贵州黔西南州金成实验学校2025-2026学年下学期期末检测高一数学

**基本信息** 高一数学期末卷以《九章算术》米堆问题、红包拼手气等真实情境为载体，融合复数运算、分层抽样、立体几何等知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、运算推理及数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、分层抽样、概率|第8题结合《九章算术》圆锥体积计算，渗透文化传承| |多选题|3/18|向量运算、统计图表、立体几何|第10题通过性别比例图表，考查数据解读与计算| |填空题|3/15|统计估算、概率|第12题用标记重捕法估算鹅喉羚数量，体现数学应用| |解答题|5/77|概率方案设计、解三角形、立体几何证明|第15题设计转盘游戏方案，考查概率公平性分析与创新思维|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 密封线内不准答题 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………金………………○………………成………………○………………学………………○………………校………………○……………… … 学号：______________姓名：_____________班级：_______________考号：____________________座位号： __ 秘密★启用前| 2025—2026学年度第二学期0710期末质量检测试题 高一 数学 (参考答案) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 参考答案 D B C D B A C B 题号 9 10 11 12 13 14 参考答案 ABC ABD BD 160000 0.74 0.5 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1.复数(1+i)2(2+3i)的值为(　　) A.6-4i B.-6-4i C.6+4i D.-6+4i 答案:D 2.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做比例分配的分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A.101 B.808 C.1212 D.2012 解析:由题意得,解得N=808. 答案:B 3.某班级有50名学生,其中30名男生、20名女生.随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩,5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90, 5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.则下列说法正确的是 (　　) A.这种抽样方法是一种比例分配的分层随机抽样 B.这种抽样方法是一种简单随机抽样 C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 解析:若抽样方法是比例分配的分层随机抽样,则男生、女生应分别抽取6人、4人,所以A不正确;由题目看不出是简单随机抽样,所以B不正确;这5名男生成绩的平均数=90,这5名女生成绩的平均数=91,故这5名男生成绩的方差为×[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]=8,这5名女生成绩的方差为×[(88-91)2×2+(93-91)2×3]=6,所以这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差,但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数,所以C正确,D不正确. 答案:C 4．甲在聊天群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析:设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元,用数组(x,y,z)表示该试验的一个样本点,则样本空间Ω={(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2)},共10个样本点. 记事件A=“乙获得‘手气最佳’”,则A={(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2)},共有4个样本点,故P(A)=. 答案:D 5．如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= (　　) A. B. C. D.2 解析:以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),设正方形的边长为1,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),M,D(0,1),于是=(1,1),=(-1,1), 所以解得则λ+μ=. 答案:B 6．端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，，事件与事件相互独立，则（       ） A. B. C. D. 解析:由事件与事件相互独立，得， 所以 答案:A 7.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为2,则该三角形外接圆的半径为(　　) A.2 B.4 C D.3 解析:由三角形的面积公式,得2=acsin B=c,得c=4 ∵b2=a2+c2-2accos B=1+32-2×1×4=25,∴b=5. =2R(R为△ABC外接圆的半径),∴R= 答案:C 8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底面的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)(“斛”不是国际通用单位) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析:设米堆的底面半径为r,则r=8,故r=(尺),则V米堆=r2h5(立方尺). 因为1斛米的体积约为1.62立方尺,所以堆放的米约有÷1.62≈22(斛). 答案:B 二、多选题(本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),则下列结论正确的是(　　) A.若|m|=1,则λ=-1 B.若(m+n)⊥(m-n),则λ=-3 C.若m∥(m-n),则λ=0 D.若m·n=4,则λ=-3 解析:A中,|m|2=(λ+1)2+1=1,解得λ=-1.故A正确; B中,由(m+n)⊥(m-n),得(m+n)·(m-n)=m2-n2=0,即(λ+1)2+1=(λ+2)2+4,解得λ=-3.故B正确; C中,m-n=(-1,-1),由m∥(m-n),得-(λ+1)=-1,解得λ=0,故C正确; D中,由m·n=(λ+1)(λ+2)+2=4,得λ=-3或λ=0.故D错误. 答案:ABC 10．某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则(　　) A.该校女教师的人数为137 B.该校男教师的人数为123 C.该校女教师约占55% D.该校男教师约占47.3% 解析:A项中,由题图可知该校女教师的人数为110×70%+150×(1-60%)=77+60=137,故A正确;B项中,该校男教师的人数为110×30%+150×60%=33+90=123,故B正确;C项中,该校女教师所占比例为×100%≈52.7%,故C不正确;D项中,该校男教师所占比例为×100%≈47.3%,故D正确. 答案:ABD 11．如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(　　) A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBD C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45° 解析:∵PB在底面的射影为AB,AB与AD不垂直,∴AD与PB不垂直,故A不正确; 又BD⊥AB,BD⊥PA,AB∩PA=A,∴BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD, ∴平面PBD⊥平面PAB.故B正确; ∵BD∥AE,∴BD∥平面PAE,∴BC与平面PAE不平行,故C不正确; ∵PD与平面ABC所成的角为∠PDA,且在Rt△PAD中,AD=2AB=PA,∴∠PDA=45°,故D正确. 答案:BD 三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分。) 12.为了调查新疆卡拉麦里山野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回.一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚　　　　只.  解析:设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以=，解得x=160 000. 答案:160000 13．经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是　　　　　.  解析:P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74. 答案:0.74 14.从1,2,3,5这四个数中随机取出2个不同数,则它们差的绝对值为质数的概率为_______________. 解析:从1,2,3,5这四个数中随机取出2个不同数,共有种,所有可能的组合及其差的绝对值为： 若取1和2,,1不是质数； 若取1和3,,2是质数； 若取1和5,,4不是质数； 若取2和3,,1不是质数； 若取2和5,,3是质数； 若取5和3,,2是质数； 满足它们差的绝对值为质数的组合为、、,共3种,该事件概率为. 答案:. 四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明,证明过程，演算步骤。) 15．(13分)有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字(指针指到分界线上时重转).游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种： 方案A：猜“是奇数”或“是偶数”； 方案B：猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”； 方案C：猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”. 请回答下列问题： (1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？(5分) (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？(5分) (3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.(5分) 解:(1)方案A中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5； 方案B中，“是4的整数倍数”的概率为0.2，“不是4的整数倍数”的概率为0.8； 方案C中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4. 故选择方案B，猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大. (2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的. (3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性(答案不唯一). 16.(15分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状. 