1.2.2 菱形的判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦菱形的判定，涵盖定义法、四边相等的四边形及对角线互相垂直的平行四边形三种判定方法。通过回顾菱形定义，引导学生从性质逆命题出发探究判定定理，构建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以探究式教学为主线，结合尺规作图、例题解析等培养几何直观与推理意识，如通过勾股定理证明对角线垂直判定菱形。小结用表格与流程图系统梳理，助学生形成结构化认知，既提升学生抽象能力，也为教师提供高效教学资源。

第一章 特殊平行四边形 2 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 1.探索并证明菱形的判定定理. 2.会用菱形的判定定理进行有关的证明和计算. 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想. 学习目标 2 根据菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 矩形的判定： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形。 除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形? A D C B 知识回顾 3 【探究】菱形的判定定理 【思考·交流】 (1)由菱形的性质定理可知,如果一个四边形是菱形,那么它的四条边相等.反过来,四条边相等的四边形一定是菱形吗?为什么?与同伴进行交流. 探究与应用 解：（1）四边相等的四边形是菱形；这个命题成立。 你能尝试证明这些结论吗？ 证明：1.四边相等的四边形是菱形。 探究与应用 【探究】 菱形的判定定理 证明: ∵AB=CD,BC=AD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证:四边形ABCD是菱形. 定理 四边相等的四边形是菱形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， AB = BC = CD = DA， ∴四边形 ABCD是菱形。 几何语言： 菱形的对角线互相垂直. 逆命题:对角线互相垂直的平行四边形为菱形. 这个逆命题成立. 问题 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 你能说明其中的道理吗？ 【探究】菱形的判定定理 因为对角线互相垂直，且平行四边形的对角线互相平分， 可得对角线互相垂直平分， 进而得到一组邻边相等， 根据菱形的定义可判定该平行四边形为菱形. 问题 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 【探究】菱形的判定定理 证明：2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 探究与应用 【探究】 菱形的判定定理 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴直线BD是线段AC的垂直平分线, ∴BA=BC, ∴▱ABCD是菱形.(菱形的定义). 已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD. 求证:▱ABCD是菱形. 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC⊥BD， ∴四边形 ABCD是菱形。 几何语言： 判定方法 图示 符号语言 定义法 边 （定理） 对角线（定理） 四边相等的四边形 是菱形. ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形. B A D C 小结 四条边都 . 对角线互相 . 有一组邻边 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 探究与应用 【尝试·交流】 (1)如图,已知线段a,请用尺规作菱形ABCD,使它的对角线AC=a. 解：作法： ①作线段AC=a,再作AC的垂直平分线EF,交AC于点O; ②在射线OE和OF上分别截取OB=OD; ③连接AB、CB、AD、CD.四边形ABCD即为所求作的菱形。 探究与应用 【尝试·交流】 (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗?如果不唯一,那么你认为添加怎样的条件,就可以使作出的菱形是唯一的?与同伴进行交流. 满足(1)中条件的菱形不唯一,可以添加菱形的适当的边长或另一条对角线的长度,就可以使作出的菱形是唯一的. 【理解应用】 探究与应用 例　已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB=,OA=2,OB=1. 求证:▱ABCD是菱形. 证明:在△AOB中, ∵AB=,OA=2,OB=1, ∴AB2=OA2+OB2. ∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 探究与应用 【拓展提升】 已知:如图,△ABC中,AB=AC,M为底边BC上任意一点,过点M作AC,AB的平行线,交AB于点Q,交AC于点P.当点M位于BC上的什么位置时,四边形AQMP为菱形?并说明理由. 解：点M位于BC的中点时，四边形AQMP是菱形． 理由：∵点M是BC的中点， ∴BM=MC. ∵PM∥AB，MQ∥AC， ∴四边形AQMP是平行四边形，∠BMQ=∠C，∠PMC=∠B. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C，∴∠BMQ=∠PMC， ∴△BMQ≌△CMP(ASA). ∴MQ=MP. ∴平行四边形AQMP是菱形. 【小结】 课堂小结与检测 1.菱形的判定方法： (1)(定义)：一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)(边)：四边相等的四边形是菱形； (3)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 2.判定菱形的常见思路： 平行四边形 四边形 四条边都相等 判定条件 对角线互相垂直 一组邻边相等 菱形 1.[2026成都武侯区月考]依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形 的是( ) C A. B. C. D. 课堂练习 【解析】 选项中的四边形均是平行四边形， 对角线互相平分，对边 相等，对边平行，故A项、B项、D项不一定是菱形；C项，根据三角形的 内角和定理可得 ，由“等角对等边”可得该平行四 边形的邻边相等，依据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得C项 是菱形。 18 2.[2025湖南中考]如图，在四边形 中，对 角线与互相垂直平分， ，则四边 形 的周长为( ) C A.6 B.9 C.12 D.18 【解析】 对角线与 互相垂直平分， 四边形为菱形。， 四边形 的周长为 。 19 3. 如图，在中，平分 ， 交于点，交于点 ， 若，则四边形 的周长是( ) C A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 20 4. [2026济南期中] 如图， 的 对角线，交于点 ，以下条件不 能证明 是菱形的是( ) C A. B. C. D. 21 5.教材习题变式 [2026长春期中]如图，， 是 四边形的对角线，点，分别是， 的 中点，点，分别是， 的中点。若四边形 A A. B. C. D. 【解析】 ，，，分别是，，，的中点， ， ，，分别为，，， 的中位线， ，， 四边形 为平行四边形， 当时，，此时平行四边形 是菱形。 是菱形，则原四边形 应满足的条件是 ( ) 22 6. 如图，在 的两边上 分别截取，，使 ；分 别以点，为圆心， 长为半径作 弧，两弧交于点；连接， ， ，.若，四边形 的面积为.则的长为___ . 4 23 7. 如图，在中，是 的中点，点， 分别在线段AD及其延长 线上，且 ，请你添加一个条件 ________________________，使四边形 是菱形. （答案不唯一） 24 8.[2025北京东城区期中]如图，分别以点， 为圆心， 以5为半径画弧，两条弧分别交于，两点，连接 , ,,,,,已知，则以，，， 四 点为顶点的四边形的面积是____。 24 25 【解析】 由题中作图可知， ， 四边形 是菱形， 设和交于点，如图，则 ， ， ， ， 四边形 的面积为 。 26 9.新情境 [2026南宁月考]某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到 同学们的广泛关注。小德所在小组用若干张图1中的纸牌搭建成如图2所示 的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），则 该“纸牌承重桌”的高度为_ ____ 。 27 【解析】 如图，连接。根据题意，得，， ， 都是边长为的等边三角形，， 四边 形是菱形，。，， ， 由勾股定理，得 。 28 10.[2025渭南期末]如图，的对角线与 交于点，点在上，连接，， 。 求证：四边形 为菱形。 证明： 四边形是平行四边形，对角线与交于点 ， 。 点在上， ， ， ， 四边形 为菱形。 29 11.[2025西藏中考节选]如图，在四边形中，， ， 点是的中点，且平分。求证：四边形 是菱形。 证明：，点是 的中点， ，， 。 ， ， 四边形 是平行四边形。 平分， ， ， ， 四边形 是菱形。 30 12.[2026重庆模拟]如图，在四边形 中， ，点，是对角线 上的两点，且 ， 。 （1）求证： 。 解：证明：， 。 ，，即 。 在和中， 。 31 （2）当四边形的边，满足什么条件时，四边形 是菱形？ 说明理由。 解：当四边形满足时，四边形 是菱形。理由如下： 连接交于点 ，如图。 由（1）得 ， ，， ， ， 四边形 是平行四边形。 ，， 四边形 是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， ， 平行四边形 是菱形。 32 $