专题九 动量守恒定律 -2027届高三物理一轮复习讲义（直击高考）（提高班）（知识点+模拟分类+真题分类）

该高中物理高考复习资料聚焦动量守恒定律专题，涵盖动量、冲量、动量定理、动量守恒及碰撞分类等核心考点，按概念理解、定理推导、模型应用（弹簧-小球等四类模型）、真题演练的逻辑架构知识体系，通过考点梳理、模型分析、方法总结、分层练习四环节，助力学生构建解题框架。 资料以模型建构和科学推理为特色，如弹性碰撞推导中结合动量与能量守恒得出速度公式，滑块-曲面模型强调水平动量守恒与机械能转化，设置基础、提升、综合三层练习适配不同学生，配合高考真题精讲，培养科学思维，为教师提供精准复习节奏指导，高效提升学生应考能力。

专题九 动量守恒定律 知识点 一、动量 1.定义：质量和速度的乘积mv定义为物体的动量，用字母p表示。 2.表达式：p＝mv。 3.单位：千克米每秒，符号是kg·m/s。 4.方向：动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。 二、对动量的理解 (1)瞬时性：通常说物体的动量是物体在某一时刻或某一位置的动量，动量的大小可用p＝mv表示。 (2)矢量性：动量的方向与物体的瞬时速度的方向相同。 (3)相对性：因物体的速度与参考系的选取有关，故物体的动量也与参考系的选取有关。 三、动量的变化量 (1)表达式Δp＝p2－p1，该式为矢量式，运算遵循平行四边形定则，当p2、p1在同一条直线上时，可规定正方向，将矢量运算转化为代数运算。 (2)方向：与速度变化量的方向相同。 1.定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量，用字母I表示。 2.公式：I＝FΔt。 3.单位：牛秒，符号：N·s。 4.矢量性：方向与力的方向相同。 5.物理意义：反映了力的作用对时间的累积效应。 四、对两个物体的碰撞过程进行理论分析 如图所示，在光滑水平桌面上做匀速运动的两个物体A、B，质量分别是m1和m2，沿同一直线向同一方向运动，速度分别是v1和v2且v2＞v1。当B追上A时发生碰撞。碰撞后速度分别是v1′和v2′。在碰撞过程中，A受到的作用力是F1，B受到的作用力是F2，利用动量定理对两物体进行分析： 对A：F1Δt＝m1v1′－m1v1 对B：F2Δt＝m2v2′－m2v2 根据牛顿第三定律F1＝－F2 得m1v1′－m1v1＝－(m2v2′－m2v2) m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2 结论：两个物体碰撞后的动量之和等于碰撞前的动量之和。 五、碰撞的分类 (1)弹性碰撞：系统动量守恒，机械能守恒。 (2)非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能。 (3)完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大。 六、实例分析 (1)推导 在光滑水平面上质量为m1的小球以速度v1与质量为m2的静止小球发生弹性正碰，如图所示。 碰撞过程中，动量守恒，总动能没有损失，得 m1v1′＋m2v2′＝m1v1 m1v1′2＋m2v2′2＝m1v 碰后两个物体的速度分别为 v1′＝v1，v2′＝v1 (2)结论 ①若m1＝m2，则有v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后两球速度互换。 ②若m1>m2，v1′和v2′都是正值，表示v1′和v2′都与v1方向相同。 若m1≫m2，这时有m1－m2≈m1，m1＋m2≈m1，得v1′＝v1，v2′＝2v1，表示第一个球的速度几乎不变，第二个球以2v1的速度被撞出去。 ③若m1＜m2，v1′为负值，表示v1′与v1方向相反，第一个球被弹回。 若m1≪m2，这时有m1－m2≈－m2，≈0，得v1′＝－v1，v2′＝0，表示第一个球反向以原速率弹回，而第二个球仍静止。 七、常见模型处理 模型一　“弹簧—小球”模型 1.对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒的条件。 2.整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 3.注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大。 4.弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大。 模型二　“滑块—曲(斜)面类”模型 模型解读：如图所示，质量为M的曲面滑块静止在光滑水平面上，曲面滑块的光滑弧面底部与桌面相切。一个质量为m的小球以速度v0向弧面滚来，若小球不能越过弧面，则小球到达最高点时(即小球竖直方向上的速度为零)，两物体的速度肯定相等(方向为水平向右)。 　　　　　 模型三　“子弹打木块”模型 1.模型特点 (1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒。 (2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。 2.两种类型 (1)子弹留在木块中(未穿出) ①动量守恒：mv0＝(m＋M)v ②机械能损失(摩擦生热) Q热＝Ffd＝mv－(m＋M)v2 其中d为子弹射入木块的深度。 (2)子弹穿出木块 ①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 ②机械能的损失(摩擦生热) Q热＝FfL＝mv－mv－Mv 其中L为木块的长度，注意d≤L。 模型四　“滑块—木块”模型 1.把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。 2.由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ffs相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。 3.注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多。 1、 动量、动量定理 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）“2026年美加墨世界杯”于2026年6月11日至7月19日在美国，加拿大与墨西哥三国联合举办，是历史上首次由三个国家共同承办，也是北美洲第四次举办该项赛事。关于足球运动，下列说法正确的是（     ） A．在研究香蕉球和电梯球的形成原因时，足球都可以被看成质点 B．足球在草坪上运动时，在阻力作用下足球运动速度逐渐变小，说明力是改变物体运动状态的原因 C．守门员用双手将足球以原速率扑出的过程，足球的动量、动能均保持不变 D．罚点球过程中，运动员对足球的弹力越大，足球的动量变化越大 【答案】B 【详解】A．研究香蕉球、电梯球的形成原因时，需要考虑足球的旋转、大小和形状，足球不能被看成质点，故A错误； B．足球在阻力作用下速度减小，运动状态发生改变，直接说明了力是改变物体运动状态的原因，故B正确； C．动量是矢量，守门员将足球以原速率扑出时，足球速度方向改变，因此动量发生变化；只有动能（标量）大小不变，故C错误； D．根据动量定理，动量变化等于合外力的冲量，动量变化由力和作用时间共同决定，弹力越大，动量变化不一定越大，故D错误。 故选B。 2．（2026·福建南平·二模）如图为茶水从茶壶中倒出的情景，若不考虑空气阻力，某一小段水柱在下落过程中（　　） A．动量不变 B．速度变化率保持不变 C．相同时间内下降的高度相等 D．若遇到水平方向的风力，下落时间变长 【答案】B 【详解】A．水柱做平抛运动，速度不断变化，所以动量不断变化，故A错误； B．水柱在下落过程中只受重力，加速度为g且保持不变，加速度表示速度的变化率，所以速度变化率保持不变，故B正确； C．水柱在竖直方向做加速运动，相同时间内下降的高度不同，故C错误； D．若遇到水平方向的风力，不会影响竖直方向的运动，所以下落时间不变，故D错误。 故选B。 3．（2026·湖南岳阳·三模）物体在外力作用下从静止开始做直线运动，合力F随时间t变化的图像如图所示。关于0~6s内物体的运动，下列说法正确的是（　　 ） A．0~6s内物体做匀变速运动 B．t=6s时物体回到出发点 C．t=2s与t=6s时物体的速度相同 D．t=6s时物体的速度最大 【答案】C 【详解】A．因4s末力的方向改变，则加速度改变，所以0~6s内物体不是做匀变速运动，故A错误； BD．由题图可知，0~4s内物体向正方向做匀加速直线运动，4~6s内物体向正方向做匀减速直线运动，所以t=6s时物体没有回到出发点，在t=4s时物体的速度最大，故BD错误； C．根据图像与横轴围成的面积表示冲量，由题图可知2~6s内，合力的冲量为0，根据动量定理可知，2~6s内物体的动量变化为0，则t=2s与t=6s时物体的速度相同，故C正确。 故选C。 4．（2026·湖南长沙·三模）完全相同的甲、乙两物体静止在水平地面上，分别同时受到大小相同的拉力和，方向均与水平方向成角，如图所示，甲做匀加速直线运动，乙保持静止。经过时间后同时撤掉，和。再经时间，甲刚好停止。在时间内，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．两物体所受拉力和的冲量相同 B．两物体所受摩擦力的冲量相同 C．甲物体所受合力的冲量大于乙物体所受合力的冲量 D．甲物体在时间内通过的位移大于时间内通过的位移 【答案】B 【详解】A．的冲量方向不同，故和的冲量不相同，故A错误； B．拉力和的大小相同，作用时间t相同，因此水平方向的冲量相等，甲乙两物体在整个过程中的动量的变化量均为零，故两物体所受摩擦力的冲量也相同，故B正确； C．在时间内，两物体所受合力的冲量 故甲物体所受合力的冲量等于乙物体所受合力的冲量，故C错误； D．根据对称性，甲物体在时间内通过的位移等于时间内通过的位移，故D错误。 故选B。 5．（2026·福建泉州·模拟预测）某同学练习排球垫球时，排球每次都在同一位置与手臂接触、分离，排球每次竖直上升后又落回原位置。已知排球质量，每次垫球时排球与手臂接触时间为，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)排球离开手臂后在空中的飞行时间； (2)排球每次与手臂作用过程的动量变化量大小； (3)排球与手臂平均作用力的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）排球离开手臂后，从最高点自由下落，得 由竖直上抛运动的对称性可知 得 （2）排球与手臂接触、分离的速度大小都相同 以竖直向上为正方向 得 （3）以竖直向上为正方向，在排球与手臂作用过程中 得 2、 非弹性碰撞 1．（2026·广东肇庆·模拟预测）A、B两球沿一直线运动并发生正碰，如图所示为两球碰撞前、后的位移随时间变化的图像，a、b分别为A、B两球碰前的位移随时间变化的图像，c为碰撞后两球共同运动的位移随时间变化的图像，若A球质量是m = 2kg，则由图判断下列结论正确的是（   ） A．碰撞前、后A球的动量变化量为4kg·m/s B．碰撞时A球对B球所施的冲量为4N·s C．A、B两球碰撞前的总动量为3kg·m/s D．碰撞中A、B两球组成的系统损失的动能为20J 【答案】A 【详解】由图可知，碰撞发生在处 碰前（）有， 碰后（）共同速度​ 已知，动量守恒有 代入数据得 A．A球动量变化量，故A正确；​ B．A对B的冲量由动量守恒，系统总动量变化为0，故 由动量定理，A对B的冲量为，故B错误； C．碰撞前总动量，故C错误； D．系统损失的动能，故D错误。 故选A。 2．（2026·河北沧州·三模）如图所示，在光滑水平面上，小球A的质量为，小球B的质量为。现给A一个初速度，使其与静止的B发生正碰。碰撞后，B小球冲上一个半径为R=0.8m的光滑竖直圆管轨道（轨道由一个四分之一圆管连接一个半圆管再接一个四分之一圆管组成，圆管内径远小于R）。竖直轨道固定在平板车上，平板车开始时是锁定的，其左端紧挨水平面，平板车上表面与光滑水平面平齐，已知小球B运动至轨道最高点C时，对下侧壁的压力为2.5N。重力加速度 (1)求碰撞后瞬间A、B各自的速度大小； (2)判断A、B碰撞过程中机械能是否有损失，若有，则计算损失的能量； (3)若解除锁定的平板车，且平板车可以在车轮所在水平面上无摩擦运动。小车（含其上固定的轨道）的质量为M。其他条件不变，小球A、B碰撞后，为保证小球B能从圆管轨道右侧滑出，求M需要满足的条件。 【答案】(1)4.5m/s，6m/s (2)有损失，6.75J (3)M>4kg 【详解】（1）在最高点C、B对下侧壁压力为，由牛顿第三定律，轨道对B的支持力，方向向上，重力向下，合力提供向心力 解得 B从最低点到最高点上升高度为，机械能守恒 解得 碰撞前后系统动量守恒 解得 （2）碰撞前总动能 碰撞后总动能 因，故有机械能损失 （3）假设小球B运动到轨道最高点时刚好与车共速，根据水平方向动量守恒 根据机械能守恒可得 解得 要使小球B能从圆管轨道右侧滑出，则需 3.（2026·天津滨海新区·模拟预测）如图所示，质量为的物体由静止从光滑的圆轨道上滑下，在圆轨道的底端，与静止的物体相碰，的质量为，碰后和立即粘在一起，并在水平面上继续滑行了停下。已知圆轨道的半径为。求： (1)碰撞前滑块在圆轨道最低点对轨道的压力大小 (2)碰撞过程中损失的动能； (3)物体与水平面之间的动摩擦因数。（取） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设A滑到轨道底端时的速度为，根据机械能守恒有 解得 解得 由牛顿第三定律知A在圆轨道最低点对轨道的压力大小为30N。 （2）、相撞过程动量守恒，则有 解得 碰撞过程中损失的动能为 （3）在水平面上，根据动能定理有 解得 4.（2026·河南新乡·模拟预测）直轨道与竖直半圆轨道平滑连接，滑块静止于直轨道，滑块以的速度水平向右运动，与滑块碰后粘在一起，碰撞时间极短，两滑块都可看作质点，，半圆轨道的半径，取重力加速度大小，不计一切阻力，求： (1)碰后瞬间，滑块的速度大小； (2)滑块运动到半圆轨道顶点时对轨道的压力大小； (3)滑块在直轨道上的落点与半圆圆心间的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）取水平向右为正方向，由动量守恒定律得 解得 （2）设到最高点的速度为，从碰撞结束到运动至半圆最高点，根据能量守恒定律有 在最高点，根据牛顿第二定律有 解得 （3）滑块从轨道最高点飞出后做平抛运动，竖直方向有，水平方向有 解得 滑块在直轨道上的落点与半圆圆心间的距离 解得 5．（2026·安徽合肥·三模）如图所示，水平面上放有小球A、B和半圆形轨道C，两小球的质量均为m，可看作质点。轨道质量未知，圆弧面的半径为R，与水平面平滑连接。小球A以某一速度向右运动并与静止的小球B发生正碰，碰后两球的相对速度与碰前相对速度之比为0.5。所有接触面均光滑，重力加速度为g。 (1)求小球A、B碰撞后的速度大小之比； (2)若轨道C固定，小球B进入轨道后，在与圆心等高的D点时对轨道的压力为2mg，求小球B脱离轨道的位置距水平面的高度； (3)若轨道C不固定，小球B仍以（2）问中的速度进入轨道，最终能到达的最高点为D，求轨道C的质量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得 碰后两球的相对速度与碰前相对速度之比满足 代入数据得， 因此 （2）小球B在D点时对轨道的压力与轨道对小球的弹力大小相等，根据牛顿第二定律，在D点有 解得 设小球脱离位置为E，EO连线与水平方向成角，则有 从D到E点，由机械能守恒定律得 联立解得， 小球B脱离轨道的位置距水平面的高度为 （3）由（2）得小球B刚进入轨道时速度满足 且 解得 轨道不固定，当小球到D点时，二者速度均为v，设轨道C质量为M，由水平方向动量守恒得 根据系统机械能守恒得 解得 6.（2026·河北保定·三模）碰撞测试过程中，质量 的物块A在水平地面上以大小的速度，与质量 处于静止状态的物块B发生正碰，碰撞时间极短，碰后两物块粘在一起形成连接体C，C沿水平地面滑行一段距离后冲上倾角的斜坡，沿斜坡向上运动的最大距离s=0.45m。水平地面与斜坡平滑连接，C与水平地面、斜坡间的动摩擦因数均为设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g，，求： (1)C第一次到达斜坡底端时的速度大小； (2)A、B碰撞过程中损失的机械能； (3)C在水平地面上运动的总距离L。 【答案】(1)3m/s (2)1050J (3)4.18m 【详解】（1）连接体沿斜坡上滑过程，由牛顿第二定律有 解得 连接体沿斜坡向上做匀减速直线运动，有 解得 （2）两物块碰撞过程，根据动量守恒定律有 解得 碰撞过程中损失的机械能 （3）碰撞后连接体运动到斜坡底端的过程，有 沿斜坡下滑过程，由牛顿第二定律有 解得 设滑块回到底端的速度为v3，则有 滑上水平地面后，有 解得 连接体在水平地面上运动的总距离 3、 弹性碰撞 1．（2026·河北·三模）如图所示，竖直平面内，光滑水平轨道BC与光滑圆弧轨道CD相切于C点，圆弧轨道的半径为0.8 m、圆心为O，∠COD＝90°。质量的小球甲以水平向右、大小为5 m/s的速度撞向静止在BC上的小球乙，两球（均可视为质点）发生弹性碰撞且碰撞时间极短。取重力加速度大小。已知碰撞后小球乙恰好运动至D点，则小球乙的质量为（     ） A．2 kg B． C．4.5 kg D． 【答案】C 【详解】本题考查圆周运动与弹性碰撞，目的是考查学生的推理论证能力。 小球甲、乙发生弹性碰撞，则有 解得 碰撞后小球乙恰好运动至D点，则有 解得，选项C正确。 故选C。 2.（2026·山西忻州·模拟预测）如图所示，光滑水平面上固定质量为、倾角为的斜面，在斜面右侧有个质量均为的物块，质量为的滑块从光滑斜面顶端由静止释放。已知，取。 (1)求滑块到达斜面底端时的速度大小。 (2)斜面底端有一小圆弧，使斜面和地面平滑连接。 ①若所有的碰撞均为完全非弹性碰撞，求第1个物块的最终速度大小。 ②若所有的碰撞均为弹性碰撞，求第1个物块的最终速度大小。 【答案】(1) (2)① ② 【详解】（1）斜面固定且光滑，滑块下滑过程机械能守恒 解得 （2）①水平面光滑，所有碰撞完成后最终共速，系统动量守恒。总质量为滑块质量加个物块质量 由动量守恒 代入整理得 ②第一次碰撞：滑块质量，碰静止的第1个物块（质量） 由动量守恒可得 机械能守恒可得 解得弹性碰撞后速度为， 第1个物块会碰撞前方静止的第2个物块，两个物块质量相等，弹性碰撞会交换速度，碰撞后第1个物块速度变为0，速度传递给第2个物块，依次最终第个物块速度为 第二次碰撞：滑块质量，碰静止的第1个物块（质量） 由动量守恒可得 机械能守恒可得 解得弹性碰撞后速度为， 第1个物块会碰撞前方静止的第2个物块，两个物块质量相等，弹性碰撞会交换速度，碰撞后第1个物块速度变为0，速度传递给第2个物块，依次最终第个物块速度为 依此类推第1个物块的最终速度大小为 3．（2026·广西桂林·三模）如图所示，半径为，圆心角的光滑圆弧轨道与光滑水平轨道平滑连接，水平轨道与以速度顺时针匀速转动的倾斜传送带平滑连接，传送带与水平方向夹角，传送带的上端与水平平台连接。滑块A从圆弧顶点无初速度下滑，与静止在水平轨道最右端的滑块B发生弹性碰撞，然后滑上传送带，被传送带运送到水平平台上。倾斜传送带上下两端的距离，滑块A、B与传送带的动摩擦因数均为，滑块A的质量，滑块B的质量，重力加速度。求： (1)滑块A滑到圆弧轨道最低点时对轨道的压力； (2)若传送带由电动机带动，由于运送滑块A、B电动机多消耗的电能。 【答案】(1)36N，方向竖直向下； (2)114J 【详解】（1）滑块A从圆弧顶点下滑到最低点，根据机械能守恒有 解得 滑块A在圆弧轨道最低点，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，可知滑块A滑到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为36N，方向竖直向下； （2）滑块A与B发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒有， 联立解得， 碰撞后，滑块A的速度为 ，小于传送带的速度，传送带顺时针匀速转动，且 故滑块A先向上做匀加速直线运动，设加速度为，根据牛顿第二定律有 解得 设经时间，滑块A与传送带共速，则有 滑块A的位移为 传送带的位移为 该过程滑块A相对传送带的位移为 产生的热量为 倾斜传送带上下两端的距离，大于滑块A向上加速的位移，且 故滑块A与传送带共速后，相对传送带静止，向上做匀速直线运动，无相对位移，故不会产生热量 滑块A增加的机械能为 碰撞后，滑块B的初速度为，等于传送带的速度，传送带顺时针匀速转动，且 故滑块B相对传送带静止，向上做匀速直线运动，无相对位移，故不会产生热量，滑块B增加的机械能为 故由于运送滑块A、B电动机多消耗的电能 4．（2026·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，半径的光滑圆弧轨道的底端与水面相切，轨道上端点P和圆心O的连线与水平面成角。将质量的小物块A以速度向左水平抛出，恰好从P点沿切线进入圆弧轨道，当A运动到圆弧轨道的底端时，与静止在该处的小物块B发生弹性碰撞，碰后A返回圆弧轨道，恰好能上升到与圆心等高的Q点。重力加速度取，，。求： (1)小物块A抛出点离地面的高度； (2)小物块A通过P时对轨道的压力大小； (3)小物块B的质量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块A做平抛运动，设其在P点竖直方向的分速度为，根据几何关系，A恰好沿切线进入圆弧轨道，故在P点速度方向与水平方向的夹角 由平抛运动规律可得。 从抛出点到P点下落的高度 而P点距圆弧轨道底端B的高度 抛出点离地面的高度 联立并代入数据，解得 （2）小物块A在P点的速度大小 在P点，沿半径方向应用牛顿第二定律，有，代入数据解得轨道对A的支持力。 根据牛顿第三定律，A通过P点时对轨道的压力大小等于，方向沿半径向外。 （3）设A到达底端B点与B碰撞前的速度为，由机械能守恒定律得 设碰后A的速度为，因A恰好能上升到与圆心等高的Q点，根据机械能守恒有 规定向右为正方向，碰前A向右运动，碰后A返回向左运动，代入数据解得，。 A与静止的B发生弹性碰撞，设碰后B的速度为， 由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得。 解得 将、、代入该关系式中， 解得小物块B的质量。 四、几类模型问题 1.（滑块—曲(斜)面类）（2026·天津南开·二模）如图所示，质量为2m的物块P静止在光滑水平地面上，其右侧表面是半径为R的光滑圆弧轨道，圆弧轨道下端与水平地面相切。物块P右侧静止有质量为m的球b，球b左侧固定有轻弹簧。将质量为m的球a从圆弧轨道最上端静止释放，球a离开物块P后与轻弹簧左侧接触并粘连。已知重力加速度为g，弹簧的形变始终在弹性限度内。求： (1)若物块P固定，整个运动过程中弹簧的最大弹性势能Ep； (2)若物块P不固定，球a离开物块P瞬间速度va的大小，及球b能达到的最大速度vb的大小。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）若物块P固定，球a由静止释放到离开物块P的过程中，由动能定理得 球a与弹簧接触后，球a与球b组成的系统动量守恒，当二者的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得整个运动过程中弹簧的最大弹性势能 （2）P不固定时，下滑过程中，和P组成的系统水平方向动量守恒，且系统机械能守恒。 规定向右为正方向，设离开P时P的速度为，由动量守恒 由机械能守恒 整理得 与弹簧粘连后，、和弹簧组成的系统水平面光滑，动量守恒、机械能守恒。当弹簧恢复原长时，的速度达到最大； 设弹簧恢复原长时的速度为，由动量守恒​ 由机械能守恒 联立解得球b能达到的最大速度 2.（板块模型）（2026·吉林松原·模拟预测）如图甲所示，光滑的水平地面上静置一长木板，木板的左端有一个可视为质点的滑块。现给滑块一水平向右的初速度v0，此后滑块和木板的动能随各自位移变化的图像如图乙所示，最终滑块恰停在木板的右端。求 (1)滑块与木板的质量之比 (2)滑块与木板间的滑动摩擦力大小 (3)木板的长度 【答案】(1)2:3 (2) (3) 【详解】（1）滑块和木板组成的系统动量守恒，设滑块的质量为，木板的质量为，滑块的初速度为，最终的共同速度为，取向右为正方向，根据动量守恒定律有 系统的初末动能表达式分别有， 联立解得 由图乙可知系统初动能，由于最终滑块和木板具有共同速度，由图像可知两者的末动能之和即系统末动能，代入等式解得 （2）根据动能表达式可知最终滑块与木板的动能之比等于质量之比，故滑块的末动能为，木板的末动能为，设滑块与木板间的滑动摩擦力大小为，由图乙可知滑块的位移为，对滑块根据动能定理有 代入数据解得 （3）设木板的位移为，对木板根据动能定理有 代入数据解得 由于最终滑块恰好停在木板的右端，则木板的长度等于滑块与木板的相对位移，有 解得 3．（板块模型）（2026·湖南·模拟预测）如图所示，A、B两块木板靠在一起并固定在水平面上，A、B的质量均为未知，B木板长度是A木板长度的3倍。将一个可视为质点、质量的小滑块C以的速度冲上A木板的左端，之后恰好不冲出B木板，小滑块C与A、B木板间的动摩擦因数均为，重力加速度g取。求： (1)板的长度L； (2)若解除A、B板的固定，且水平面是光滑的，要使小滑块C能冲上B木板，M应满足什么条件； (3)若（2）中，，小滑块C相对A、B木板运动的全过程中产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A、B固定时，小滑块C恰好停在B的右端，根据动能定理有 代入数据解得板的长度 （2）解除固定后，C在A上滑动时，C的加速度大小为 A、B整体的加速度大小为 设C与A、B达到共速所需时间为，由运动学规律有 要使小滑块C能冲上B木板，此时C相对A的位移需大于A板长度，即 联立代入数据解得M需满足的条件为 （3）当时，因，滑块C会滑上B木板。设C刚滑上B木板瞬间，A、B的速度为，C的速度为，以向右为正方向，由动量守恒和能量守恒定律有， 此后A与B分离，A以做匀速运动，C在B上滑动直至达到共同速度，对B、C系统，以向右为正方向，由动量守恒定律有 全过程产生的总热量即系统损失的机械能为 联立以上方程组并代入数据解得 4.（滑块—曲(斜)面类）（2026·河北秦皇岛·二模）如图所示，装置的左侧是固定在水平面上有半径为2R的四分之一圆弧的光滑曲面体，装置的右侧是没有固定放在光滑水平面上有半径为R的四分之一圆弧的光滑曲面体，其质量为3m，现将质量为m的滑块从A点由静止释放，经过一段时间后滑块冲上右侧光滑曲面体，重力加速度为g，滑块可视为质点。 (1)滑块从右侧的曲面体的顶端滑离后还能上升多高？ (2)滑块在右侧的曲面体上第一次滑至离水平面高度为时，光滑曲面体的速度多大？ (3)若滑块从右侧的曲面体的底端滑至顶端的时间为，滑块从右侧的曲面体的顶端滑至底端的时间为，滑块从右侧的曲面体的底端开始到再次回到底端的过程中曲面体向右运动的距离为多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块从左侧光滑曲面体上滑下，设滑块运动到B点的速度大小为，根据机械能守恒定律有 解得 滑块在右侧的曲面体上运动过程中，系统水平方向动量守恒，滑块滑至右侧的曲面体的顶端时滑块与右侧的曲面体水平方向共速，设共同速度大小为，以向右为正方向，则有 解得 设滑块滑至右侧的曲面体的顶端时的竖直速度为，根据机械能守恒定律有 解得 滑块从右侧的曲面体的顶端滑离后做斜抛运动，在竖直方向有 （2）设滑块在右侧的曲面体上第一次滑至离水平面高度为时滑块的水平速度大小为，曲面体的速度大小为，滑块在右侧的曲面体上运动，系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，则有 设滑块在右侧的曲面体上第一次滑至离水平面高度为时滑块的竖直速度大小为，根据机械能守恒定律有 滑块相对右侧的曲面体做圆周运动，则有 联立得， 解得（另一解不符合题意，舍去） （3）滑块从右侧的曲面体的底端滑至顶端过程中水平方向有 对时间的积累有 又 解得 滑块离开曲面体顶端做斜抛运动再回到右侧的曲面体的顶端过程中，右侧的曲面体的位移为 滑块从右侧的曲面体的顶端滑至底端过程有 对时间的积累有 又 解得 滑块从右侧的曲面体的底端再回到底端的过程中曲面体向右运动的距离 5．（弹簧问题）（2026·辽宁朝阳·模拟预测）工厂里有一套物料分拣装置，弧形储料槽为半径R0=10m的光滑圆弧，储料槽左侧斜面固定一原长位于A点的弹簧，A点高度h0=0.05m，工件经光滑槽AB段输送到长度为L=0.2m、顺时针转动的水平传送带上，圆弧槽与传送带平滑连接，经传送带工件被送至长度s=0.2m的粗糙水平面CD段，D点右侧的光滑水平面上放置质量M=0.6kg的缓冲木块，其光滑圆弧面EF为半径R=0.2m的四分之一圆周，现将m=0.2kg的工件从A点自由释放，发现工件恰好在传送带上未留下滑痕。工件与传送带及CD段之间的动摩擦因数均为=0.5，工件可视为质点，不计空气阻力，传送带速度保持恒定。（g=10m/s2，π=3.14，cos5°=0.995） (1)求工件经过B点时轨道对工件支持力的大小； (2)求工件从A点出发到停止运动过程中所经历的时间； (3)若压缩弹簧，将工件从A点沿圆弧弹出，已知弹簧的弹性势能全部转化为工件的动能，求工件最终停止的位置。 【答案】(1) (2) (3)距C点0.1m的粗糙水平面上 【详解】（1）设工件经过B点时速度为v0，由机械能守恒 解得 设工件经过B点时轨道对工件支持力大小为FN，由向心力公式 解得 （2）设储料槽所对应的圆心角为θ， 工件在光滑圆弧上的运动可看作单摆运动，设工件在光滑圆弧上的运动的时间为t1，由单摆运动周期公式 设工件在传送带上的运动的时间为t2，由于未留下滑痕，传送带速度为v0，则 设工件在粗糙水平面上运动距离为x0，运动时间为t3，则， 设工件从A出发至停止运动的总时间为t，则 （3）设工件被弹出后第一次到达D点的速度为v1，由能量关系 解得 由于接触面光滑，工件与木块组成系统动量守恒，机械能守恒，设工件与木块分离时工件速度为v2，木块速度为，以向右为正，由动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得 解得，=2m/s 设工件滑过粗糙水平面和传送带到达B点的速度为v4，则 得 工件在传送带上加速到与传送带共速的位移为 则工件到达C点时速度和传送带速度相等，设工件在粗糙水平面运动的位移为x2，则 则工件最终停下的位置：距C点0.1m的粗糙水平面上。 6．（滑块—曲(斜)面类）（2026·山西太原·一模）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量kg的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，取重力加速度大小，不考虑任何阻力，求： (1)小球的初速度大小及质量m； (2)小球运动到最高点时的速度大小； (3)小球能够上升的最大高度h。 【答案】(1)；5kg (2) (3) 【详解】（1）水平面光滑，小球和滑块组成的系统水平方向任意时刻动量守恒，因此有 整理得与的关系 结合图乙的直线纵截距时，，可得 横截距时，，可得 整理得 联立解得， （2）小球运动到最高点时，小球与滑块水平方向相对静止，速度相同，即共速。由水平动量守恒 代入数据得 （3）小球上升到最高点过程中，系统机械能守恒，动能的减少量等于重力势能的增加量 代入数据计算得 7．（弹簧问题）（2026·四川泸州·一模）如图所示，小球A以水平初速度，从半径的粗糙半圆弧轨道顶端冲入，然后从半圆弧另一端沿水平方向以速度冲出，在光滑水平轨道上通过轻质弹簧与静止的小球B发生相互作用（弹簧与小球B连接）。已知、。忽略空气阻力，A、B球均可视为质点，重力加速度。求： (1)小球从到的过程中阻力做的功； (2)弹簧弹性势能的最大值； (3)在整个相互作用过程中，弹簧对小球A的冲量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球从到的过程中根据动能定理可得 解得 （2）当速度相等时，弹性势能最大，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒定律可得 解得 （3）在整个相互作用过程中，根据动量定理可得 解得 1、 动量、动量定理 1．（2025年高考天津卷物理真题）一种名为“飞椅”的游乐设施如图所示，该设施中钢绳一端系着座椅，另一端系在悬臂边缘。绕竖直轴转动的悬臂带动座椅在水平面内做匀速圆周运动，座椅可视为质点，则某座椅运动一周的过程中（　　） A．动量保持不变 B．所受合外力做功为零 C．所受重力的冲量为零 D．始终处于受力平衡状态 【答案】B 【详解】座椅在水平面内做匀速圆周运动，速度大小不变，方向改变 A．根据可知动量大小不变，方向改变，故A错误； B．速度大小不变，则座椅的动能不变，根据动能定理可知所受合外力做功为零，故B正确； C．根据可知所受重力的冲量不为零，故C错误； D．座椅在水平面内做匀速圆周运动，一定有向心加速度，所以不是处于受力平衡状态，故D错误。 故选B。 2．（2025年高考浙江卷（6月）物理真题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到的冲击力，就会有生命危险。设有一质量为的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、下沿距离为，要产生的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（　　） A．5层 B．8层 C．17层 D．27层 【答案】C 【详解】鸡蛋触地后匀减速至静止，位移s=5cm=0.05m。匀减速平均速度为，故撞击时间 根据动量定理 代入数据解得 由自由落体公式 得高度 每层楼高约3m，对应楼层数为层。 故选C。 3．（2026年高考江苏卷物理高考真题（网络收集版））如图所示，水平面内一光滑小球沿正方形线框保持速率不变运行，a、b、c、d分别是各边中点，在拐点处小球所受合力的冲量大小和其动量大小的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据动量定理，小球在拐点处受到合力的冲量等于动量的变化量，即 设小球速率为v，动量大小 正方形相邻边方向垂直，小球拐弯前后速度大小均为v，方向夹角为，因此动量变化量的大小为： 可得 结合几何关系，选项中只有A符合。 故选A。 4.（2026年高考黑吉辽蒙卷物理高考真题（网络收集版））某科研机构设计了模拟月球重力环境的实验塔，简化模型如图所示。在竖直向上的电磁力的驱动下，质量的实验舱由静止开始沿塔身竖直向上做匀加速直线运动，上升时，立即减小电磁力，使实验舱向上做匀减速直线运动。减速过程中，舱内水平台面上的设备所受支持力为其重力的，从而模拟月球重力环境。不计摩擦力与空气阻力，取重力加速度。求上升过程中 (1)实验舱的最大速度； (2)舱内处于模拟的月球重力环境的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）加速阶段，由动能定理有 解得 （2）减速阶段，由动量定理得 解得 5.（2025年高考河北卷物理真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 【答案】(1)0.6m (2)IN = 0.1N·s；vx′ = 0 【详解】（1）小物块在平台做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有a = μg 则小物块从开始运动到离开平台有 小物块从平台飞出后做平抛运动有，x = vxt1 联立解得x = 0.6m （2）物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，则物块弹起至最大高度所用时间和弹起的初速度有，vy2 = gt2 则物块与地面接触的时间Δt = t－t1－t2 = 0.1s 物块与地面接触的过程中根据动量定理，取竖直向上为正，在竖直方向有IN－mgΔt = mvy2－m(－vy1)，vy1 = gt1 解得IN = 0.1N·s 取水平向右为正，在水平方向有， 解得vx′ = －1m/s 但由于vx′减小为0将无相对运动和相对运动的趋势，故vx′ = 0 6.（2026年高考陕晋青宁卷物理高考真题（网络收集版））如图，某游乐场有一条滑道，由两段粗糙程度不同的直道组成，其中段的长度、倾角为段水平且足够长。初始时游客甲乘滑板从点由静止下滑，经过到达点，此后进入段继续滑行。游客甲和滑板的总质量段、段滑道与滑板间的动摩擦因数分别为、，其中。重力加速度取，。游客和滑板整体视为质点，不计空气阻力及在点处的机械能损失。 (1)求AB段滑道与滑板间的动摩擦因数； (2)求AB段甲和滑板的机械能损失及动量变化量的大小； (3)当甲到达点时，游客乙乘同样滑板恰以的速度经过点下滑。求乙到达点时与甲的距离。 【答案】(1) (2)， (3)40m 【详解】（1）当甲从A点滑至B点根据 代入数据可得a=2m/s2 根据牛顿第二定律有 又因为，所以 代入数据联立可得 （2）甲从A点滑至B点损失的机械能等于这个过程中摩擦力做的功，所以有 根据前面小问可知甲下滑的加速度为a=2m/s2；根据运动学公式可得甲到达B点的速度为12m/s 所以AB段动量的变化量为 （3）乙从A滑到B的过程根据运动学公式有 代入数据解得 甲在地面上做匀减速运动，根据牛顿第二定律有 可得 甲到达B点的速度为，在4s内甲没有停止； 在内，甲运动的距离 代入数据解得，即甲乙之间的距离为40m。 二、非弹性碰撞 7．（2025年高考贵州卷物理真题）甲、乙两运动员在光滑水平冰面上进行滑冰训练。以速度运动的甲推一下静止在其正前方的乙，刚分开时，甲、乙的运动方向与的方向相同，且甲的速度为，则刚分开时，甲、乙的动量大小之比为（　　） A．3：1 B．2：1 C．1：2 D．1：3 【答案】C 【详解】根据，设甲的初始动量为，则刚分开时，甲的末动量为，甲的动量变化量大小为 根据动量守恒定律，甲、乙系统总动量守恒，乙与甲动量变化大小相等，乙的初动量为零，则刚分开时，乙的动量大小为，所以甲、乙的动量大小之比为1：2。 故选C。 8．（2026年高考河北卷物理高考真题（网络收集版））如图所示，质量为的木板上放有一个质量为的机器人，木板始终受到水平向右、大小为的恒力作用。初始时木板与机器人一起以的速度沿水平地面向右匀速运动。机器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上提起，后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。取，机器人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求 (1)机器人被提起的内，木板位移的大小。 (2)从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，设木板与地面间的摩擦因数为，则有 解得 机器人被提起时，对木板有 解得 机器人被提起的2s内，木板位移的大小 （2）机器人被放回木板时，木板的速度为 机器人被放回木板后，恒力与地面对木板的摩擦力平衡，机器人和木板组成的系统所受合力为零，则由动量守恒定律有 解得 对机器人，由动能定理可得，摩擦力对机器人所做的功 9.（2025年高考浙江卷（6月）物理真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，,。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 【答案】(1)4m/s (2)0.9J (3)0.2m (4)3N 【详解】（1）滑块从P点到B点由动能定理 解得到达B点的速度 （2）物块滑上传送带后做加速运动直到与传送带共速，摩擦力对其做的功 （3）物块在传送带上加速运动的加速度为 加速到共速时用时间 在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度 （4）从滑块开始进入圆弧槽到到达圆弧槽最高点由水平方向动量守恒和能量关系可知， 联立解得 （另一组，因不合实际舍掉） 对滑块在最高点时由牛顿第二定律 解得F=3N 10.（2025年高考海南卷物理部分真题（1-6,14-18题））某自动包装系统的部分结构简化后如图所示，足够长的传送带固定在竖直平面内，半径为，圆心角的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A从圆弧顶点无初速度下滑，在平台上滑入静止的空箱B并与其瞬间粘连成一个整体，随后一起滑上传送带，与传送带共速后进入下一道工序。已知工件A质量为，空箱B的质量为，A、B及粘连成的整体均可视为质点，整体与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中因摩擦产生的热量，忽略轨道及平台的摩擦，，重力加速度。求： (1)工件A滑到圆弧轨道最低点时受到的支持力； (2)工件A与空箱B在整个碰撞过程中损失的机械能； (3)传送带的速度大小。 【答案】(1)，方向竖直向上； (2) (3)或 【详解】（1）工件A从开始到滑到圆弧轨道最低点间，根据机械能守恒 解得 在最低点根据牛顿第二定律 解得，方向竖直向上； （2）根据题意工件A滑入空箱B后粘连成一个整体，根据动量守恒 解得 故A与B整个碰撞过程中损失的机械能为 （3）第一种情况，当传送带速度小于时，AB粘连成的整体滑上传送带后先减速后匀速运动，设AB与传送带间的动摩擦因数为，对AB根据牛顿第二定律 设经过时间后AB与传送带共速，可得 该段时间内AB运动的位移为 传送带运动的位移为 故可得 联立解得，另一解大于舍去； 第二种情况，当传送带速度大于时，AB滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时间后AB与传送带共速，同理可得 该段时间内AB运动的位移为 传送带运动的位移为 故可得 解得，另一解小于舍去。 11.（2024年高考天津卷物理真题（缺1、2、5题））如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于轨道最低点的小球A施加水平向左的瞬时冲量I，A沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B正碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R = 0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求： (1)与B碰前瞬间A的速度大小； (2)A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小。 【答案】(1)4 m/s (2)11.2 N 【详解】（1）根据题意，设小球A从最低点开始运动时的速度为v0，由动量定理有 设与B碰前瞬间A的速度大小v，从最低点到最高点，由动能定理有 联立代入数据解得 （2）A与用轻绳悬挂的静止小球B正碰并粘在一起，由动量守恒定律有 设A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小为F，由牛顿第二定律有 联立代入数据解得 12.（2025年高考天津卷物理真题）如图所示，半径为R = 0.45m的四分之一圆轨道AB竖直固定放置，与水平桌面在B点平滑连接。质量为m = 0.12kg的玩具小车从A点由静止释放，运动到桌面上C点时与质量为M = 0.18kg的静置物块发生碰撞并粘在一起，形成的组合体匀减速滑行x = 0.20m至D点停止。A点至C点光滑，小车和物块碰撞时间极短，小车、物块及组合体均视为质点，g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小车运动至圆轨道B点时所受支持力FN的大小； (2)小车与物块碰撞后瞬间组合体速度v的大小； (3)组合体与水平桌面CD间的动摩擦因数μ的值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小车运动至圆轨道B点时的速度大小为，由机械能守恒定律，有 由牛顿第二定律，有 代入数据，联立解得 （2）小车与物块在C点碰撞，在水平方向由动量守恒，有 代入数据，联立解得 （3）组合体水平方向受动摩擦力作用，从C点匀减速运动至D点静止，由动能定理，有 代入数据，联立解得 三、弹性碰撞 13．（2026年高考贵州卷物理高考真题（网络收集版））如图，完全相同的均质小球A、B被不可伸长的细线悬挂，静止在同一竖直平面内，相互接触无挤压，悬挂点到球心的距离分别为和，A被拉至与竖直方向成的位置并由静止释放，随后与B发生弹性正碰。忽略空气阻力，B的球心上升的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设A、B小球的质量均为，忽略空气阻力，则A从静止释放至与B发生碰撞前瞬间，由动能定理可得 A球与B球碰撞过程中，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有， 可得 由于 所以从碰撞后至下次碰撞前，B做圆周运动，设B的球心上升的最大高度为h，则对B从碰后至上升到最大高度的过程，由动能定理可得 解得 故选A。 14．（2025年高考甘肃卷物理13、15试题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，小球A和B碰撞过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上A球的竖直速度不变，设碰撞后A球水平速度为，B球水平速度为，则有 碰撞为完全弹性碰撞，则由能量守恒定律有 联立解得， 小球A在竖直方向上做匀加速直线运动，则有 解得 可知，碰撞后，小球A运动落地，则水平方向上有 解得 故选B。 15．（2026年高考湖北卷物理高考真题（网络收集版））在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为的足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为、。质量为的小物块甲放置在左侧倾斜轨道上高处、质量为的小物块乙静止在水平轨道上，乙到、两点的距离均为。现静止释放甲，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为，不计空气阻力。 (1)求甲第一次到达点时的速度大小。 (2)求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。 (3)若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求满足的关系式（不求具体数值）。 【答案】(1) (2) (3)当0＜k≤1时，k3+3k2+35k﹣31＞0 当1＜k＜3时，3k3+k2+25k﹣37＜0 当k＞3时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0 【详解】（1）甲下滑过程轨道光滑，由动能定理 解得 （2）第一次碰撞为弹性正碰，设碰后甲速度为，乙速度为，取向右为正方向，由动量守恒和机械能守恒， 解得乙弹性碰撞后速度 ​​对乙由动量定理，合外力冲量等于乙动量变化 代入，​得​​​ （3）​碰后甲的速度，乙的速度；要使第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，需对k的取值进行分情况讨论： ①当0＜k≤1时，碰后甲、乙均向右运动且v2＞v1≥0，乙先滑上右侧斜面，往返后在水平轨道与甲相遇，设从碰后到相遇经过的总时间为t，根据位移关系有 解得 需满足在甲到达B点前相遇，即，代入速度化简得k3+3k2+35k﹣31＞0 ②当k＞1时，碰后甲向左、乙向右运动；若1＜k＜3，则v2＞|v1|，乙先滑上右侧斜面往返后向左追上甲，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有 解得 需满足在甲到达A点前追及，即，化简得3k3+k2+25k﹣37＜0 若k＞3，则|v1|＞v2，甲先滑上左侧斜面往返后向右追上乙，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有 解得 需满足在乙到达B点前追及，即，化简得k3﹣21k2+19k﹣23＞0 综上所述，k满足的关系式为 当0＜k≤1时，k3+3k2+35k﹣31＞0 当1＜k＜3时，3k3+k2+25k﹣37＜0 当k＞3时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0 16．（2026年高考江苏卷物理高考真题（网络收集版））如图所示，在光滑水平面上固定两个柱形光滑轨道，轨道上分别约束着只能沿轨道方向运动的两个小球B和C，质量均为。小球B和C通过弹性限度足够大的相同轻质弹簧与质量为的小球A相连。初始时，两弹簧均处于原长。现有一质量为的小球D以速度沿轨道方向与小球A发生对心弹性碰撞，碰撞时间极短，不计空气阻力。 (1)求小球D与A碰撞后瞬间小球A的速度大小； (2)若发生碰撞后小球D不再与A碰撞，求每根弹簧所具有的最大弹性势能； (3)要使弹簧第一次恢复原长时，小球D与A恰好再次发生碰撞，求的值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，小球D与小球A发生弹性正碰，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 联立解得， （2）根据题意可知，小球A、B、C共速时，弹簧的形变量最大，弹簧弹性势能最大，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得 （3）根据题意，设小球D与小球A发生弹性正碰后到弹簧再次恢复原长的时间为，由动量守恒定律有 两边同时乘以并求和可得 要使弹簧恢复原长时，m与M能再次发生碰撞，则有 整理可得 解得 即球质量m和大球质量M的质量比。 17.（2026年高考河南卷物理高考真题（网络收集版））如图，水平地面上的球壳内下端有一小球，球壳的直径D = 0.25m，上端距天花板的距离为h = 6m。现以v0 = 11m/s的初速度把球壳连同小球一起竖直向上抛出，球壳与天花板碰撞后经过Δt = 0.1s，小球与球壳发生第1次碰撞。所有的碰撞均为弹性碰撞、时间极短，不计球壳厚度和空气阻力，重力加速度大小取g = 10m/s2。 (1)求小球的直径； (2)求小球与球壳第1次碰撞后瞬间两者速度差的大小，及它们前两次碰撞的时间间隔； (3)若小球与球壳第8次碰撞前瞬间球壳的速度大小为v1 = 6m/s，求球壳首次碰地时的速度大小。 【答案】(1)0.05m (2)2m/s，0.1s (3) 【详解】（1）从抛出至球壳与天花板相碰，小球和球壳一起做竖直上抛运动，末速度大小设为，根据速度位移关系式 解得 球壳与天花板发生弹性碰撞后以原速率反弹，然后向下做匀加速直线运动，小球继续上升，设小球直径为d，从球壳与天花板碰撞后到小球与球壳第1次碰撞，小球与球壳的位移大小之和为D－d，则 解得 （2）设球壳质量为M，小球质量为m，球壳与小球发生第1次碰撞前速度分别为、，以竖直向下为正方向，则 球壳与小球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为、 由动量守恒定律 由机械能守恒定律 碰后速度差的大小 拓展：发生弹性碰撞，恢复系数 第1次碰撞后，球壳与小球均做加速度向下、大小为g的匀变速直线运动，设两次碰撞时间间隔为，两者的相对速度大小始终为，两者的相对位移大小为，有 解得 （3）取向下为正，第一次碰前：壳速，球速 弹性碰撞，每次碰撞后相对速度大小恒为，时间间隔 设每次碰撞壳速改变量为（碰前壳快时减速，球快时加速），大小 从第1次碰前到第8次碰前，经历7次碰撞和7个0.1s的重力加速（每次加1m/s） 递推球壳碰前速度 ①碰前：2 ②碰前： ③碰前： ④碰前： ⑤碰前：6 ⑥碰前： ⑦碰前：8 ⑧碰前： 已知⑧碰前壳速为6m/s，故 解得 由 得 则可推导出所有速度如表所示（速度均为m/s，＋向上，－向下） 碰撞序号 时刻 碰前壳速 碰前球速 碰后壳速 碰后球速 天花板碰 0 — — －1 ＋1 ① 0.1 －2 0 ＋1 －1 ② 0.2 0 －2 －3 －1 ③ 0.3 －4 －2 －1 －3 ④ 0.4 －2 －4 －5 －3 ⑤ 0.5 －6 －4 －3 －5 ⑥ 0.6 －4 －6 －7 －5 ⑦ 0.7 －8 －6 －5 －7 ⑧ 0.8 －6 －8 －9 －7 ⑨ 0.9 －10 －8 －7 －9 ⑩ 1.0 －8 －10 －11 －9 ⑪ 1.1 －12 －10 －9 －11 利用上表壳速，每段0.1s匀变速，位移，逐段累加球壳位置： 时段 壳初速 位移 累加位置y 0→0.1s －1 －0.15 5.975 0.1→0.2s ＋1 ＋0.05 6.025 0.2→0.3s －3 －0.35 5.675 0.3→0.4s －1 －0.15 5.525 0.4→0.5s －5 －0.55 4.975 0.5→0.6s －3 －0.35 4.625 0.6→0.7s －7 －0.75 3.875 0.7→0.8s －5 －0.55 3.325 0.8→0.9s －9 －0.95 2.375 0.9→1.0s －7 －0.75 1.625 1.0→1.1s －11 －1.15 0.475 （第⑪次碰前）球壳质心位于。 此时碰撞后壳速变为（见上表⑪碰后），随后匀加速下降至触地（质心触地高度），下落距离 由运动学公式可知 则触地速度大小为 四、几类模型问题 18.（弹簧问题）（多选）（2025年高考福建卷物理真题）如图，物块A、B用轻弹簧连接并放置于水平传送带上，传送带以1m/s的恒定速率顺时针转动。t=0时，A的速度大小为2m/s，方向水平向右，B的速度为0，弹簧处于原长，t=t1时（t1为未知量），A第一次与传送带共速，弹簧弹性势能0.75J。已知A、B可视为质点，质量分别为1kg、2kg，与传送带的动摩擦因数为0.5、0.25；A与传送带相对滑动时会留下痕迹，重力加速度大小取，A、B始终在传送带上，弹簧始终在弹性限度内，则（　　） A．在t=时，A的加速度大小比B的小 B．t=t1时，B的速度大小为0.5m/s C．t=t1时，弹簧的压缩量为0.2m D．0﹣t1过程中，A在传送带上留下的划痕长度小于0.05m 【答案】BD 【详解】AB．根据题意可知传送带对AB的滑动摩擦力大小相等都为 初始时A向右减速，B向右加速，故可知在A与传送带第一次共速前，AB整体所受合外力为零，系统动量守恒有， 代入数值解得t=t1时，B的速度为 在A与传送带第一次共速前，对任意时刻对AB根据牛顿第二定律有， 由于，故可知 故A错误，B正确； C．在时间内，设AB向右的位移分别为，，由功能关系有 解得 故弹簧的压缩量为 故C错误； D．A与传送带的相对位移为 B与传送带的相对为 故可得 由于时间内A向右做加速度逐渐增大的减速运动，B向右做加速度逐渐增大的加速运动，且满足，作出AB的图像 可知等于图形的面积，等于图形的面积，故可得 结合 可知，故D正确。 故选BD。 19.（板块问题）（2026年高考黑吉辽蒙卷物理高考真题（网络收集版））如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 (1)求碰撞后瞬间木板的速度大小。 (2)弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）C下摆过程，由机械能守恒定律有 解得 C与A碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 联立解得碰撞后瞬间木板的速度大小 （2）A、C碰后，当弹簧的压缩量第一次为时，以向左为正方向，由动量守恒定律有 解得 由题意可知弹簧的弹性势能不变，由能量守恒定律有 解得 20.（爆炸问题）（2025年高考北京卷物理真题）某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成两部分，质量分别为和m，其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)该物体抛出时的初速度大小； (2)炸裂后瞬间B的速度大小； (3)落地点之间的距离d。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物体竖直上抛至最高点时速度为0，由运动学公式 可得 （2）爆炸瞬间水平方向动量守恒，爆炸前总动量为0。A速度为v，设B速度为vB，由动量守恒定律得 解得 即大小为2v （3）根据竖直上抛运动的对称性可知下落时间与上升时间相等为t，则A的水平位移 B的水平位移 所以落地点A、B之间的距离 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题九 动量守恒定律 知识点 一、动量 1.定义：质量和速度的乘积mv定义为物体的动量，用字母p表示。 2.表达式：p＝mv。 3.单位：千克米每秒，符号是kg·m/s。 4.方向：动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。 二、对动量的理解 (1)瞬时性：通常说物体的动量是物体在某一时刻或某一位置的动量，动量的大小可用p＝mv表示。 (2)矢量性：动量的方向与物体的瞬时速度的方向相同。 (3)相对性：因物体的速度与参考系的选取有关，故物体的动量也与参考系的选取有关。 三、动量的变化量 (1)表达式Δp＝p2－p1，该式为矢量式，运算遵循平行四边形定则，当p2、p1在同一条直线上时，可规定正方向，将矢量运算转化为代数运算。 (2)方向：与速度变化量的方向相同。 1.定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量，用字母I表示。 2.公式：I＝FΔt。 3.单位：牛秒，符号：N·s。 4.矢量性：方向与力的方向相同。 5.物理意义：反映了力的作用对时间的累积效应。 四、对两个物体的碰撞过程进行理论分析 如图所示，在光滑水平桌面上做匀速运动的两个物体A、B，质量分别是m1和m2，沿同一直线向同一方向运动，速度分别是v1和v2且v2＞v1。当B追上A时发生碰撞。碰撞后速度分别是v1′和v2′。在碰撞过程中，A受到的作用力是F1，B受到的作用力是F2，利用动量定理对两物体进行分析： 对A：F1Δt＝m1v1′－m1v1 对B：F2Δt＝m2v2′－m2v2 根据牛顿第三定律F1＝－F2 得m1v1′－m1v1＝－(m2v2′－m2v2) m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2 结论：两个物体碰撞后的动量之和等于碰撞前的动量之和。 五、碰撞的分类 (1)弹性碰撞：系统动量守恒，机械能守恒。 (2)非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能。 (3)完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大。 六、实例分析 (1)推导 在光滑水平面上质量为m1的小球以速度v1与质量为m2的静止小球发生弹性正碰，如图所示。 碰撞过程中，动量守恒，总动能没有损失，得 m1v1′＋m2v2′＝m1v1 m1v1′2＋m2v2′2＝m1v 碰后两个物体的速度分别为 v1′＝v1，v2′＝v1 (2)结论 ①若m1＝m2，则有v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后两球速度互换。 ②若m1>m2，v1′和v2′都是正值，表示v1′和v2′都与v1方向相同。 若m1≫m2，这时有m1－m2≈m1，m1＋m2≈m1，得v1′＝v1，v2′＝2v1，表示第一个球的速度几乎不变，第二个球以2v1的速度被撞出去。 ③若m1＜m2，v1′为负值，表示v1′与v1方向相反，第一个球被弹回。 若m1≪m2，这时有m1－m2≈－m2，≈0，得v1′＝－v1，v2′＝0，表示第一个球反向以原速率弹回，而第二个球仍静止。 七、常见模型处理 模型一　“弹簧—小球”模型 1.对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒的条件。 2.整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 3.注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大。 4.弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大。 模型二　“滑块—曲(斜)面类”模型 模型解读：如图所示，质量为M的曲面滑块静止在光滑水平面上，曲面滑块的光滑弧面底部与桌面相切。一个质量为m的小球以速度v0向弧面滚来，若小球不能越过弧面，则小球到达最高点时(即小球竖直方向上的速度为零)，两物体的速度肯定相等(方向为水平向右)。 　　　　　 模型三　“子弹打木块”模型 1.模型特点 (1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒。 (2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。 2.两种类型 (1)子弹留在木块中(未穿出) ①动量守恒：mv0＝(m＋M)v ②机械能损失(摩擦生热) Q热＝Ffd＝mv－(m＋M)v2 其中d为子弹射入木块的深度。 (2)子弹穿出木块 ①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 ②机械能的损失(摩擦生热) Q热＝FfL＝mv－mv－Mv 其中L为木块的长度，注意d≤L。 模型四　“滑块—木块”模型 1.把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。 2.由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ffs相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。 3.注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多。 1、 动量、动量定理 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）“2026年美加墨世界杯”于2026年6月11日至7月19日在美国，加拿大与墨西哥三国联合举办，是历史上首次由三个国家共同承办，也是北美洲第四次举办该项赛事。关于足球运动，下列说法正确的是（     ） A．在研究香蕉球和电梯球的形成原因时，足球都可以被看成质点 B．足球在草坪上运动时，在阻力作用下足球运动速度逐渐变小，说明力是改变物体运动状态的原因 C．守门员用双手将足球以原速率扑出的过程，足球的动量、动能均保持不变 D．罚点球过程中，运动员对足球的弹力越大，足球的动量变化越大 2．（2026·福建南平·二模）如图为茶水从茶壶中倒出的情景，若不考虑空气阻力，某一小段水柱在下落过程中（　　） A．动量不变 B．速度变化率保持不变 C．相同时间内下降的高度相等 D．若遇到水平方向的风力，下落时间变长 3．（2026·湖南岳阳·三模）物体在外力作用下从静止开始做直线运动，合力F随时间t变化的图像如图所示。关于0~6s内物体的运动，下列说法正确的是（　　 ） A．0~6s内物体做匀变速运动 B．t=6s时物体回到出发点 C．t=2s与t=6s时物体的速度相同 D．t=6s时物体的速度最大 4．（2026·湖南长沙·三模）完全相同的甲、乙两物体静止在水平地面上，分别同时受到大小相同的拉力和，方向均与水平方向成角，如图所示，甲做匀加速直线运动，乙保持静止。经过时间后同时撤掉，和。再经时间，甲刚好停止。在时间内，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．两物体所受拉力和的冲量相同 B．两物体所受摩擦力的冲量相同 C．甲物体所受合力的冲量大于乙物体所受合力的冲量 D．甲物体在时间内通过的位移大于时间内通过的位移 5．（2026·福建泉州·模拟预测）某同学练习排球垫球时，排球每次都在同一位置与手臂接触、分离，排球每次竖直上升后又落回原位置。已知排球质量，每次垫球时排球与手臂接触时间为，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)排球离开手臂后在空中的飞行时间； (2)排球每次与手臂作用过程的动量变化量大小； (3)排球与手臂平均作用力的大小。 2、 非弹性碰撞 1．（2026·广东肇庆·模拟预测）A、B两球沿一直线运动并发生正碰，如图所示为两球碰撞前、后的位移随时间变化的图像，a、b分别为A、B两球碰前的位移随时间变化的图像，c为碰撞后两球共同运动的位移随时间变化的图像，若A球质量是m = 2kg，则由图判断下列结论正确的是（   ） A．碰撞前、后A球的动量变化量为4kg·m/s B．碰撞时A球对B球所施的冲量为4N·s C．A、B两球碰撞前的总动量为3kg·m/s D．碰撞中A、B两球组成的系统损失的动能为20J 2．（2026·河北沧州·三模）如图所示，在光滑水平面上，小球A的质量为，小球B的质量为。现给A一个初速度，使其与静止的B发生正碰。碰撞后，B小球冲上一个半径为R=0.8m的光滑竖直圆管轨道（轨道由一个四分之一圆管连接一个半圆管再接一个四分之一圆管组成，圆管内径远小于R）。竖直轨道固定在平板车上，平板车开始时是锁定的，其左端紧挨水平面，平板车上表面与光滑水平面平齐，已知小球B运动至轨道最高点C时，对下侧壁的压力为2.5N。重力加速度 (1)求碰撞后瞬间A、B各自的速度大小； (2)判断A、B碰撞过程中机械能是否有损失，若有，则计算损失的能量； (3)若解除锁定的平板车，且平板车可以在车轮所在水平面上无摩擦运动。小车（含其上固定的轨道）的质量为M。其他条件不变，小球A、B碰撞后，为保证小球B能从圆管轨道右侧滑出，求M需要满足的条件。 3.（2026·天津滨海新区·模拟预测）如图所示，质量为的物体由静止从光滑的圆轨道上滑下，在圆轨道的底端，与静止的物体相碰，的质量为，碰后和立即粘在一起，并在水平面上继续滑行了停下。已知圆轨道的半径为。求： (1)碰撞前滑块在圆轨道最低点对轨道的压力大小 (2)碰撞过程中损失的动能； (3)物体与水平面之间的动摩擦因数。（取） 4.（2026·河南新乡·模拟预测）直轨道与竖直半圆轨道平滑连接，滑块静止于直轨道，滑块以的速度水平向右运动，与滑块碰后粘在一起，碰撞时间极短，两滑块都可看作质点，，半圆轨道的半径，取重力加速度大小，不计一切阻力，求： (1)碰后瞬间，滑块的速度大小； (2)滑块运动到半圆轨道顶点时对轨道的压力大小； (3)滑块在直轨道上的落点与半圆圆心间的距离。 5．（2026·安徽合肥·三模）如图所示，水平面上放有小球A、B和半圆形轨道C，两小球的质量均为m，可看作质点。轨道质量未知，圆弧面的半径为R，与水平面平滑连接。小球A以某一速度向右运动并与静止的小球B发生正碰，碰后两球的相对速度与碰前相对速度之比为0.5。所有接触面均光滑，重力加速度为g。 (1)求小球A、B碰撞后的速度大小之比； (2)若轨道C固定，小球B进入轨道后，在与圆心等高的D点时对轨道的压力为2mg，求小球B脱离轨道的位置距水平面的高度； (3)若轨道C不固定，小球B仍以（2）问中的速度进入轨道，最终能到达的最高点为D，求轨道C的质量。 6.（2026·河北保定·三模）碰撞测试过程中，质量 的物块A在水平地面上以大小的速度，与质量 处于静止状态的物块B发生正碰，碰撞时间极短，碰后两物块粘在一起形成连接体C，C沿水平地面滑行一段距离后冲上倾角的斜坡，沿斜坡向上运动的最大距离s=0.45m。水平地面与斜坡平滑连接，C与水平地面、斜坡间的动摩擦因数均为设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g，，求： (1)C第一次到达斜坡底端时的速度大小； (2)A、B碰撞过程中损失的机械能； (3)C在水平地面上运动的总距离L。 3、 弹性碰撞 1．（2026·河北·三模）如图所示，竖直平面内，光滑水平轨道BC与光滑圆弧轨道CD相切于C点，圆弧轨道的半径为0.8 m、圆心为O，∠COD＝90°。质量的小球甲以水平向右、大小为5 m/s的速度撞向静止在BC上的小球乙，两球（均可视为质点）发生弹性碰撞且碰撞时间极短。取重力加速度大小。已知碰撞后小球乙恰好运动至D点，则小球乙的质量为（     ） A．2 kg B． C．4.5 kg D． 2.（2026·山西忻州·模拟预测）如图所示，光滑水平面上固定质量为、倾角为的斜面，在斜面右侧有个质量均为的物块，质量为的滑块从光滑斜面顶端由静止释放。已知，取。 (1)求滑块到达斜面底端时的速度大小。 (2)斜面底端有一小圆弧，使斜面和地面平滑连接。 ①若所有的碰撞均为完全非弹性碰撞，求第1个物块的最终速度大小。 ②若所有的碰撞均为弹性碰撞，求第1个物块的最终速度大小。 3．（2026·广西桂林·三模）如图所示，半径为，圆心角的光滑圆弧轨道与光滑水平轨道平滑连接，水平轨道与以速度顺时针匀速转动的倾斜传送带平滑连接，传送带与水平方向夹角，传送带的上端与水平平台连接。滑块A从圆弧顶点无初速度下滑，与静止在水平轨道最右端的滑块B发生弹性碰撞，然后滑上传送带，被传送带运送到水平平台上。倾斜传送带上下两端的距离，滑块A、B与传送带的动摩擦因数均为，滑块A的质量，滑块B的质量，重力加速度。求： (1)滑块A滑到圆弧轨道最低点时对轨道的压力； (2)若传送带由电动机带动，由于运送滑块A、B电动机多消耗的电能。 4．（2026·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，半径的光滑圆弧轨道的底端与水面相切，轨道上端点P和圆心O的连线与水平面成角。将质量的小物块A以速度向左水平抛出，恰好从P点沿切线进入圆弧轨道，当A运动到圆弧轨道的底端时，与静止在该处的小物块B发生弹性碰撞，碰后A返回圆弧轨道，恰好能上升到与圆心等高的Q点。重力加速度取，，。求： (1)小物块A抛出点离地面的高度； (2)小物块A通过P时对轨道的压力大小； (3)小物块B的质量。 四、几类模型问题 1.（滑块—曲(斜)面类）（2026·天津南开·二模）如图所示，质量为2m的物块P静止在光滑水平地面上，其右侧表面是半径为R的光滑圆弧轨道，圆弧轨道下端与水平地面相切。物块P右侧静止有质量为m的球b，球b左侧固定有轻弹簧。将质量为m的球a从圆弧轨道最上端静止释放，球a离开物块P后与轻弹簧左侧接触并粘连。已知重力加速度为g，弹簧的形变始终在弹性限度内。求： (1)若物块P固定，整个运动过程中弹簧的最大弹性势能Ep； (2)若物块P不固定，球a离开物块P瞬间速度va的大小，及球b能达到的最大速度vb的大小。 2.（板块模型）（2026·吉林松原·模拟预测）如图甲所示，光滑的水平地面上静置一长木板，木板的左端有一个可视为质点的滑块。现给滑块一水平向右的初速度v0，此后滑块和木板的动能随各自位移变化的图像如图乙所示，最终滑块恰停在木板的右端。求 (1)滑块与木板的质量之比 (2)滑块与木板间的滑动摩擦力大小 (3)木板的长度 3．（板块模型）（2026·湖南·模拟预测）如图所示，A、B两块木板靠在一起并固定在水平面上，A、B的质量均为未知，B木板长度是A木板长度的3倍。将一个可视为质点、质量的小滑块C以的速度冲上A木板的左端，之后恰好不冲出B木板，小滑块C与A、B木板间的动摩擦因数均为，重力加速度g取。求： (1)板的长度L； (2)若解除A、B板的固定，且水平面是光滑的，要使小滑块C能冲上B木板，M应满足什么条件； (3)若（2）中，，小滑块C相对A、B木板运动的全过程中产生的热量。 4.（滑块—曲(斜)面类）（2026·河北秦皇岛·二模）如图所示，装置的左侧是固定在水平面上有半径为2R的四分之一圆弧的光滑曲面体，装置的右侧是没有固定放在光滑水平面上有半径为R的四分之一圆弧的光滑曲面体，其质量为3m，现将质量为m的滑块从A点由静止释放，经过一段时间后滑块冲上右侧光滑曲面体，重力加速度为g，滑块可视为质点。 (1)滑块从右侧的曲面体的顶端滑离后还能上升多高？ (2)滑块在右侧的曲面体上第一次滑至离水平面高度为时，光滑曲面体的速度多大？ (3)若滑块从右侧的曲面体的底端滑至顶端的时间为，滑块从右侧的曲面体的顶端滑至底端的时间为，滑块从右侧的曲面体的底端开始到再次回到底端的过程中曲面体向右运动的距离为多大？ 5．（弹簧问题）（2026·辽宁朝阳·模拟预测）工厂里有一套物料分拣装置，弧形储料槽为半径R0=10m的光滑圆弧，储料槽左侧斜面固定一原长位于A点的弹簧，A点高度h0=0.05m，工件经光滑槽AB段输送到长度为L=0.2m、顺时针转动的水平传送带上，圆弧槽与传送带平滑连接，经传送带工件被送至长度s=0.2m的粗糙水平面CD段，D点右侧的光滑水平面上放置质量M=0.6kg的缓冲木块，其光滑圆弧面EF为半径R=0.2m的四分之一圆周，现将m=0.2kg的工件从A点自由释放，发现工件恰好在传送带上未留下滑痕。工件与传送带及CD段之间的动摩擦因数均为=0.5，工件可视为质点，不计空气阻力，传送带速度保持恒定。（g=10m/s2，π=3.14，cos5°=0.995） (1)求工件经过B点时轨道对工件支持力的大小； (2)求工件从A点出发到停止运动过程中所经历的时间； (3)若压缩弹簧，将工件从A点沿圆弧弹出，已知弹簧的弹性势能全部转化为工件的动能，求工件最终停止的位置。 6．（滑块—曲(斜)面类）（2026·山西太原·一模）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量kg的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，取重力加速度大小，不考虑任何阻力，求： (1)小球的初速度大小及质量m； (2)小球运动到最高点时的速度大小； (3)小球能够上升的最大高度h。 7．（弹簧问题）（2026·四川泸州·一模）如图所示，小球A以水平初速度，从半径的粗糙半圆弧轨道顶端冲入，然后从半圆弧另一端沿水平方向以速度冲出，在光滑水平轨道上通过轻质弹簧与静止的小球B发生相互作用（弹簧与小球B连接）。已知、。忽略空气阻力，A、B球均可视为质点，重力加速度。求： (1)小球从到的过程中阻力做的功； (2)弹簧弹性势能的最大值； (3)在整个相互作用过程中，弹簧对小球A的冲量。 1、 动量、动量定理 1．（2025年高考天津卷物理真题）一种名为“飞椅”的游乐设施如图所示，该设施中钢绳一端系着座椅，另一端系在悬臂边缘。绕竖直轴转动的悬臂带动座椅在水平面内做匀速圆周运动，座椅可视为质点，则某座椅运动一周的过程中（　　） A．动量保持不变 B．所受合外力做功为零 C．所受重力的冲量为零 D．始终处于受力平衡状态 2．（2025年高考浙江卷（6月）物理真题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到的冲击力，就会有生命危险。设有一质量为的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、下沿距离为，要产生的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（　　） A．5层 B．8层 C．17层 D．27层 3．（2026年高考江苏卷物理高考真题（网络收集版））如图所示，水平面内一光滑小球沿正方形线框保持速率不变运行，a、b、c、d分别是各边中点，在拐点处小球所受合力的冲量大小和其动量大小的比值是（     ） A． B． C． D． 4.（2026年高考黑吉辽蒙卷物理高考真题（网络收集版））某科研机构设计了模拟月球重力环境的实验塔，简化模型如图所示。在竖直向上的电磁力的驱动下，质量的实验舱由静止开始沿塔身竖直向上做匀加速直线运动，上升时，立即减小电磁力，使实验舱向上做匀减速直线运动。减速过程中，舱内水平台面上的设备所受支持力为其重力的，从而模拟月球重力环境。不计摩擦力与空气阻力，取重力加速度。求上升过程中 (1)实验舱的最大速度； (2)舱内处于模拟的月球重力环境的时间。 5.（2025年高考河北卷物理真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 6.（2026年高考陕晋青宁卷物理高考真题（网络收集版））如图，某游乐场有一条滑道，由两段粗糙程度不同的直道组成，其中段的长度、倾角为段水平且足够长。初始时游客甲乘滑板从点由静止下滑，经过到达点，此后进入段继续滑行。游客甲和滑板的总质量段、段滑道与滑板间的动摩擦因数分别为、，其中。重力加速度取，。游客和滑板整体视为质点，不计空气阻力及在点处的机械能损失。 (1)求AB段滑道与滑板间的动摩擦因数； (2)求AB段甲和滑板的机械能损失及动量变化量的大小； (3)当甲到达点时，游客乙乘同样滑板恰以的速度经过点下滑。求乙到达点时与甲的距离。 二、非弹性碰撞 7．（2025年高考贵州卷物理真题）甲、乙两运动员在光滑水平冰面上进行滑冰训练。以速度运动的甲推一下静止在其正前方的乙，刚分开时，甲、乙的运动方向与的方向相同，且甲的速度为，则刚分开时，甲、乙的动量大小之比为（　　） A．3：1 B．2：1 C．1：2 D．1：3 8．（2026年高考河北卷物理高考真题（网络收集版））如图所示，质量为的木板上放有一个质量为的机器人，木板始终受到水平向右、大小为的恒力作用。初始时木板与机器人一起以的速度沿水平地面向右匀速运动。机器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上提起，后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。取，机器人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求 (1)机器人被提起的内，木板位移的大小。 (2)从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。 9.（2025年高考浙江卷（6月）物理真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，,。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 10.（2025年高考海南卷物理部分真题（1-6,14-18题））某自动包装系统的部分结构简化后如图所示，足够长的传送带固定在竖直平面内，半径为，圆心角的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A从圆弧顶点无初速度下滑，在平台上滑入静止的空箱B并与其瞬间粘连成一个整体，随后一起滑上传送带，与传送带共速后进入下一道工序。已知工件A质量为，空箱B的质量为，A、B及粘连成的整体均可视为质点，整体与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中因摩擦产生的热量，忽略轨道及平台的摩擦，，重力加速度。求： (1)工件A滑到圆弧轨道最低点时受到的支持力； (2)工件A与空箱B在整个碰撞过程中损失的机械能； (3)传送带的速度大小。 11.（2024年高考天津卷物理真题（缺1、2、5题））如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于轨道最低点的小球A施加水平向左的瞬时冲量I，A沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B正碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R = 0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求： (1)与B碰前瞬间A的速度大小； (2)A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小。 12.（2025年高考天津卷物理真题）如图所示，半径为R = 0.45m的四分之一圆轨道AB竖直固定放置，与水平桌面在B点平滑连接。质量为m = 0.12kg的玩具小车从A点由静止释放，运动到桌面上C点时与质量为M = 0.18kg的静置物块发生碰撞并粘在一起，形成的组合体匀减速滑行x = 0.20m至D点停止。A点至C点光滑，小车和物块碰撞时间极短，小车、物块及组合体均视为质点，g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小车运动至圆轨道B点时所受支持力FN的大小； (2)小车与物块碰撞后瞬间组合体速度v的大小； (3)组合体与水平桌面CD间的动摩擦因数μ的值。 三、弹性碰撞 13．（2026年高考贵州卷物理高考真题（网络收集版））如图，完全相同的均质小球A、B被不可伸长的细线悬挂，静止在同一竖直平面内，相互接触无挤压，悬挂点到球心的距离分别为和，A被拉至与竖直方向成的位置并由静止释放，随后与B发生弹性正碰。忽略空气阻力，B的球心上升的最大高度为（     ） A． B． C． D． 14．（2025年高考甘肃卷物理13、15试题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 15．（2026年高考湖北卷物理高考真题（网络收集版））在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为的足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为、。质量为的小物块甲放置在左侧倾斜轨道上高处、质量为的小物块乙静止在水平轨道上，乙到、两点的距离均为。现静止释放甲，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为，不计空气阻力。 (1)求甲第一次到达点时的速度大小。 (2)求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。 (3)若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求满足的关系式（不求具体数值）。 16．（2026年高考江苏卷物理高考真题（网络收集版））如图所示，在光滑水平面上固定两个柱形光滑轨道，轨道上分别约束着只能沿轨道方向运动的两个小球B和C，质量均为。小球B和C通过弹性限度足够大的相同轻质弹簧与质量为的小球A相连。初始时，两弹簧均处于原长。现有一质量为的小球D以速度沿轨道方向与小球A发生对心弹性碰撞，碰撞时间极短，不计空气阻力。 (1)求小球D与A碰撞后瞬间小球A的速度大小； (2)若发生碰撞后小球D不再与A碰撞，求每根弹簧所具有的最大弹性势能； (3)要使弹簧第一次恢复原长时，小球D与A恰好再次发生碰撞，求的值。 17.（2026年高考河南卷物理高考真题（网络收集版））如图，水平地面上的球壳内下端有一小球，球壳的直径D = 0.25m，上端距天花板的距离为h = 6m。现以v0 = 11m/s的初速度把球壳连同小球一起竖直向上抛出，球壳与天花板碰撞后经过Δt = 0.1s，小球与球壳发生第1次碰撞。所有的碰撞均为弹性碰撞、时间极短，不计球壳厚度和空气阻力，重力加速度大小取g = 10m/s2。 (1)求小球的直径； (2)求小球与球壳第1次碰撞后瞬间两者速度差的大小，及它们前两次碰撞的时间间隔； (3)若小球与球壳第8次碰撞前瞬间球壳的速度大小为v1 = 6m/s，求球壳首次碰地时的速度大小。 碰撞序号 时刻 碰前壳速 碰前球速 碰后壳速 碰后球速 天花板碰 0 — — －1 ＋1 ① 0.1 －2 0 ＋1 －1 ② 0.2 0 －2 －3 －1 ③ 0.3 －4 －2 －1 －3 ④ 0.4 －2 －4 －5 －3 ⑤ 0.5 －6 －4 －3 －5 ⑥ 0.6 －4 －6 －7 －5 ⑦ 0.7 －8 －6 －5 －7 ⑧ 0.8 －6 －8 －9 －7 ⑨ 0.9 －10 －8 －7 －9 ⑩ 1.0 －8 －10 －11 －9 ⑪ 1.1 －12 －10 －9 －11 时段 壳初速 位移 累加位置y 0→0.1s －1 －0.15 5.975 0.1→0.2s ＋1 ＋0.05 6.025 0.2→0.3s －3 －0.35 5.675 0.3→0.4s －1 －0.15 5.525 0.4→0.5s －5 －0.55 4.975 0.5→0.6s －3 －0.35 4.625 0.6→0.7s －7 －0.75 3.875 0.7→0.8s －5 －0.55 3.325 0.8→0.9s －9 －0.95 2.375 0.9→1.0s －7 －0.75 1.625 1.0→1.1s －11 －1.15 0.475 四、几类模型问题 18.（弹簧问题）（多选）（2025年高考福建卷物理真题）如图，物块A、B用轻弹簧连接并放置于水平传送带上，传送带以1m/s的恒定速率顺时针转动。t=0时，A的速度大小为2m/s，方向水平向右，B的速度为0，弹簧处于原长，t=t1时（t1为未知量），A第一次与传送带共速，弹簧弹性势能0.75J。已知A、B可视为质点，质量分别为1kg、2kg，与传送带的动摩擦因数为0.5、0.25；A与传送带相对滑动时会留下痕迹，重力加速度大小取，A、B始终在传送带上，弹簧始终在弹性限度内，则（　　） A．在t=时，A的加速度大小比B的小 B．t=t1时，B的速度大小为0.5m/s C．t=t1时，弹簧的压缩量为0.2m D．0﹣t1过程中，A在传送带上留下的划痕长度小于0.05m 19.（板块问题）（2026年高考黑吉辽蒙卷物理高考真题（网络收集版））如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 (1)求碰撞后瞬间木板的速度大小。 (2)弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 20.（爆炸问题）（2025年高考北京卷物理真题）某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成两部分，质量分别为和m，其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)该物体抛出时的初速度大小； (2)炸裂后瞬间B的速度大小； (3)落地点之间的距离d。 学科网（北京）股份有限公司 $