解:(1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2, 则cos A=,∵0°<A<180°,∴A=60°. (2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°. ∵sin B+sin C=,即sin B+sin(120°-B)=, ∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=,∴sin B+cos B=,即sin(B+30°)=1. ∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°.∴B+30°=90°,B=60°. ∴A=B=C=60°,△ABC为正三角形. 17．(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证: (1)直线DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点, 所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F, 所以直线DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1,因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1. 又因为A1C1⊥A1B1,AA1⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,且A1A∩A1B1=A1, 所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D. 又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F. 因为B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 18．(17分)在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的. (1)求乙答对这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率. 解:(1)记事件A=“甲答对这道题”,B=“乙答对这道题”,C=“丙答对这道题”,设P(B)=x,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,故A,B,C是相互独立事件. 由题意得,P()=P()P()=×(1-x)=,解得x=, 所以乙答对这道题的概率为. (2)设丙答对这道题的概率P(C)=y,由(1)得,P(BC)=P(B)P(C)=×y=,解得y=. 记事件M=“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”,则事件M的对立事件=“甲、乙、丙三人都回答错误”, 因为P()=P()=P()P()P()=. 所以所求概率P(M)=1-P()=1- . 19．(17分)为了选派学生参加“市中学生知识竞赛”，某校对本校名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图）．规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩分以下（不包括分）的学生则被淘汰． （1）求获得参赛资格的学生人数； （2）根据频率分布直方图，估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰．已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种答题方案，进入复赛的可能性更大？并说明理由． 解:（1）获得参赛资格的人数是：． （2）平均成绩：， 所以这名学生测试的平均成绩． （3）道备选题中学生甲会的道分别记为，，，不会的道分别记为，． 方案一：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，，共种， 抽中会的备选题的结果有，，，共种， 所以学生甲可参加复赛的概率． 方案二：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，，，，，，，共种， 抽中至少道会的备选题的结果有：，，，，，，，共种， 所以学生甲可参加复赛的概率， 因为，所以学生甲选方案二进入复赛的可能性更大． 第7页（共8页） 第8页（共8页） 第1页（共8页） 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 密封线内不准答题 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………金………………○………………成………………○………………学………………○………………校………………○……………… … 学号：______________姓名：_____________班级：_______________考号：____________________座位号： __ 2025—2026学年度第二学期0710期末质量检测试题 高一 数学 答卷注意事项： 1、 学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题。 2、 填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂。 3、 答题时字迹要清楚、工整 4、 本卷共19小题，总分为150分。 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1.复数(1+i)2(2+3i)的值为(　　) A.6-4i B.-6-4i C.6+4i D.-6+4i 2.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做比例分配的分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A.101 B.808 C.1212 D.2012 3.某班级有50名学生,其中30名男生、20名女生.随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩,5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90, 5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.则下列说法正确的是(　　) A.这种抽样方法是一种比例分配的分层随机抽样 B.这种抽样方法是一种简单随机抽样 C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 4．甲在聊天群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　) A. B. C. D. 5．如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(　　) A. B. C. D.2 6．端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，，事件与事件相互独立，则（   ） A. B. C. D. 7.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为2,则该三角形外接圆的半径为(　　) A.2 B.4 C D.3 8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底面的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 二、多选题(本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),则下列结论正确的是(　　) A.若|m|=1,则λ= -1 B.若(m+n)⊥(m-n),则λ= -3 C.若m∥(m-n),则λ= 0 D.若m·n=4,则λ= -3 10．某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则(　　) A.该校女教师的人数为137 B.该校男教师的人数为123 C.该校女教师约占55% D.该校男教师约占47.3% 11．如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(　　) A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBD C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45° 三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分。) 12.为了调查新疆卡拉麦里山野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回.一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚　　　　只.  13．经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是　　　　　.  14.从1,2,3,5这四个数中随机取出2个不同数,则它们差的绝对值为质数的概率为_______________. 四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明,证明过程，演算步骤。) 15．(13分)有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字(指针指到分界线上时重转).游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种： 方案A：猜“是奇数”或“是偶数”； 方案B：猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”； 方案C：猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”. 请回答下列问题： (1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？ (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？ (3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性. 16.(15分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状. 17． (15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上, 且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证: (1)直线DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 18．(17分)在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的. (1)求乙答对这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率. 19．(17分)为了选派学生参加“市中学生知识竞赛”，某校对本校名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图）．规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩分以下（不包括分）的学生则被淘汰． （1）求获得参赛资格的学生人数； （2）根据频率分布直方图，估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰． 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种答题方案，进入复赛的可能性更大？并说明理由． 第7页（共8页） 第8页（共8页） 第1页（共8页） 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $