湖南省多校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

高一年级数学参考答案 x<2, 1.B由x2≥2，得x≤-√2或x≥√2，所以不等式组 x2≥2 的解集为(-∞，一√2]U[√2,2). 2.A因为50.1>5°=1，所以“x>5.1”是“x>1”的充分不必要条件. 3.A因为a-b=(2-m,2),a⊥(a-b),所以a·(a-b)=4-2m+2=6-2m=0,所以m=3. Dma-a[。)+]-2}-3则m2a=品。-=子 2tan a3 5.C 子+号=a十6)（层+）=20+号+2因为a>0,6>0,所以号+1招≥ a ·-12,当且仅当a=,6=日时，等号成立，故子+的最小值为32 26 3x,x2, 6.B设函数g(x)= (logax,x>2 令f(x)=0,得g(x)=a,作出g(x)的图象（图略），由图可 知，当a∈(log32,6]时，直线y=a与g(x)的图象有两个交点，即f(x)有两个零点， 又a是集合{x∈Nx<13}中任意一个元素，所以a的值可以为1,2,3,4,5,6. 故了c)有两个零点的概率为品 7.D令g(x)=a.x2-2x十4，因为f(x)在(1,2)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知， g(x)在(1,2)上单调递减，且g(x)>0在(1,2)上恒成立.若a=0,则g(x)=-2x十4在(1， ≥2， 2)上单调递减，且g(x)>0在(1,2)上恒成立，满足条件.若a>0,则a 解得0< 4a-4+4≥0， ∠1， a≤分若a<0,则 不等式组无解综上，a的取值范围为[0，] 4a-4+4≥0 8.B设x1,x2,…,x1的平均数为x,y1,y2,…,y150的平均数为y,总体的平均数为之，总体 的方差为，侧-100十150-2红3，-号[15+（云-门十[10+G-2门- 100+150 [15+8G-)]+[10+号G-]-12+号G-≥12，当且仅当x=y时，等 号成立，所以数据x1,x2,…,x1o0,y1,y2,…,y150的方差的最小值为12. 9.BD因为之1十之2=1+3i,1一之2=3一i,所以之1=2+i,x2=一1+2i,则z1之2=一4+3i, z1=|z2|=5,z2在复平面内对应的点位于第二象限，A错误，B,D均正确.（之1一1）=(1 +i)6=[(1+i)2]3=(2i)3=-8i,C错误. 【高一数学·参考答案第1页（共6页）】 10.AC当x<0时，一x>0,则f(一x)=(一x)2-2(-x)+3=x2十2x十3.因为f(x)是定 义在R上的偶函数，所以f(x)=f(-x)=x2十2x十3，A正确.因为x2-2x十3=(x一1)2 十2≥2，所以B不正确.当x≥0时，由f(x)≤3，得x2一2x十3≤3，解得0≤x≤2，根据偶函 数的对称性可知，不等式f(x)≤3的解集为[一2,2]，C正确.由方程f(x)一a=0有两个 不相等的实数根，得直线y=a与f(x)的图象有两个交点，作出f(x)的图象（图略），可得a 的取值范围为(3，十∞)U{2},D不正确. 11.ABD在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,则AA1⊥CD 因为D为棱AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,所以CD⊥ 平面ABB1A1.因为CDC平面CDE,所以平面CDE⊥平面ABB1A1, A A正确.取棱AC的中点M,设四面体ACDE外接球的球心为O,连接 OM,DM,0D.易知OML底面ABC,DM=BC=1,OM=号DE= 号，所以OD2=DM+OM-星，所以四面体ACDE外接球的表面积A M 为13π，B正确.直线CE与直线A1B1异面，C错误 设DE与A1B1交于点H,AE与A1B1交于点F,CE与HC1交于点G,连接FG,则四面 体ACDE与正三棱柱ABC-A1B,C1的公共部分为三棱台FGH-ACD,△ACD的面积S= ××2-因为E3g2所以△GH的面积（）广所以= 棱台FGH-ACD的体复v-言×2x(停+得√停×答)-1， 27分，D正确。 12.0因为f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y∈[0,2]恒成立，所以f(0)=2f(0),则f(0) =0,又f(x)是周期为4的函数，所以f(4)=f(0)=0. 13.-1.27 27 因为Ei+F心=(1-X)AB+(1-)AC,AB.AC-1X1Xcos120°=- 2, 所以(EB+FC2=(1-λ)2+2(1-λ)(1-)AB·AC+(1-4)2=(1-λ)2-(1-1)(1- μ)+(1-u)2,因为入十4μ=1，所以1-λ=4， 则(E+F心=(4)2-4μ(1-)+1-)2=22-6+1=21(a-7)》°+号， 当以=7，入-时，(E馆+F心)取得最小值，且最小值为号，故成+心的最小值为 2√7 7 14.16 显然质点移动三步的方向相互独立，若质点三步朝同一个方向移动，则这个质点与坐标 原点的距离为3，符合题意，所求的概率为4×()》°-。若质点三步中有两步朝同一个方 【高一数学·参考答案第2页（共6页）】 向移动，另一步朝除同方向和反方向外的两个方向移动，则这个质点与坐标原点的距离为 厅.符合题意，所球的概率为4X(××号+×号×+×星×)-名若质点三 步中有两步朝同一个方向移动，另一步反方向移动，则这个质点与坐标原点的距离为1， 不符合题意；若质点三步中有两步朝相反的两个方向移动，另一步朝另外两个方向中的一个 移动，则这个质点与坐标原点的距离为1，不符合题意.质点移动三步的方式只有上述情况， 37 故所求的概率为6十8=6： 15.(1)解：因为AA1=2OA=2,所以该圆柱的高为2，底面半径为1，… B …2分 则该圆柱的侧面积为2πrh=4π.…5分 (2)证明：连接BC.因为AA1,BB1均为圆柱的母线，所以AA1BB1, D …6分 又AA1中平面BB1C,BB1C平面BB1C,所以AA1平面BB1C.… …7分 连接AC,BD.因为AB,CD是圆O的两条直径，所以AO=OB,CO=OD,所以四边形 ACBD是平行四边形，… 9分 所以ADBC,… …10分 又AD中平面BB1C,BCC平面BB1C,所以AD/平面BB1C,…11分 因为AA1∩AD=A,所以平面AA1D平面BB1C.…12分 又B1CC平面BB1C,所以B1C/平面AA1D.…13分 16.解：Dfx5sinx十cos2x=sinx+),…2分 2分 则f(x)的最小正周期T=2π.…4分 令受+2x≤x+吾<+2kx,k∈Z, 5分 得餐十2k≤x≤T十2k元，kEZ,…6分 则f(x)的单调递诚区间为子+2kx,+2kr]k∈Z. 。0.000000g7分 (2)由题可知g(x)=sin(2x+石)， 9分 则由2g(x)+1≤0，可得sin(2x+石)≤-2 10分 因为s7-sn 11x_1 2 12分 6 【高一数学·参考答案第3页（共6页）】 所以结合g(c)的图象与性质，可得号+2k≤2x十音<+2，k∈ ,…13分 解得召十≤≤+，k∈Z… 14分 则原不等式的解集为登1kx,否+]（∈刀. …15分 17.解：(1)因为5a+0.05×5+0.04×5+0.07X5+0.02×5+5a=1,….2分 所以a=0.01.…4分 (2)设该临界值为x吨.因为前3组的频率之和为0.5，前4组的频率之和为0.85，·6分 所以x∈(20,25).…7分 由(x-20)X0.07=0.8-0.5=0.3,……8分 得x-170≈24.3，即该临界值为24.3吨.… 7 …10分 (3)这100户居民的月用水量的平均值的估计值为510×0.01×5+105×0.05×5十 15+20×0.04×5+2025×0.07×5+2530×0.02×5+30+35×0.01×5=19.25,… 2 2 2 2 13分 所以估计该市居民月用水的总量为19.25×20=385万吨.…15分 18解：1)因为(2c-a)cosB=bsin(2-A), 所以(2sinC-sinA)cosB=sin Bcos A, 2分 2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C, 3分 因为sinC≠0，所以cosB三号， 4分 又B∈(0，，所以B=于 …5分 （2)因为SAr-子aesin B-ae -83，所以ac=32, 2acx3 6分 由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B,得36=a2+c2-32,即a2+c2=68,…8分 又因为(a十c)2=a2+c2+2ac=132,所以a十c=2√33，…9分 新所以△ABC的周长为2√33十6.…10分 (3)因为BD是∠ABC的角平分线，所以∠ABD=∠CBD=, …11分 由SMx=Sa十SAcm得2(AB+BC),BDsin吾-2AB·BCsin号，.12分 又BC=Q=2,所以BD=2V3AB 2+AB, …13分 【高一数学·参考答案第4页（共6页）】 所以m吉B-328O8-4-38-(仔8+g). 2+AB …14分 因为AB+2B-e+AB)+2限言2√X5-日-25-： …15分 当且仅当AB=23-2时，等号成立，…16分 所以BD-子AB≤25-23+2，放BD-AB的最大值为23-25+号 。…17分 19.(1)证明：因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC,…1分 因为AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,… …2分 因为AD/平面PBC,ADC平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD =BC,所以ADBC,…3分 所以AD⊥平面PAB,因为PBC平面PAB,所以AD⊥PB. …4分 D (2)(i)证明：如图1，过点A作AQ⊥PD,垂足为Q.…5分 因为平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面PCD=PD,所以 AQ⊥平面PCD,…6分 ⊙ 因为CDC平面PCD,所以AQ⊥CD.…7分 图1 又因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,因为PA∩AQ=A,所以CD ⊥平面PAD,…8分 因为ADC平面PAD,所以CD⊥AD.…9分 (iⅱ)解：如图2，过点D作DE⊥AC,垂足为E,过点E作EF⊥CP,垂足为F,连接DF …10分 因为PA⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,所以PA⊥DE,因为 PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC,…11分 因为PCC平面PAC,所以DE⊥PC,又EF⊥PC,DE∩EF=E, 所以PC⊥平面DEF,因为DFC平面DEF,所以PC⊥DF,… …12分 所以∠DFE为二面角A-PC-D的平面角.…13分 由(1)知CDLAD,所以CD2+AD2=AC2=4,设AD=m(1≤m ⊙ ≤3)， 图2 则CD=√4-m,所以DE=AD,CD_mV4-m AC 2 .…14分 PC-2/2,PD-V4+m,DF-PD.CD_V16-m PC 2√2 【高一数学·参考答案第5页（共6页）】 m√/4-m2 则sin∠DFE= DE 2 √2m DF 15分 W16-m4 √/4+m2 2√2 又v2n √2 三，所以sin∠DFE随着m的增大而增大，当m=1时，sin∠DFE= W4+m2 4 Vm2+1 √10 5, 当m=√3时，sin∠DFE=√42 71 …16分 所以二商角A-7CD的正孩值的取值范图为[，] 17分 【备注第(2)(iⅱ)问也可以在图1中过点Q作QF⊥PC,垂足为F,连接AF(图略)，则 ∠AFQ为二面角A-PCD的平面角 只 【高一数学·参考答案第6页（共6页）】高一年级数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 x<2, 1.不等式组 x2≥2 的解集为 A.0 B.(-∞，-√2]U[2,2) C.[2,2) D.(-∞，-√2)U(2,2) 2.“x>501”是“x>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知向量a=(2,1),b=(m,-1),a⊥(a-b),则m= A.3 B.-2 C.-1 D.6 4.已知tan(a-T)=2,则tan2a A.-3 R- c号 n 5已知正数06满足6十60=1，则2+名的最小值为 A.28 B.30 C.32 D.34 3x-a,x≤2， 6.已知函数f(x)=《 若a是集合{x∈N|x<13}中任意一个元素，则f(x)有 a-logsx,x>2, 两个零点的概率为 A是 A昌 c n名 7.已知函数f(x)=log2(ax2一2x十4)在(1,2)上单调递减，则a的取值范围为 A(-o,2] B[-2,2] c[-1, n[,] 【高一数学第1页（共4页）】 8.若数据x1,x2,…,x1o0的方差为15，数据y1,y2,…,y150的方差为10，则数据x1,x2,…, x1o0y1,y2,·,y150的方差的最小值为 A.10 B.12 C.13 D.15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知之1十z2=1十3i,x1一x2=3-i,则 A.z1x2∈R B.1=|x2 C.(x1-1)5=8i D.之2在复平面内对应的点位于第二象限 10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2一2x十3，则下列结论正确的是 A.当x<0时，f(x)=x2+2x+3 BYx∈R,f)>号 C.不等式f(x)≤3的解集为[-2,2] D.若关于x的方程f(x)一a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为(3，十∞) 11.如图，正三棱柱ABC-A1B,C1每条棱的长度均为2，D为棱AB的中 点，DE⊥底面ABC,点E在平面AB1C1的上方，且DE=3,则 A.平面CDE⊥平面ABB1A B.四面体ACDE外接球的表面积为13π C.直线CE与直线A1B1相交 D四面体ACDE与正三棱柱ABC-A,B,C,的公共部分的体积为33 A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知f(x)是周期为4的函数，f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y∈[0,2]恒成立，则 f(4)=▲ 13.在△ABC中，AB=AC=1,∠A=120°，E,F分别是AB,AC上的点，且AE=λAB,AF= uAC,X,4∈(0,1)，且入十4=1，则AB·AC=▲，|E第+FC|的最小值 为▲ 14.在平面直角坐标系中，一个质点从坐标原点出发，每一步等可能地从上、下、左、右这4个方向选取 1个方向移动1个单位长度，则三步后，这个质点与坐标原点的距离超过1个单位长度的概率 为▲ 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知AB,CD是圆柱下底面圆O的两条直径，AA1,BB1均为圆柱的母线，AA1=2OA=2. (1)求该圆柱的侧面积； (2)证明：B1C/平面AA1D. A B D B 16.(15分) 已知函数f(x)=B、 1 -2sin a+cos x. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求 不等式2g(x)+1≤0的解集. 17.(15分) 为了解居民用水情况，某市水务部门随机调查了1000户居民的月用水量（单位：吨），发现 这些数据均分布在区间[5,35]内，现对这1000个数据进行整理并据此绘制频率分布直 方图. (1)求图中a的值； (2)为促进节约用水，该水务部门将对居民用水价格进行调整，拟确定一个用水量临界值，使 得80%的居民月用水量不超过该值，求该临界值（单位：吨，结果精确到小数点后一位）； (3)已知该市有20万户居民，若每组的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该市居民月 用水的总量. 频率/组距 0.07 0.05 0.04 0.02 5101520253035月用水量/吨 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cosB=bsin(受-A）: (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积为8√3，且b=6,求△ABC的周长； (3)若a=2,D在边AC上，BD是∠ABC的角平分线，求BD-子AB的最大值 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,且AB⊥BC. (1)若AD平面PBC,证明：AD⊥PB. (2)设平面PAD⊥平面PCD. (i)证明：CD⊥AD. (iⅱ)若1≤AD≤√3，求二面角A-PC-D的正弦值的取值范围. D 【高一数学第4页（共4页）】