精品解析：河南郑州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学（四）试题

2025-2026学年下期期末考试 高二数学试题卷（四） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 有4名高中生在“只有河南戏剧幻城”，“嵩山风景名胜区”，“河南博物院”三个景点中，每人选择一处进行游览，则有不同的选择方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 3. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知A、B、C三个班在某次数学测试中分别有3%、6%、5%的人成绩获得优秀，且这三个班的人数之比是9∶6∶5，现从这三个班中任意选取1人，则此人在该次数学测试中成绩获得优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上的最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 20 D. 24 7. 某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为.从第二题开始若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学第题答对的概率为，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知△的三个内角A，B，C所对的边分别为，，，则“”是“△是等边三角形”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 某病8位患者的潜伏期（天分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为5.5 B. 已知数据，，…的平均数为2，方差为3，那么数据，，…的平均数和方差分别为5，13 C. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 D. 两点分布中，时，方差最大 10. 已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的可能取值有（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 设样本数据、、…、的平均数为，则函数取得最小值时 C. 设、为随机事件，且、，若，则、相互独立 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据小概率值的独立性检验，可以认为“与没有关联” 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知随机变量的分布列为（，2，，4），其中为常数，则实数________，__________. 13. 有、、、、、、7人排成一排站队，要求、、三人满足在的左边，在的右边，同时满足在的左边，在的左边，那么不同的站队方法种数为__________. 14. 若函数有且仅有三个不同的零点，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第三项与第六项的二项式系数相等. （1）求的值，并求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中所有的整式项（整式项指字母指数为自然数的项）； （3）将展开式中所有项重新排列，求整式项不相邻的概率. 16. 为了了解某地区60岁以上老人患糖尿病的情况，现随机从该地区60岁以上老人中抽取40个人作为样本测出他们的空腹血糖（单位：mmol/L）值，假设空腹血糖检测值≥7mmol/L可确诊患糖尿病，抽取的40位老人经检测后发现有12人空腹血糖检测值≥7mmol/L. （1）在上述抽取的40位老人中再任意抽取2人，设为这两人中患糖尿病的人数，求的分布列和期望. （2）以频率估计概率，从该地区（60岁以上老人数目很多）任意抽取5名60岁以上老人，求恰有2人患糖尿病的概率. 17. 函数. （1）求的单调区间； （2）证明：，. 18. 某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化.该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出如下表格： 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率（） 预期平均年利润（单位：万元） 方案 700 400 方案 600 300 （1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？ （2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为（万件），通过核算，实行方案时新产品的年度总成本（万元）与年产量（万件）之间的函数关系为，实行方案时新产品的年度总成本（万元）与年产量（万件）之间的函数关系为.已知，.若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价（元）分别为60，，，且生产的新产品当年都能卖出去.试问：当取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？ 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期期末考试 高二数学试题卷（四） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 函数在处的导数定义为， 已知，变形可得，即， ∴ ， 故所求切线斜率为. 2. 有4名高中生在“只有河南戏剧幻城”，“嵩山风景名胜区”，“河南博物院”三个景点中，每人选择一处进行游览，则有不同的选择方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 完成4名高中生选择景点的事件，可分4个步骤，依次确定每一名学生的游览景点， 每名学生均可从3个景点中任选1处，即每名学生都有3种不同的选择方法， 根据分步乘法计数原理，完成该事件的总方法数为各步骤方法数的乘积， ∴ 不同的选择方法种数为. 3. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定定义域与导数，转化条件利用换元法求解. 【详解】函数的定义域为， 求导得： ， 函数存在单调递减区间，等价于在上有解，因为，分母， 因此等价于：  ， 即问题转化为：大于的最小值，  令，换元得： ， 这是开口向上的二次函数，最小值为（当即时取得）， 要使在有解，只需，即， 所以实数的取值范围是. 4. 已知A、B、C三个班在某次数学测试中分别有3%、6%、5%的人成绩获得优秀，且这三个班的人数之比是9∶6∶5，现从这三个班中任意选取1人，则此人在该次数学测试中成绩获得优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 三个班的人数之比为，总份数为， ∴ 从三个班中任意选取1人，选到班的概率， 选到班的概率， 选到班的概率. 设事件为“选取的此人在该次数学测试中成绩获得优秀”， 由题意得条件概率，，. 根据全概率公式可得：， 代入数值得. 5. 若函数在上的最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论的正负性，可得当时，，其中为方程的正根，然后通过研究单调性可得答案. 【详解】. 当时，，此时在上单调递增，无最小值，不满足题意； 当时，方程判别式为，则方程在R上有两根. 设，由韦达定理，可得，从而异号， 则，则在上单调递减，在上单调递增. 则，又，则. 构造函数，则在上单调递增， 结合，可得. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】， 二项式展开式的通项公式，二项式展开式的通项公式. 当中取常数项，中取项时，得，解得，此时的系数为； 当中取项，中取项时，得，解得，此时的系数为； 当中取项，中取常数项时，得，解得，此时的系数为； 的展开式中的系数. 7. 某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为.从第二题开始若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学第题答对的概率为，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先明确递推关系：第题答对的情况分为第题答对和第题答错两种互斥情况，可以根据全概率公式建立与的递推等式.对得到的一阶线性递推关系，通过构造等比数列的方法，求出的通项公式.分析的单调性或极限，因为恒成立，所以的最大值为的下确界，若数列收敛则为极限值. 【详解】已知第题答对的概率，由题意：第题答对分两种情况：前一题答对后本题答对、前一题答错后本题答对， 因此：,且初始. 对递推式变形，设， 即，所以，可得， 因此 这是公比为的等比数列， 通项为 由通项可知，且随增大单调递减，时， 即对所有，都有，且可以无限接近. 因此恒成立时，的最大值为. 8. 已知△的三个内角A，B，C所对的边分别为，，，则“”是“△是等边三角形”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别验证充分性与必要性，结合正弦定理、函数单调性推导两个条件的逻辑关系. 【详解】先判断必要性： ∵ 若是等边三角形，则，， ∴ ，，即，必要性成立. 再判断充分性： 已知，根据正弦定理，，，可得， ∴ ，即. 设函数，，求导得. 令，则. ∵ 时，，∴ 在上单调递减，， ∴ ，即在上严格单调递减. ∵ 且，∴ ，即为等边三角形，充分性成立. 综上，“”是“是等边三角形”的充要条件. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 某病8位患者的潜伏期（天分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为5.5 B. 已知数据，，…的平均数为2，方差为3，那么数据，，…的平均数和方差分别为5，13 C. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 D. 两点分布中，时，方差最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由百分位数计算方式可判断选项正误；对于B，由平均数，方差性质结合题设可判断选项正误；对于C，由残差定义结合题设可判断选项正误；对于D，由两点分布方差表达式结合基本不等式可判断选项正误. 【详解】对于A，将数据从小到大排序可得：，则数据第50百分位数为，故A正确； 对于B，由题可得的平均数为，方差为，故B错误； 对于C，由回归方程可得时，对应的估计值为，则残差为，故C正确； 对于D，两点分布的方差为，则，当且仅当时取等号，故D正确. 10. 已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的可能取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，是函数的两个不同的极值点可得的取值范围，然后构造函数，求出函数的最大值后可得的范围． 【详解】函数定义域为，. 有两个不同极值点，等价于有两个不同正根. 由韦达定理和判别式得，解得. ，设，则恒成立. ，令，得，即. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此的最大值为 . 因此，故选：BCD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 设样本数据、、…、的平均数为，则函数取得最小值时 C. 设、为随机事件，且、，若，则、相互独立 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据小概率值的独立性检验，可以认为“与没有关联” 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正态分布可判断A选项；根据二次函数的最值判断B选项；利用条件概率公式和事件独立性的定义可判断C选项；利用独立性检验可判断D选项； 【详解】选项A，已知随机变量，若，则， 进而，正确. 选项B，设样本数据、、…、的平均数为，， 开口向上，对称轴为，因此取最小值时，正确. 选项C，设、为随机事件，且、，若， 则，则、相互独立，正确. 选项D，计算得到，则依据小概率值的独立性检验，则“与没有关联”的零假设不成立，即认为“与有关联”. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知随机变量的分布列为（，2，，4），其中为常数，则实数________，__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，求得；先根据期望的定义, 再利用期望的线性性质求解. 【详解】对裂项得：对求和， ，解得； 根据期望的性质：，因此， 计算期望：， ， ， 因此. 13. 有、、、、、、7人排成一排站队，要求、、三人满足在的左边，在的右边，同时满足在的左边，在的左边，那么不同的站队方法种数为__________. 【答案】210 【解析】 【分析】先计算人无约束的全排列数，再扣除各组定序元素的重复排列数，即可得到符合要求的站队方法种数. 【详解】∵ 人无约束条件下排成一排的全排列数为. 已知要求在的左边，在的右边，即三人的相对顺序固定，三人的全排列共种，仅1种符合条件； 同时要求在的左边，即二人相对顺序固定，二人的全排列共种，仅种符合条件； 要求在的左边，即二人相对顺序固定，二人的全排列共种，仅种符合条件. ∴ 符合所有要求的不同站队方法种数为. 【点睛】方法归纳：定序问题通用处理方法为消序法，先计算所有元素的全排列数，再除以每组定序元素的全排列数，可简化计算，避免分类讨论的繁琐. 14. 若函数有且仅有三个不同的零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数因式分解，将零点问题转化为方程根的个数问题，通过参变分离构造函数，利用导数研究其单调性与值域，结合图象交点个数确定参数的取值范围. 【详解】∵ . 令，则或. 由解得，即是函数的1个零点. ∵ 函数有且仅有三个不同的零点， ∴ 方程有个不等于的不同正实根. 将方程变形为，设， 求导得. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ∴ 的最小值为. 又∵ 时，；时，， 且， 要使与有个不同的交点，且交点横坐标不等于， 则且， 即实数的取值范围为. 【点睛】方法归纳：本题通过因式分解拆解复杂函数零点问题，结合参变分离、导数研究函数性质，利用数形结合思想求解参数范围，是函数零点问题的通用处理思路. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第三项与第六项的二项式系数相等. （1）求的值，并求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中所有的整式项（整式项指字母指数为自然数的项）； （3）将展开式中所有项重新排列，求整式项不相邻的概率. 【答案】（1），2187 （2）；；． （3） 【解析】 【小问1详解】 依题意，∴. 令可得展开式中所有项的系数和； 【小问2详解】 由通项，，1，2，…7； 整式项为；； ． 【小问3详解】 由于，所以展开式共有项，由（2）知整式项共项， 由插空法得整式项不相邻的概率为． 16. 为了了解某地区60岁以上老人患糖尿病的情况，现随机从该地区60岁以上老人中抽取40个人作为样本测出他们的空腹血糖（单位：mmol/L）值，假设空腹血糖检测值≥7mmol/L可确诊患糖尿病，抽取的40位老人经检测后发现有12人空腹血糖检测值≥7mmol/L. （1）在上述抽取的40位老人中再任意抽取2人，设为这两人中患糖尿病的人数，求的分布列和期望. （2）以频率估计概率，从该地区（60岁以上老人数目很多）任意抽取5名60岁以上老人，求恰有2人患糖尿病的概率. 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 . （2）0.3087 【解析】 【分析】（1）首先确定随机变量X的所有可能取值，依据超几何分布的概率公式计算每个取值对应的概率，进而列出分布列，再根据期望公式或者超几何分布的期望性质计算期望； （2）依据二项分布的概率公式计算恰有2人患病的概率. 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2； ，，， 的分布列为 0 1 2 . 【小问2详解】 从该地区随机抽取5名60岁以上老人，视频率为概率， 每位老人患糖尿病的概率为，此时相当于做了5次独立重复试验，成功概率都是， 所以恰有2位老人患病的概率为． 17. 函数. （1）求的单调区间； （2）证明：，. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由（1）知时，，即， 观察不等式左侧，令， 则易知左侧是累加后的结果， 在，中，令（）， 则， ， 即，. 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，再对求导，确定单调区间； （2）结合第一问的结论，得到时的取值范围，整理得到对应不等式，化简后证明题设不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以在上为负数，在上为正数， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 略. 18. 某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化.该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出如下表格： 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率（） 预期平均年利润（单位：万元） 方案 700 400 方案 600 300 （1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？ （2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为（万件），通过核算，实行方案时新产品的年度总成本（万元）与年产量（万件）之间的函数关系为，实行方案时新产品的年度总成本（万元）与年产量（万件）之间的函数关系为.已知，.若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价（元）分别为60，，，且生产的新产品当年都能卖出去.试问：当取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？ 【答案】（1）当时，选择方案； 当时，选择方案或； 当时，选择方案； （2）（万件） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据计算出两种方案的平均年利润的期望值，比较可得； （2）求出方案，按市场销售状态的新产品的年利润的分布列，求出期望值，再用导数的知识求得最大值即可． 【小问1详解】 根据概率的性质，，得， 若，，得； 若，； 若，； 故当时，选择方案； 当时，选择方案或； 当时，选择方案； 【小问2详解】 因为，根据（1），选择方案，年产量为（万件）与新产品的年度总成本的关系为：， 设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为，，， 新产品年利润的随机变量的分布列为： 0.4 0.4 0.2 ， 设，， 由， 当时，，函数递增；当时，，函数递减， 故当（万件）时，函数有最大值（万元）， 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）． 【解析】 【分析】（1）先将代入得到具体函数，对求导，再令导数为0求出临界点，接着判断临界点左右导数的符号，最后代入临界点计算极值； （2）先求的导函数，分析处的导数值，判断附近函数的增减趋势，再对导函数进一步求导分析其单调性，分情况讨论的取值范围，验证不同取值下在时是否满足恒小于等于0. 【小问1详解】 当时，，， ，令则，， 当时,所以在上单调递减， 在时,所以在上单调递增， 当时，；且注意到， 当时,所以在上单调递减， 在时，,所以在上单调递增， 故时，的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由，得，， 令则，， ①当时，，∴在上单调递增，， 所以在上单调递增，，不合题意，舍去， ②当时，在上存在变号零点， 若，，所以在上单调递增， 所以对任意成立， 所以在上单调递增， 对任意成立，不合题意，舍去， ③当时，，所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，恒成立. 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $