3.3勾股定理的简单应用（应用题） 训练 2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

苏科版八年级数学上 3.3勾股定理的简单应用（应用题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 2．如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿C是否会受到台风的影响？并说明理由． (2)若台风影响岛屿C的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度． 3．小华家楼房前有一块三角形空地，小华的爸爸想把它开垦出来，经测量，，，，现要用篱笆把这块地围起来，小华的爸爸至少要买多少米篱笆？这块空地的面积是多少平方米？ 4．如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是，要从B修一条公路直达，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？ 5．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 6．2025年第18号超强台风“桦加沙”登陆我国沿海地区．如图，台风“桦加沙”中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响，海港会受到台风影响吗？为什么？ 7．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 8．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 9．水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 10．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 11．如图，我校国旗班的同学要测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小李同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为5米． (1)求旗杆的高度； (2)小李在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小李需要从退向要走几米（即的长）？（结果保留根号） 12．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 13．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？ 14．如图，在点正北方的处有一信号接收站，点在点的北偏东的方向，一信号车从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收站接收信号的有效范围为． (1)作于点，求点到射线的距离；并判断处是否能接收信号，说明理由； (2)信号接收站若能接收信号，求出接收信号持续多长时间？ 15．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 16．如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 17．如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 18．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 19．如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 20．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 21．综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为15米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点C离地面的垂直高度______米， _____米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)若想要风筝沿方向下降12米，则在的长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 22．如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 23．已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求出空地的面积； 24．在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺尺，将秋千的踏板往前推两步尺时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺即尺．当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．这个秋千的绳索有多长？ 25．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台顶端，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台顶端.求旗杆的高度． 26．如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 27．（1）在中，，，过点A作直线的垂线，垂足为D． ①图1，若，求线段的长； ②若，求线段的长， （2）如图2，在中，，，过点A作直线的垂线，交线段于点D．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 28．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形（）按如图1所示的方式放置，，点在边上，设两直角边，斜边，连接，用分别求出梯形，四边形的面积，再探究三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理． (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，某研学基地有一条观光道，长度为米，道旁有两个研学站点C，D，其中到的距离米到的距离米，求两个站点C，D之间的直线距离； (3)在（2）的情境中，基地计划在观光道上增设一个补给站，使，请用尺规作图确定点的位置，并求出的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学上 3.3勾股定理的简单应用（应用题）》参考答案 1．(1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响。 （2）解：如图，以为圆心，为半径画圆，交于， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为30千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 2．(1)岛屿会受到台风的影响；理由见解析 (2)台风中心的移动速度为． 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，利用勾股定理得可求出和，由，可知会受影响； （2）以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风影响岛屿的时长，即可求出台风移动的速度． 【详解】（1）解：岛屿会受到台风的影响；理由如下， 过点C作于点D， 由勾股定理得：， ∴， 解得，∴，， ∵， ∴岛屿会受到台风的影响； （2）解：以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风中心的移动速度为． 3．小华的爸爸至少要买米篱笆，这块空地的面积是平方米 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 先根据勾股定理判断为直角三角形，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得，三角形三边分别为：，，， ∴周长为三边之和：米， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴平方米， 答：小华的爸爸至少要买米篱笆，这块空地的面积是平方米． 4．1200万元 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，垂线段最短；首先得出，，然后利用其逆定理得到确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， 当时最短，造价最低． ∵， ∴，即（km）． ∴（万元）． 答：最低造价为1200万元． 5．少千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理构建方程是解题的关键； 设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米． 6．海港受台风影响，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响． 【详解】解：海港受台风影响，理由如下： ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响． 7．(1)水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，则；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ； 即尺，尺； 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 8． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深是，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深是， 如图所示，在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得， 答：水深是． 9．水池深尺，芦苇长尺 【分析】本题主要考查了勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度尺， 答：水池深尺，芦苇长尺． 10．(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 11．(1)12 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则为米，在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）如图，过作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质求出相关边长，在中，根据勾股定理求得得（米），再由即可求解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则为米， 在中，， ， 米， ， 解得：， 答：旗杆的高度为12米； （2）解：如图，过作于点， ， ， 四边形是矩形， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，， 根据勾股定理，得（米）， 米， 米， 答：小强后退的距离约为米． 12．(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【详解】（1）解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． （2）如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 13．30千米 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据和求x的值是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴和都是直角三角形， ∴，， 又∵，，， ∴， 解得． 答：信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方． 14．(1)；能，理由见解析 (2)接收信号持续 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，理解题意，利用勾股定理解决问题是解题的关键． （1）通过证明是等腰直角三角形，求出的长，再结合题意判断处能接收信号，即可解答； （2）分别求出信号接收站恰好能接收信号的临界点与，求出的长度，再利用时间路程速度，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴点到射线的距离为； ∵， ∴处能接收信号； （2）解：由（1）得，， 当时，， 当时，， ∴， ， 答：接收信号持续． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 16．(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图-应用设计作图，勾股定理，轴对称-最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程求出x的值即可求解； （2）作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站E应建在离A点处； （2）解：如图，作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点F， 则， 即最短距离为． 17．市场应建在距点20km的位置 【分析】可以设则在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据，即可求得的值． 【详解】解：设，则． 在中，； 在中，． 由题意得， 解得，即． 故市场应建在距点km的位置． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确的运算是解题的关键． 18．(1)梯子的顶端A距地面 (2)梯子的底端B在水平方向上滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：． 答：梯子的顶端A距地面． （2）解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 19．(1)这个梯子的顶端A距地面有远 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 20．“海天”号沿北偏西方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的实际应用，根据题意可求出的长，则可证明得到，根据“远航”号的航向得到的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，海里，海里， ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿北偏东方向航行， ∴， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行， 答：“海天”号沿北偏西方向航行． 21．(1)①1.7；15；②21.7米 (2)小明同学手中的风筝线应该往回收8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①过点B作于点C，证明四边形为矩形，得出米，米； ②根据勾股定理求出的值即可得出结果； （2）设风筝沿方向下降12米至点F，连接，根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 故答案为：1.7；15； ②在中，，米， 由勾股定理，得（米）， ∴（米）； （2）解：如图，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， ∴（米）， ∴（米）， ∵原来的风筝线的长为25米， ∴25-17=8（米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 22．(1)B，N之间的距离为36米 (2)珍珍的观点正确 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先求出线段的长，进而求出线段的长，则可证明，得到，即，再由垂线段最短即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得（米）， 答：B，N之间的距离为36米； （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴， ∴， ∴，即， ∴由垂线段最短可知，是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 23．这块空地的面积为 【分析】本题考查勾股定理及逆定理的应用，连接，勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和，进行求解即可，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形． 【详解】解：连接， ∵， ∴为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形面积 ， ∴这块空地的面积为． 24．尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长． 【详解】解：设尺， 依题意，，， ∴ 在中， ， 解得， 故尺 25．旗杆的高度为15米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 作，，可证，可得，，则米，且可求米，米，即可求的长． 【详解】解：如图，作，，则四边形是矩形，米，， ， 在和中， ， ， ，， 即米， 根据题意，米，米， （米，则米， 米， 则米， 米，米， 米， 答：旗杆的高度为15米． 26．选手的徒步方向是南偏东方向 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向． 【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米）， 选手经2小时的路程：（千米）， ∵， 即 ∴， ∵R在P北偏东方向， ∴ ∴Q在P南偏东方向． ∴选手的徒步方向是南偏东方向． 27．（1）①；②的长为4或14；（2） 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，等积法的应用，由勾股定理列方程求解是解题关键． （1）①设，则，根据勾股定理可列出关于x的方程，求出x的值，即可解答； ②分类讨论：当为锐角时和当为钝角时，根据勾股定理求出和的长，即可解答； （2）连接，交于点N，过点作，交延长线于点H．根据勾股定理求出和的长，再根据折叠的性质和等积法可求出和的长，设，根据勾股定理可列出关于y的方程，求出y的值，即可解答． 【详解】解：（1）①设，则． ∵， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴； ②分类讨论：当为锐角时，如图， ∵， ∴，， ∴； 当为钝角时，如图， ∵， ∴，， ∴． 综上可知的长为4或14； （2）如图，连接，交于点N，过点作，交延长线于点H． ∵， ∴，． 由折叠可知，垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中，；在中，， ∴，即， 解得：， ∴，， ∴在中，． 28．(1)见解析 (2)米 (3)点的位置见解析，米 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，注意计算的准确性即可； （1）由图可知：梯形的面积，的面积；由推出四边形的面积；即可求解； （2）连接，作，则四边形是矩形，推出，，即可求解； （3）作出的垂直平分线即可确定点，设，则；，即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：梯形的面积，的面积； ∵， ∴四边形的面积； ∴ ， ∴； （2）解：连接，作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ∴两个站点C，D之间的直线距离为米； （3）解：如图所示： 设，则； ∵， ∴，解得：； 即：的长度为米； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $