第五章 课时作业2 平面向量的基本定理与坐标表示-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦平面向量基本定理与坐标表示，以“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层设计，通过几何直观与代数运算结合，培养数学思维与表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|坐标运算、基底概念|单选1（坐标求解）、3（基底判断）、填空10（共线坐标运算），夯实基础公式应用| |中档|共线与几何结合|单选2（向量共线求三角函数）、5（平行四边形向量分解）、多选7（等腰梯形向量关系），强化知识综合应用| |拔高|复杂几何与证明|单选6（赵爽弦图向量表示）、填空12（基底坐标转换）、解答14（几何证明），提升逻辑推理与模型意识|

课时2 平面向量的基本定理与坐标表示 一、单选题 1．已知点，.若，则点的坐标为（     ） A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0） 2．(2026·江西景德镇市模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α).若(a＋b)∥c，则tan α的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 3、若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（     ） A．e1与e1+e2 B．e1－2e2与2e1+e2 C．e1－2e2与e1+2e2 D．e1－e2与e2－e1 4．如图，向量a，b，c在正方形网格中.若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（2026·河北石家庄市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，＝，＝，则=(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ ６.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被作为第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的.若＝a，＝b，E为线段BF的中点，则＝(　 　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 二、多选题 7、已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则有(　 　) A．＝2 B．||＝3|| C．＝＋ D．＝＋ 8．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2(k∈R)，则下列结论正确的有(　　) A. 若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2 B. 若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2 C. 存在k，使得a与b不共线，e1与e2共线 D. 不存在k，使得a与b不共线，e1与e2共线 9．已知等边三角形ABC的边长为4，点D，E满足＝2，＝，AE与CD交于点O，则有(　 　) A．＝＋ B．·＝8 C．＝2 D．|＋＋|＝ 三、填空题 10． (2026·安徽淮北市模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，t)，若2a＋b与a＋2b共线，则实数t＝__ __． 11．在平行四边形ABCD中，E是线段BD的中点，若＝m＋n，则m－n＝__ __． 12．（2026·山东潍坊市联考）若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标.现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2，1)}下的坐标为(－2，2)，则a在基底{m＝(－1，1)，n＝(1，2)}下的坐标为 ． 四、解答题 13.已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求： (1) 3a＋b－3c的坐标； (2) 点M，N的坐标及的坐标． 14．(2026·湖北黄冈市高三期末)如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b． (1) 试用向量a，b表示； (2) 过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F，记＝λa，＝μb， 求证：＋为定值． 课时2 平面向量的基本定理与坐标表示参考答案 1．C【解析】设点的坐标为，则，.因为，即，所以，解得，所以.故选C. 2．A【解析】因为a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，所以a＋b＝(4，sin α)，又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c，所以4cos α＝2sin α，则tan α＝＝2.故选A. 3、D【解析】由题意知，向量，不共线.对于选项A，设，可得方程组，此时方程组无解，所以向量与不共线，可以作为平面的基底； 对于选项B，设，可得方程组，此时方程组无解，所以与不共线，可以作为平面的基底； 对于选项C，设，可得方程组，此时方程组无解，所以与不共线，可以作为平面的基底； 对于选项D，由，可得与共线，不能作为该平面的基底.故选D. 4．D 【解析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3).因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R). 所以解得所以＝4.故选D. 5．C【解析】设＝a，＝b.因为＝，所以＝＋＝－a－b.因为＝，所以＝＋＝a＋b.设＝m＋n，则－a＝m＋n，解得m＝，n＝，即＝＋.故选C. 6.B【解析】以A为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x.所以x2＋4x2＝1，解得x＝，设∠BAE＝θ，则 sin θ＝，cos θ＝，所以xE＝cos θ＝，yE＝sin θ＝，即E，设 ＝m＋n，由A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，则＝m(1，0)＋n(0，1)，所以 m＝，n＝，所以＝a＋b.故选B. 7、 AC【解析】如图，因为AB∥CD，且AC与BD交于点P，所以△APB∽△CPD．又AB＝2CD＝2BC，则＝＝＝2，即AP＝2PC，PB＝2PD，则＝2，故A正确； 又四边形ABCD是等腰梯形，故AP＝PB，即||＝2||，故B错误； 由PB＝2PD，则＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故C正确； ＝＝＝＋，故D错误．故选AC. 8．AD【解析】非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2(k∈R).若e1与e2不共线，a与b共线，则λa＝b(λ∈R)，即2λ＝k，－λ＝1，解得k＝－2，所以A正确，B错误； 若e1与e2共线，则e1＝me2(m∈R)，则a＝2e1－e2＝(2m－1)e2，b＝ke1＋e2＝(km＋1)e2，则a与b共线，所以C错误，D正确．故选AD. 9． ABD【解析】如图，对于选项A，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A正确； 对于选项B，因为△ABC为等边三角形，＝，则E为BC中点，所以AE⊥BC，所以AO⊥BC，即·＝0，所以·＝(＋)·＝·＋·＝·＝||||cos60°＝4×4×＝8，故B正确． 对于选项C，设＝λ，由A得＝＋＝＋，所以＝＋．又O，A，E三点共线，所以＋＝1，解得λ＝，所以O为CD上靠近点D的四等分点，故C错误． 对于选项D，＝＋＝＋，设＝t，则t＝＋，所以＝＋．又O，C，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝2，所以O为AE中点，所以＋＋＝＋(＋)＝＋2＝＝，即|＋＋|＝||＝，故D正确．故选ABD. 10．2【解析】由a＝(1,2)，b＝(1，t)，可得2a＋b＝(3，t＋4)，a＋2b＝(3,2t＋2)．因为2a＋b与a＋2b共线，所以3(t＋4)＝3(2t＋2)，解得t＝2． 11．－3【解析】如图，因为四边形ABCD为平行四边形，E为BD中点，所以E为AC中点，所以＝＋＝2－＝2－，所以m＝－1，n＝2，所以m－n＝－1－2＝－3． 12．(0，2)【解析】因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2，2)，所以a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以即所以a在基底{m，n}下的坐标为(0，2). 13.【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). (1) 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2) 设O为坐标原点．因为＝－＝3c，所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以M(0，20).因为＝－＝－2b，所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)，所以＝－＝(9，－18). 14．（1）【解】由A，M，D三点共线，可设＝m＋(1－m)＝ma＋b．由B，M，C三点共线，可设＝n＋(1－n)＝a＋(1－n)b，所以解得m＝，n＝，所以＝a＋b． （2）【证明】因为E，M，F三点共线，所以设＝k＋(1－k)＝kλa＋(1－k)μb．由(1)知kλ＝，(1－k)μ＝，所以＝7k，＝7－7k，所以＋＝7，为定值． . 学科网（北京）股份有限公司 $