湖南长沙市宁乡市第一高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末调研考试数学试卷

2026年上学期宁乡市高一期末调研考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．树人中学高一、高二、高三年级共有学生1000名，其中高一年级370人，高二年级380人，现用分层随机抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级中抽取的学生人数为 A．25 B．35 C．37 D．38 3．掷一枚均匀的骰子，设事件A：“点数为奇数”，事件B：“点数为偶数”，下列说法正确的是 A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与不互斥 D．与相互独立 4．某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分数据如下： 7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.6，9.0 则该组数据的第75百分位数是 A．8.2 B．8.3 C．8.4 D．8.5 5．在长方体的各条棱所在的直线中，与异面且垂直的直线有_________条． A．6 B．4 C．2 D．0 6．已知向量，满足，，且向量与向量的夹角为，则 A． B． C． D．4 7．如图，在中，，点是的中点，设，，则 A． B． C． D． 8．在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为 A B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于平面向量描述正确的是 A．平面中相反向量的长度一定相等 B． C．若，则 D．若，，则 10．某超市对一批散装零食进行质量抽检，在所有商品中随机抽取了200件进行统计，抽取商品的质量都在50克至100克之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是 A．直方图中的值为0.030 B．估计这批零食的平均质量为84克 C．估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为75克 D．在被抽取的零食中，质量在区间的件数为60件 11．如图所示，正方体中，，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是 A．平面 B．与的夹角为 C．平面 D．四面体的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12．已知平面向量，，若，则_________． 13．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为_________． 14．已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，求_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分） 已知四边形的顶点，，． （1）已知，求的值； （2）若，四边形构成平行四边形，求的坐标． 16．（本题15分） 一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． （1）采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； （2）采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 17．（本题15分） 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求； （2）若，，D是的中点，求． 18．（本题17分） 如图，是的直径，点是圆周上不同于，的动点，垂直于所在平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角； （3）若，求三棱锥的外接球体积． 19．（本题17分） 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：（）（其中是自然对数的底数，是虚数单位），现令（）． （1）求，的虚部； （2）证明：（，）； （3）复数（，）与复平面内的点和向量一一对应（为复平面内坐标原点），由（2）的结论可知：复平面内任意复数乘以，对应其向量绕原点逆时针旋转． （i）在复平面内将点绕原点按逆时针方向旋转（）后得到的点，证明：； （ii）若，且，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $