精品解析：吉林省吉林市第五中学2025-2026学年度七年级下学期期末考试数学

吉林市第五中学2025-2026学年度七下期末教学质量检测 数学 数学试题共4页，满分120分，闭卷考试，考试时间为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共6题，共18分） 1. 的值等于（　　） A. 2 B. C. D. 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查全国中学生的视力和用眼卫生情况 B. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 C. 调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 4. 若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 7. 若，则__________． 8. 在平面直角坐标系中，点 P(6－2x，x－5)在第二象限，则 x 的取值范围是_____． 9. 已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为_______． 10. 将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为______． 11. 如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：； 13. 解方程组： 14. 解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_________； （2）解不等式②，得_______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 16. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 17. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 18. 为增强学生网络安全意识，某校举行了网络安全知识竞赛，并从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩不低于60分）分成4组（A：，B：，C：，D：），并根据分析结果绘制了如下尚不完整的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中信息，回答下列问题： （1）随机抽取了 名学生的竞赛成绩进行分析， ； （2）请补全频数分布直方图，扇形的圆心角的度数为 °； （3）若竞赛成绩在分及分以上的学生获奖，该校共有名学生参加竞赛，请你估计获奖的学生大约有多少人？ 19. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且，求的值． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“龙沙点”，求的值： （3）若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“龙沙点” 21. 综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． （1）若，则的度数为 ； （2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； 【延伸拓展】 （3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 22. 活动：二元一次方程的“图象”，在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．二元一次方程的图象是一条直线． （1）根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象； （2）点分别是图象上的点． ①是否为定值？若是，则求出的值；若不是，则说明理由． ②点R在坐标轴上，当时，，求出R的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第五中学2025-2026学年度七下期末教学质量检测 数学 数学试题共4页，满分120分，闭卷考试，考试时间为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共6题，共18分） 1. 的值等于（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知算术平方根的定义． 根据算术平方根的概念分析求解． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第二象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：小手盖住的点在第二象限，其坐标可能是． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查全国中学生的视力和用眼卫生情况 B. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 C. 调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】C 【解析】 【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、调查全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A不符合题意； B、调查超市售卖的草莓农药残留是否超标，最适合采用抽样调查，故B不符合题意； C、调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况，最适合采用全面调查，故C符合题意； D、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合采用抽样调查，故D不符合题意． 4. 若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 5. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 6. 下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键．延长交于点F，直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：如图所示：延长交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 7. 若，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的性质可求出x的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：0 8. 在平面直角坐标系中，点 P(6－2x，x－5)在第二象限，则 x 的取值范围是_____． 【答案】x>5； 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标符号可得不等式组： ，再解不等式组，找出公共解集即可． 【详解】由题意得 解得x>5， 则x 的取值范围是x>5. 【点睛】本题考查点的坐标和解一元二次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键. 9. 已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程得到与的关系式，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 10. 将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质、折叠的性质即可解决． 【详解】解：如图 ∴， 由折叠的性质可得： ∵ ∴ ． 11. 如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以得到，然后根据勾股定理即可求得的长，然后根据、，即可表示出点C表示的数． 【详解】解：点A表示的数为， ， 于点O， 是等腰直角三角形， ， 由题意得，， 数轴上点C表示的数为， 故答案为：． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】先计算算术平方根，立方根，绝对值，再合并即可. 【详解】解： . 13. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组即可. 【详解】解：∵， ∴得：， ∴， 把代入①，得， 解得： ∴方程组的解为． 14. 解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_________； （2）解不等式②，得_______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． （1）解不等式①即可得解； （2）解不等式②即可得解； （3）把解集在数轴上表示出来即可； （4）根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得： 【小问2详解】 解不等式②，得： 【小问3详解】 略 【小问4详解】 由数轴可知：原不等式组的解集为：， 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 【答案】（1），， （2）图见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）先确定平移方式，再根据点坐标的平移变换规律解答即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再顺次连接即可； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点为， ∴平移方式是：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∵把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，且，，， ∴，，， 即，，． 【小问2详解】 解：画出三角形如图所示： ． 【小问3详解】 解：三角形的面积为． 16. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 17. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 【答案】（1）A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； （2）最多能买A型机器人台． 【解析】 【分析】（1）设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元列出方程组即可得到答案； （2）设买A型机器人台，则买B型机器人台，根据总费用不超过1400万元列出不等式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得， 解得， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； 【小问2详解】 解：设买A型机器人台，则买B型机器人台， 由题意得， 解得， 答：最多能买A型机器人台． 18. 为增强学生网络安全意识，某校举行了网络安全知识竞赛，并从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩不低于60分）分成4组（A：，B：，C：，D：），并根据分析结果绘制了如下尚不完整的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中信息，回答下列问题： （1）随机抽取了 名学生的竞赛成绩进行分析， ； （2）请补全频数分布直方图，扇形的圆心角的度数为 °； （3）若竞赛成绩在分及分以上的学生获奖，该校共有名学生参加竞赛，请你估计获奖的学生大约有多少人？ 【答案】（1）200；36 （2）见解析， （3）人 【解析】 【分析】（1）根据等级的频数和所占的百分比，可以求得抽取的人数；再根据B等级的人数求出B等级的百分比可得的值； （2）求出等级的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整，再求扇形统计图的圆心角度数即可； （3）利用乘以、等级人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生的竞赛人数为：人， ， ； 【小问2详解】 解：C等级学生有：人， 补全的频数分布直方图，如图所示： 扇形的圆心角的度数为， 【小问3详解】 解：人， 答：估计获奖的学生大约有人． 19. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】（1）5， （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）确定即可解答； （2）利用估算分别得到，，再代入计算即可； （3）利用估算方法得到即，确定的整数部分是12，小数部分是，由此得到，再计算出的值即可． 【小问1详解】 解：∵，即， ∴的整数部分是5，小数部分是． 【小问2详解】 解：∵，即， ∴的小数部分， ∵，即， ∴的整数部分， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是12，小数部分是， ∵，其中x是整数，且， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“龙沙点”，求的值： （3）若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“龙沙点” 【答案】（1） （2）或 （3）说明见解析 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，“长距”和“龙沙点”的定义，解题的关键是根据“长距”和“龙沙点”的定义，进行解答，即可． （1）根据“长距”的定义，即可； （2）根据“龙沙点”的定义，则，即可求出的值； （3）根据“长距”的定义，先求出的值，再根据“龙沙点”的定义，即可． 【小问1详解】 ∵点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∴点到轴的距离为：；到轴的距离为， ∴点的“长距”为． 故答案为：． 【小问2详解】 ∵点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”， ∴当点是“龙沙点”，， ∴， 当，解得：； 当，解得：； ∴或． 【小问3详解】 ∵点的长距为， ∴， 解得：或； ∵在第二象限内， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴点， ∵， ∴点是“龙沙点”． 21. 综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． （1）若，则的度数为 ； （2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； 【延伸拓展】 （3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 【答案】（1），（2），（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角． （1）过点C作，得到，推出，根据，，即可得到，即可求解； （2）过点C作，同（1）可证，根据邻补角的定义即可求解； （3）①过点C作，则，有，求得，利用即可；②过点A作，与交于点，同理有，利用即可． 【详解】解：（1）如图1，过点C作， ， ， ， ，， ； （2）如图2，过点C作， ， ， ， ， ， ； （3）①如图3，过点C作， ， ， ， ，， ， 则； ②如图，过点A作，直线与交于点， ∵与交于， ∴， ， ， ， ， ， 故的度数为或． 22. 活动：二元一次方程的“图象”，在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．二元一次方程的图象是一条直线． （1）根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象； （2）点分别是图象上的点． ①是否为定值？若是，则求出的值；若不是，则说明理由． ②点R在坐标轴上，当时，，求出R的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）①是定值，值为2．②或或 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数图象与性质，熟练掌握二元一次方程组与一次函数之间的关系是解题的关键， （1）根据一次函数的性质令中的分别等于零，即可画出对应的函数图象； （2）①由于点分别是图象上，代入即可得到和 ；和的关系，从而求出的值，即可判断是否为定值；②当时，，则分两种情况讨论：（i）当点R在x轴上时，（ii）当点R在y轴上时，根据，即可求得答案． 【小问1详解】 解：令中的分别等于零，得到，连接两点即可得到图象； 令中的分别等于零，得到，连接两点即可得到图象，如图所示： 【小问2详解】 解：①把点代入，得：， ∴， 把点代入，得：， ∴， ， 是定值，值为2． ②当时，，， （i）当点R在x轴上时， ，， ， 或， （ii）当点R在y轴上时， ∵，，设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∴直线与y轴的交点为， ， ∴, ∴， 解得：, 或， ∴综上所述，或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $