1.2.1 菱形的性质 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦菱形的性质，从生活中菱形实例导入，关联平行四边形性质，通过“观察-猜想-证明”探究菱形四条边相等、对角线垂直等特殊性质，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是注重数学思维与数学语言的培养，通过严谨证明（如菱形对角线垂直的推导）、例题应用（结合勾股定理求边长）及中考题变式练习，引导学生用数学眼光发现规律，用数学语言表达结论，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

第一章 特殊平行四边形 2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 1.从菱形的定义出发，围绕它的相关元素(如边、角、对角线)探索并证明菱形的性质定理。 2.能利用菱形的性质进行计算和证明，进而解决相关问题。 学习目标 2 1.我们的现实生活中,平行四边形的形象无处不在,请同学们观察下列图片中的平行四边形.它们是怎样的平行四边形? 知识关联 都是菱形 2.菱形的定义是什么? 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 我们知道菱形具有平行四边形的所有性质。 对称性:中心对称图形。 边:两组对边分别平行且相等。 角:两组对角分别相等。 对角线:对角线相互平分。 思考：菱形还有哪些特殊性质呢? A C B D O 知识回顾 4 【探究】菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形,所以它不仅具有平行四边形的所有性质,而且还具有它本身特有的性质.你认为菱形还具有哪些特殊的性质呢?与同伴进行交流. 探究与应用 菱形的四条边相等,对角线互相垂直. 你能尝试证明这些结论吗？ 韵 (authorId_273335559) - 教师活动:通过对菱形的观察,与一般平行四边形进行对比,归纳菱形特有的性质,并由学生口述. 证明：菱形的四条边相等,对角线互相垂直. 探究与应用 【探究】 菱形的性质 　已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)AC⊥BD.　 证明:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等). 又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD. 这里用到等腰三角形的哪个性质呢？ 还有其他证明方法吗？ 小城故事 (authorId_548926071) - 让学生从平行四边形的性质出发,独立思考、分析证明思路. 证明：菱形的四条边相等,对角线互相垂直. 探究与应用 【探究】 菱形的性质 　已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)AC⊥BD.　 (2)∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形. ∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中,∵OB=OD, ∴AO⊥BD,即AC⊥BD. 这里用到等腰三角形的哪个性质呢？ 还有其他证明方法吗？ 小城故事 (authorId_548926071) - 让学生从平行四边形的性质出发,独立思考、分析证明思路. 定理 菱形的四条边都相等。 菱形的对角线互相垂直。 ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB = BC = CD = AD ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ BD ⊥ AC 【探究】菱形的性质 探究与应用 【思考·交流】 1.你是如何发现菱形的特殊性质的?与同伴交流你的经验. 2.通过对“菱形的对角线互相垂直”的证明过程,你还能发现菱形的对角线有什么性质? 菱形的每条对角线平分一组对角. 小城故事 (authorId_548926071) - 学生在小组交流后说出自己的发现,若不能,教师引导学生观察等腰三角形ABD中,由“三线合一”还能得出什么结论?还可以引导学生再次通过对菱形纸片的折叠发现一些相等的角,从而总结出“菱形的每条对角线平分一组对角”. 【理解应用】 探究与应用 例　如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°,BD=6. (1)求AB和AC的长; (2)求菱形ABCD的面积. 解:（1）∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD(菱形的四条边相等), AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直), OB=OD=BD=×6=3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中, ∵∠BAD=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∴AB=BD=6. 在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA2+OB2=AB2, ∴OA===3. ∴AC=2OA=6(菱形的对角线互相平分). 韵 (authorId_273335559) - 引导学生分析题目的已知条件和解题思路,然后教师指名板演过程,待其他同学独立完成后,教师进行有针对性的讲评,学生进行修改. 【理解应用】 探究与应用 (2)菱形ABCD的面积 =△ABC的面积+△ADC的面积 =AC·OB+AC·OD =AC·(OB+OD) =AC·BD =×6×6 =18. 思考：菱形的面积可以怎么求？有几种方法？ 菱形是平行四边形 A B C D 菱形的面积 = 底×高 = BC·AE 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积 = 对角线乘积的一半 E 思考：菱形的面积可以怎么求？有几种方法？ 菱形的其他特殊性质： (1)菱形的每条对角线都平分一组对角。 (2)菱形被对角线所分成的四个直角三角形全等。 A B C D O 探究与应用 【拓展提升】 如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,若AC=8,BD=6,求四边形ABCD的面积. 解：四边形ABCD的面积 =△ABC的面积+△ADC的面积 =AC·OB+AC·OD =AC·(OB+OD) =AC·BD =×8×6 =24 推广：对角线互相垂直的四边形的面积，可通过对角线乘积的一半求得. 【小结】 课堂小结与检测 菱形的性质 边：菱形的四条边相等 对角线：1.菱形的对角线互相垂直 2.每条对角线平分一组对角 菱形的面积=底×高=对角线之积的一半 1.教材习题变式 [2026青岛期中]如图，在菱形 中，，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】 四边形是菱形， ， 又，， 是 等边三角形， 。 课堂练习 16 2. 如图，四边形是菱形，点 ， 分别在， 边上，添加以下条件 不能判定 的是( ) C A. B. C. D. 17 第5题图 3.[2026兰州八十一中期中]如图，菱形 的对角线，交于点，若 ， 则 的度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】 四边形是菱形，， ， ， ， 。 18 4.教材习题变式 [2026山西省实验中学月考]如图，在 菱形中，，交于点。若 ， ，则菱形 的边长为( ) A A. B. C.4 D. 【解析】 四边形是菱形， ， ，， ， ， 。在 中， ，即菱形 的边长为 。 19 5. 如图，在菱形 中， ，，点， 分别为 ，上的动点， ，点 从点向点运动过程中， 的长 度( ) D A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 20 【点拨】如图，连接 四边形 是菱形， , ，， 是 等边三角形， , ， ， .又， ， ， .故选D. 21 6.[2026西安高陵区月考]如图，在平面直角坐标系中， 菱形的顶点在原点处，顶点在 轴上，已知 点的坐标为，则点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 22 【解析】 如图，过点作轴于点，延长 交轴于点，设菱形的边长为。 ， ， 。 ，则 ，解得 ，， 。 23 7.新情境 [2026锦州太和区期中]如图， 这是汽车常备的一种千斤顶的示意图， 其基本形状是一个菱形 ，中间通过 螺杆连接，转动手柄可改变 的大小 【解析】 四边形是菱形，，又 ， ， ， 。（对角相等） （菱形的边长不变）。当 时， 的度数为______。 24 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点 的 横坐标是8，则点 的坐标为_______. 25 【点拨】当 时， ， 点 的坐标为 ， 四边形是菱形，且在 轴 上，，且轴， 点 的坐标为 ，即 . 26 9.[2026榆林五中月考]如图，在菱形中，， ，点 ，分别在边，上（均可与端点重合），连接， ，若 ，则 的最小值为____。 12 27 【解析】 如图，以为边作等边三角形 ，连 接，。 四边形为菱形， ， 又， 四边形 是平行四边形， 。 ， ， ， ，可证 ， 。 ， ，， 三点共 线，。， 当在点时， 取得最小值12。， 的最小值 为12。 28 10.[2025泸州中考]如图，在菱形中，， 分别 是边，上的点，且。求证： 。 证明： 四边形是菱形， ， 又，，即 ， 在和中， ， 。 29 11.[2026贵阳十九中月考]如图，菱形花坛 的边长为， ， 沿着菱形花坛 的对角线修建了两条小路，，求两条小路 ， 的长度。 解：设菱形花坛的对角线的交点为 。 四边形 是菱形， ，，， ， 又 ， 是等边三角形， ， 。 在中， ， 。 30 12.[2026揭阳榕城区期末]如图，四边形是菱形，延长到点 ，使 ，连接交于点 。 （1）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并 证明是 的中点； （2）连接，若，，求 的长。 31 解：（1）以点为圆心，以 为半径画弧交 的延长线于点，连接交于点 ， 如图。 四边形 是菱形， ， ， ， 。 ， ， （1）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并 证明是 的中点； 32 在和中， ， ， 点是 的中点。 （2）连接，若，，求 的长。 解：由（1）知，， ， 又，是线段 的垂直平分线， 。 在菱形中， 。 ， 。 34 $