专题2.3 全称量词命题与存在量词命题（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“全称量词命题与存在量词命题”核心知识点，从量词定义（全称/存在量词及符号）、命题形式，到类型识别、真假判定，再到命题否定及含参问题求解，构建“定义-判断-应用”的完整学习支架。 资料通过分层知识点（配即学即练）与梯度题型（典例+变式）设计，以“数学思维”培养逻辑推理（如含参命题分类讨论），“数学语言”训练精准表达（如命题否定符号化）。课中辅助教师高效教学，课后助力学生通过综合练习查漏补缺，强化知识应用。

专题2.3 全称量词命题与存在量词命题 教学目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 4.掌握命题否定的表示方法 教学重难点 1.重点 （1）理解全称、存在量词的含义，掌握两类命题的定义。 （2）能准确识别全称量词命题与存在量词命题。 （3）掌握两类量词命题真假的基本判定方法。 2.难点 （1）精准理解任意、存在的逻辑含义，规避思维误区。 （2）含参量词命题真假讨论，分类求解参数取值范围 知识点1 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有 的命题 形式 “对中 ,有成立”，可用符号简记为“” 【即学即练】 1.下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 知识点2 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有 的命题 形式 “ 中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 【即学即练】 1.下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 知识点3 判断全称量词命题与存在量词命题的真假 1.判断存在量词命题的真假 要判定一个存在量词命题为真，只需在给定集合中 ，使该命题成立；否则，命题为假。 2.判断全称量词命题的真假 要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合中的 ，该命题都成立；但要判定一个全称量词命题为假，只需在给定集合中找到一个元素，使该命题不成立即可 【即学即练】 1.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 知识点4 命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是 ． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是 ． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是 ． 【即学即练】 1.写出下列命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)有； (3)某箱产品中至少有一件次品； (4)方程有一个根是偶数； (5)使. 2.写出下列命题的否定，并判断否定后的命题的真假. (1)任意两个无理数的积是有理数； (2)存在某个菱形的对角线相等； (3)能被3整除的整数，其各位数字之和也能被6整除. 题型01 全称、存在量词命题的判断 【典例1】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【典例2】下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 【变式1】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【变式2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）任何一个实数除以1，仍等于这个数； （2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； （3），； （4），. 【变式3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【变式4】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 题型02 判断全称、存在量词命题的真假 【典例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数； (2)无限不循环小数是实数； (3)有些三角形是中心对称图形． （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题 【变式1】判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【变式2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【变式3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除; (2)线段的长度都能用正有理数表示; (3)，. 【变式4】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 题型03 全称、存在量词命题的求参问题 【典例1】若“，”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 【变式1】（多选）已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式2】若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【变式3】设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 题型04 全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断 【典例1】写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. （1）对量词命题否定的两个步骤：①改变量词；②否定结论 （2）量词命题否定后的真假判断 ①全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可； ②存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 【变式1】写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假： (1)，； (2)，； (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 【变式2】写出下列命题的否定，并判断否定后的命题真假： (1)，； (2)，使得； (3)，有； (4)，. 【变式3】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 【变式4】写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等； (4)：有些实数的绝对值是正数． 题型05 根据量词命题否定的真假求参数 【典例1】若命题“存在，使”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 已知命题为假命题求参数的值或取值范围时,通常转化为是真命题后,再求参数的值或取值范围 【变式1】使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【变式3】已知命题，． (1)写出命题p的否定； (2)若命题p是假命题，求实数k的取值范围． 【变式4】已知命题，命题． (1)写出命题p的否定，并判断当时命题p否定的真假（直接判断，无需说明理由）； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． 1．下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数；②有的平行四边形也是菱形；③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 3.若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 5.若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 6．指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 7．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 8．已知命题．命题． (1)写出两个命题的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围． 1．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（多选）不等式组的解集记为D，下列四个命题中真命题是（    ） A． B． C． D． 4.已知，且“对任意的，以1，2，为边长的三条线段不能构成三角形”是假命题，则的取值范围是______. 5.若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 6．已知，，若它们同时满足： ①，或； ②， 则m取值范围是______． 7．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 8．已知命题，，命题，. (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 全称量词命题与存在量词命题 教学目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 4.掌握命题否定的表示方法 教学重难点 1.重点 （1）理解全称、存在量词的含义，掌握两类命题的定义。 （2）能准确识别全称量词命题与存在量词命题。 （3）掌握两类量词命题真假的基本判定方法。 2.难点 （1）精准理解任意、存在的逻辑含义，规避思维误区。 （2）含参量词命题真假讨论，分类求解参数取值范围 知识点1 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 【即学即练】 1.下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 知识点2 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 【即学即练】 1.下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 知识点3 判断全称量词命题与存在量词命题的真假 1.判断存在量词命题的真假 要判定一个存在量词命题为真，只需在给定集合中找到一个元素，使该命题成立；否则，命题为假。 2.判断全称量词命题的真假 要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合中的每一个元素，该命题都成立；但要判定一个全称量词命题为假，只需在给定集合中找到一个元素，使该命题不成立即可 【即学即练】 1.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】利用全称，存在量词命题的定义进行判断，并判断命题的真假. 【详解】（1）（3）是全称量词命题，（2）（4）是存在量词命题． （1）菱形对角线所在直线为其对称轴，所以该命题是真命题． （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． （3）存在，但，所以该命题是假命题． （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是假命题． 知识点4 命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 【即学即练】 1.写出下列命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)有； (3)某箱产品中至少有一件次品； (4)方程有一个根是偶数； (5)使. 【答案】(1)存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交； (2)有； (3)某箱产品都是正品； (4)方程的每一个根都不是偶数； (5)有. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据全称量词命题、存在量词命题的否定分别为特称命题、全称命题，依次写出各命题的否定即可. 【详解】（1）“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”； （2）“有”的否定是“有”； （3）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是合格品”； （4）“方程有一个根是偶数”的否定是“方程的每一个根都不是偶数”； （5）“使”的否定是“有”. 2.写出下列命题的否定，并判断否定后的命题的真假. (1)任意两个无理数的积是有理数； (2)存在某个菱形的对角线相等； (3)能被3整除的整数，其各位数字之和也能被6整除. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】根据全称命题和特称命题的否定形式结合反例判定命题真假即可. 【详解】（1）否定形式为：存在两个无理数的积是无理数，该命题是真命题； （2）否定形式为：任意菱形的对角线不相等，该命题是假命题； （3）否定形式为：存在能被3整除的整数，其各位数字之和不能被6整除，该命题是真命题. 题型01 全称、存在量词命题的判断 【典例1】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可； 【详解】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 【典例2】下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 【变式1】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的定义求解即可. 【详解】存在量词命题指含有存在量词的命题， 故“一定存在没有最大值的二次函数”为存在量词命题，故D正确； 其他选项不含存在量词，故ABC错误. 故选：D. 【变式2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）任何一个实数除以1，仍等于这个数； （2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； （3），； （4），. 【答案】（1）全称量词命题；（2）存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）存在量词命题. 【分析】（1），（3）命题都是全称量词命题，具有形式“，”； （2），（4）两个命题都是存在量词命题，具有形式“，”. 【详解】（1）命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题. （2）命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题. （3）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题. （4）命题中含有存在量词“”，是存在量词命题. 【变式3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【答案】(1)全称量词命题，“所有”是全称量词 (2)全称量词命题，其中省略了全称量词“所有” (3)存在量词命题，“存在”是存在量词 (4)存在量词命题，“（即存在）”是存在量词 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义进行判断即可. 【详解】（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词； （2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”， 它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”； （3）“存在一个无理数x，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词； （4）“使”是存在量词命题，“（即存在）”是存在量词. 【变式4】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)全称量词命题 (4)存在量词命题 (5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题． 题型02 判断全称、存在量词命题的真假 【典例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数； (2)无限不循环小数是实数； (3)有些三角形是中心对称图形． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据全称量词命题的定义，结合可以被5整除的整数的特点判断即可； （2）根据全称量词命题的定义，结合数的分类判断即可； （3）根据存在量词命题的定义，结合中心对称图形的特点判断即可. 【详解】（1）该命题是全称量词命题. 因为末位是0的整数可以被10整除，10是5的倍数，所以原命题是真命题. （2）该命题是全称量词命题. 因为无限不循环小数是无理数，无理数属于实数，所以原命题是真命题. （3）该命题是存在量词命题. 因为所有的三角形都不是中心对称图形，所以原命题是假命题. （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题 【变式1】判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取，可得命题为假命题； （2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题； （3）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，取实数对，可得命题为真命题； （4）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，根据角平分线的性质可得命题为真命题. 【详解】（1）为全称量词命题，且为假命题，如取，则不成立. （2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式. （3）为存在量词命题，且为真命题，如取实数对，则成立. （4）为全称量词命题，且为真命题，根据角平分线的性质可判断. 【变式2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)全称量词命题，假命题 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题. 【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当时，为的约数，所以该命题为真命题． （4）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 当时，，所以该命题为假命题． 【变式3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除; (2)线段的长度都能用正有理数表示; (3)，. 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，假命题 (3)存在量词命题，真命题 【分析】含有全称量词的命题为全称题词命题，含有存在量词的命题为存在量词命题，并举例判断命题的真假. 【详解】（1）含有量词“至少”，故它是存在量词命题，99既能被11整除，又能被9整除，故此命题为真命题. （2）“线段的长度都能用正有理数表示”为全称量词命题，它是假命题，如线段的长度也可以是. （3）“，.”含有存在量词，故它是存在量词命题，当时命题成立，故此命题为真命题. 【变式4】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题； (2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得的实数x不存在，该命题是假命题． 题型03 全称、存在量词命题的求参问题 【典例1】若“，”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，且，分析得解. 【详解】因为，且， 所以等价于，则， 所以实数的取值范围为. 故选：C. （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 【变式1】（多选）已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】ABD 【分析】由自变量的取值范围以及不等式可得，可得结论. 【详解】根据题意可知不等式恒成立， 可得，即. 因此实数的值可以是. 故选：ABD 【变式2】若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可. 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 题型04 全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断 【典例1】写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【详解】（1）否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题； （2）否定为：. 当时，，故为假命题； （3）否定为：. 当时，，故为真命题. （4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. （1）对量词命题否定的两个步骤：①改变量词；②否定结论 （2）量词命题否定后的真假判断 ①全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可； ②存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 【变式1】写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假： (1)，； (2)，； (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 【答案】(1)，，为假命题 (2)，，为假命题 (3)存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题 【分析】（1）根据特称量词命题的否定为全量词命题写出其否定，再判断其真假； （2）（3）根据全称量词命题的否定为特称量词命题写出其否定，再判断其真假； 【详解】（1）命题“，”的否定为：，，为假命题； 因为当，，即命题，，为假命题； （2）命题“，”的否定为：，，为假命题； 因为恒成立，所以不存在使得， 故命题，，为假命题； （3）命题“所有三角形的三个内角都是锐角”的否定为：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题； 因为直角三角形、钝角三角形的三个内角不都是锐角，所以命题：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题. 【变式2】写出下列命题的否定，并判断否定后的命题真假： (1)，； (2)，使得； (3)，有； (4)，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）利用全称量词命题的否定的定义可求否定命题，再分类讨论与两种情况证得恒成立，从而可判断真假； （2）（3）（4）利用存在量词命题的否定的定义可求否定命题，再利用特殊值法可判断真假. 【详解】（1），的否定为， 当时，，当时，， 综上，不存在，所以“”为假命题； （2），使得的否定为，有， 因为当时，，所以“，有”是假命题； （3），有的否定为，使得， 因为当时，，所以“，使得”是真命题； （4），的否定为， 因为当时，，所以“”为假命题. 【变式3】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 【答案】(1)，假 (2)，假 (3)任意直角三角形都是等腰三角形，假 (4)，假 (5)，假 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的否定的方法写出否定，再结合命题判断其真假． 【详解】（1）全称命题的否定是特称命题，因此的否定是：，由平方的定义知任意实数的平方都是非负数，因此原命题的否定是假命题； （2）全称命题的否定是特称命题，的否定是：，事实上，当时，都有，因此原命题的否定是假命题； （3）至少有一个的反面是至多有0个，即没有一个，因此“有一个直角三角形不是等腰三角形”的否定是：没有直角三角形不是等腰三角形， 即任意直角三角形都是等腰三角形，例如边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，但不是等腰三角形，因此原命题的否定是假命题； （4）全称命题的否定是特称命题， 的否定是：， 由于，因此，不可能为，因此原命题的否定为假命题； （5）全称命题的否定是特称命题，的否定是：，由平方的定义知只有或时才有，因此原命题的否定是假命题． 【变式4】写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等； (4)：有些实数的绝对值是正数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】先求出命题的否定，再判断真假即可. 【详解】（1）因为，所以． 显然当时，，所以命题为假命题，的否定为真命题． （2）因为：不论取何实数，关于的方程必有实数根，所以：存在实数，关于的方程没有实数根． 当时，方程有实根；当时，方程的判别式，故命题为真命题，命题的否定为假命题． （3）因为：有的平行四边形的对角线相等，所以：所有平行四边形的对角线都不相等．命题是真命题，命题的否定是假命题． （4）因为：有些实数的绝对值是正数，所以：所有实数的绝对值都不是正数．命题为真命题，命题的否定是假命题． 题型05 根据量词命题否定的真假求参数 【典例1】若命题“存在，使”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出给定命题的否定，再借助一元二次不等式恒成立列式求解作答. 【详解】命题“存在，使”是假命题，则，恒成立， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 已知命题为假命题求参数的值或取值范围时,通常转化为是真命题后,再求参数的值或取值范围 【变式1】使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题是假命题可得命题是真命题，从而可得，再根据包含关系可得. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题，所以. 所以的一个必要不充分条件. 故选：A 【变式2】已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【答案】A 【详解】p，q都是假命题．由p：∃，为假命题， 得∀，，∴. 由q：∀，为假，得∃， ∴，得或. ∴. 故选A. 【变式3】已知命题，． (1)写出命题p的否定； (2)若命题p是假命题，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全称量词命题的否定即可得解； （2）由题意得为真命题，结合能成立问题的解法即可得解. 【详解】（1）因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 而，， 所以. （2）因为为假命题，所以是真命题， 所以，即，故， 因为， 所以. 【变式4】已知命题，命题． (1)写出命题p的否定，并判断当时命题p否定的真假（直接判断，无需说明理由）； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）直接由全称命题的否定为特称命题写出答案，再判断真假； （2）由命题p和均为真命题，分别结合恒成立及判别式列式得到实数的取值范围. 【详解】（1）命题p的否定：， 当时，命题p的否定是一个真命题． （2）命题p和均为真命题，所以是真命题，是假命题， 命题是真命题，所以，恒成立，所以； 是假命题，所以关于的方程没有实数根． ，解得． 综上，实数的取值范围是． 1．下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数；②有的平行四边形也是菱形；③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是全称量词命题． 2．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可． 【详解】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题； 对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意； 对于D，时，，则是真命题，符合题意． 故选：D． 3.若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而可求得的取值范围. 【详解】由命题 “”为真命题，即不等式在上恒成立， 所以，当，可得，所以. 故选：D. 4．（多选）下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】使用全称量词命题，命题的否定，充分条件与必要条件的判断方法求解. 【详解】“至少有一个x，使成立”是特称量词命题，A选项错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 当时，，，，C选项错误； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 5.若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据存在性问题为真，可推得，利用函数单调性即可求出的取值范围. 【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 6．指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】利用全称量词、存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义即可得出结果． 【详解】（1）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，； （2）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，方程恰有一个实数解； （3）“有”是存在量词，该命题可表示为：； （4）“存在”是存在量词，该命题可表示为：． 7．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再利用平面直角坐标系中有序实数对的性质即可判断真假； （2）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，举例子即可判断其真假； （3）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再通过举反例即可判断真假； （4）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，再利用配方法即可判断其真假. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是全称量词命题，且是真命题. （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是存在量词命题，且是真命题. （3）存在， 但，所以该命题是全称量词命题，且是假命题. （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是存在量词命题，且是假命题. 8．已知命题．命题． (1)写出两个命题的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合含有量词的命题的否定即可求解； （2）结合含有量词的命题的真假，列出不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以非， 因为， 所以； （2）因为，所以， 又，故，故， 命题． 即，又，故． 综上，当两个命题都是真命题时，的取值范围为． 1．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，恒成立，从而可得. 【详解】命题“，”是假命题， 则命题“，”是真命题， 当时，恒成立， 即时，都有使得成立， 所以时，都有使得不成立. 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：D. 2．已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是， 故选：A 3.（多选）不等式组的解集记为D，下列四个命题中真命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】作出不等式组的表示的区域，对四个选项分别画出的平面区域与区域逐一分析即可,注意对全(特)称命题的理解. 【详解】作出图形如下： 由图知，区域为直线与相交的上部角型区域， ：区域D在区域的上方，故：成立； ：在直线的右上方和区域重叠的区域内，，故：正确； ：由图知，区域有部分在直线的上方，因此：错误； ：的区域（左下方的虚线区域）恒在区域下方，故：错误； 故选：AB． 4.已知，且“对任意的，以1，2，为边长的三条线段不能构成三角形”是假命题，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可得“存在，使得以1，2，为边长的三条线段能构成三角形”是真命题，进而结合三角形的性质可得，进而求解即可. 【详解】由题意，“存在，使得以1，2，为边长的三条线段能构成三角形”是真命题， 则，即，则， 而，所以， 则的取值范围是. 故答案为：. 5.若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围. 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： 6．已知，，若它们同时满足： ①，或； ②， 则m取值范围是______． 【答案】 【分析】由条件①可得及当时，再由条件②寻找的零点与的关系得解. 【详解】由，得，即， ，或，则当时，恒成立，于是， 此时的根为， 于是，，又，解得； 又，，显然，则，，而， 即，，显然，否则，，不符合题意， 当，即时，，解得，此时，符合题意，因此； 当，即时，，解得，与矛盾， 所以m取值范围是. 故答案为: 7．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【详解】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 8．已知命题，，命题，. (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）原命题为假命题则命题的否定为真命题，然后讨论二次项系数，结合二次不等式即可求得结果； （2）原命题为假命题则命题的否定为真命题，讨论的取值，然后求得的取值范围.通过讨论命题为真命题和为假命题，或命题为假命题和为真命题，建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】（1）命题为假命题，，为真命题， 则或，解得； （2）若命题为假命题，则，为真命题， 则当时，，则，解得， 当时，在恒成立，∴， ∴. 若命题和中有且仅有一个是假命题， 则或，解得或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $