）， （2）解：， 答：这个正方体礼品盒的棱长为； （3）略 27．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】 阅读下列材料： 材料一：如图（1），我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形的面积为，其边长为，也是原来边长为1的小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样的方法剪接，所得到的大正方形的面积为，其边长为，也是原来边长为2的小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为a的小正方形用同样的方法剪接，所得到的大正方形的面积为：，其边长① 就是原边长为a的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为1平方米，将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；…，如图（2），将纸按如图（3）所示的方式折叠，则纸的长：宽=② 请根据材料回答下列问题： (1)补全材料一、材料二中①②所缺内容． ① ；② ． (2)按照图（2）中A系列纸的生成过程，若纸的宽为2，请求出纸的长与宽． 【答案】(1)①，②：1 (2)长为宽为8 【分析】（1）①已知两个边长为a的小正方形剪拼后大正方形面积是，对面积进行开方运算即可得到大正方形边长，该长度同时等于原小正方形对角线长，②结合折纸模型，设正方形边长为a，长方形的长为正方形对角线、宽等于正方形边长a，将长与宽作比并化简，得到纸固定长宽比． （2）先借助第一问结论确定纸长宽比，结合题干给出的纸宽为2算出纸长；再依据A系列纸张对折尺寸变换规则，从逆向逐级推算出的长宽． 【详解】（1）①解把两个边长为的小正方形用同样方法剪接，所得到的大正方形面积为，其边长为就是原边长为的小正方形的对角线长； ②由图可得折叠上去的斜边正好与长方形的长相等，若折叠时正方形的边长为，则斜边为，因此这个矩形的长为，宽为，则长：宽； 故所缺内容：①；②； （2）由（1）得：纸的长与宽之比为， 根据材料二，纸面积为1平方米，每沿长边对折一次，纸张面积变为原来的，从到共对折4次，因此纸面积为平方米． 根据A系列纸张对折生成规则：上一级纸张的长为本级纸张宽的2倍，上一级纸张的宽为本级纸张的长． ∵纸的宽为2， ∴纸的长为， ∴纸的长为4，宽为， ∴纸的长为，宽为4， ∴纸的长为8，宽为， ∴纸的长为宽为8． 学科网（北京）股份有限公司 $