2.2.3 一元二次不等式的解法课时同步练习卷（基础版）-2026年暑假预习新高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本练习卷聚焦一元二次不等式解法，以"基础巩固-综合应用-拓展提升"分层设计，通过多样化题型构建从概念理解到实际建模的知识巩固路径，适配暑假课时复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|集合运算、基本不等式解法|单选题（8题）直接考查定义与解法，如集合交集运算| |综合应用|含参不等式、充分必要条件|多选题（3题）结合逻辑推理，如解集与参数关系判断| |拓展提升|实际问题建模、分类讨论|解答题（5题）融入销售利润、几何面积等情境，如矩形花围面积优化问题|

2.2.3 一元二次不等式的解法课时同步练习卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 3．（25-26高一上·黑龙江·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高一上·广东汕头·期末）命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 10．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知关于的不等式解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 11．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．当时，解集为 B．当时，解集为 C．当时，解集为 D．当时，原不等式在上恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 13．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________. 14．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 16．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数. (1)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 17．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 18．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 19．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知，. (1)若不等式的解集非空，求实数的取值范围； (2)若，求不等式的解集； (3)若不等式对于恒成立，求的取值集合. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 一元二次不等式的解法课时同步练习卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以，即 2．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 3．（25-26高一上·黑龙江·期中）若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 4．（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 5．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 6．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 7．（25-26高一上·广东汕头·期末）命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案. 【详解】∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， ∴，∴. 即命题“，使”是假命题等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求. ∴选项B正确. 8．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【分析】A举反例，根据必要条件的定义判断；B分、讨论；C将问题转化为一元二次方程有一正一负根，根据判断；D判断集合的子集个数. 【详解】若，则，但， 故不是的一个必要条件，故A错误； 当时，，符合题意； 若，则当集合中只有一个元素时，，得， 综上，或，故B错误； 若一元二次方程有一正一负根， 则一元二次方程有一正一负根， 其充要条件是，即，故C正确； 因为，所以， 因为集合的子集个数有个，故集合的个数为4，故D正确. 故选：CD 10．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知关于的不等式解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】由一元二次不等式的解集，结合韦达定理用表示，再逐项求解判断即可. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得且方程的两个根为，即，解得， 对于A，，A正确； 对于B，不等式，即，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，不等式，即，整理得，解得，D错误. 故选：ABC 11．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．当时，解集为 B．当时，解集为 C．当时，解集为 D．当时，原不等式在上恒成立 【答案】ABD 【分析】将原不等式变形为.当，，时，分别求出不等式的解集，即可判断A，B，C；令，当时，求出在上的最大值，即可判断D. 【详解】将不等式变形为， 利用平方差公式分解可得， 即①. 当时，①式可化为，解得，所以不等式的解集为， 故A正确； 当时，，所以不等式的解集为，故B正确； 当时，若，则，所以不等式的解集为， 不是，故C错误； 令，其图象的对称轴方程为. 当时，. 当时，，，所以， 即不等式在上恒成立，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 13．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据题意，分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】由题意得关于的不等式恒成立， 当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 16．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数. (1)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为 【分析】（1）参数分离得，再利用基本不等式求出的最小值即得. （2）将不等式变形为，再按的取值情况分类讨论求出不等式的解集. 【详解】（1）由，得，而，则恒成立， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 当时，解得；当时，无解；当时，解得， 当时，不等式为，解得或， 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 17．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 18．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)长度为米 (2)的长的范围是（单位：米） 【分析】（1）设长度为米，求出，可得的面积的表达式，然后由基本不等式求解即可； （2）设的长为米，由，得，求得，得的面积的表达式，由题意列不等式，求解即可． 【详解】（1）由题意，设长度为米，， ∵，∴， ∴的面积为， 由基本不等式， 当且仅当，即时等号成立， ∴当长度为米时, 的面积最大，最大值为平方米. （2）设的长为米，则为米，其中， ∵为矩形，， ∴，∴，则， 故，整理得， 又，则或， 故的长的范围是（单位：米）． 19．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知，. (1)若不等式的解集非空，求实数的取值范围； (2)若，求不等式的解集； (3)若不等式对于恒成立，求的取值集合. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）转化为有解问题，分，和讨论即可； （2）移项因式分解有，再对分类讨论即可； （3）变换主元，再代入端点得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题设有解， 当时，，符合题意； 当时，不等式恒有解，符合题意， 当时，需要，可得； 综上，的范围为. （2）由题意得，由不等式，可得，即， 当时，不等式可化为，则； 当时，方程，则，或， 当时，，则或； 当时，，即； 综上： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 （3）由题设对于恒成立，则， 即，解得， ，则的取值范围为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $