18 重点强化练（十八）概率分布中的决策类问题（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 以概率分布为核心，通过实际情境问题构建决策模型，培养用数学思维分析优化选择的能力，突出数学建模与数据决策的应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方案选择|1题|双方案获奖概率比较|独立事件概率→互斥事件概率→大小比较| |得分决策|2题|投篮/竞赛得分期望与方案选择|分布列构建→期望计算→参数影响分析| |答题策略|4题|答题顺序对通过概率及期望的影响|条件概率→期望公式→顺序优化逻辑| |设备采购|5题|备件数量决策的成本期望最小化|频率估计概率→分布列→期望成本计算|

重点强化练(十八)　概率分布中的决策类问题 1.解:(1)设小明选择方案一获得奖金的概率为P1, 则P1=ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)+abc=ab+ac+bc-2abc. 设小明选择方案二获得奖金的概率为P2,则P2=ab+ac+bc=(ab+ac+bc). (2)小明应选择方案一.理由如下: 由(1)得P1-P2=ab+ac+bc-2abc-(ab+ac+bc)=(ab+ac+bc)-2abc=(ab+ac+bc-3abc)=(ab-abc+ac-abc+bc-abc)=[ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)], 因为a,b,c∈(0,1),所以1-a,1-b,1-c∈(0,1), 即P1-P2=[ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)]>0,则P1>P2, 故小明应选择方案一. 2.解:(1)易知X的可能取值为4,7,10, P(X=10)=××=, P(X=7)=××+××+××=, P(X=4)=1--=, 所以X的分布列为 X 4 7 10 P 所以EX=×10+×7+×4=. (2)若小王同学选择方法2参加比赛,则小王同学得分Y的可能取值为4-m,7-m,10-m, P(Y=10-m)=××=+, P(Y=7-m)=××+××+××=+n, P(Y=4-m)=1--=-n, 则EY=×(10-m)+×(7-m)+×(4-m)=-m+5n. 当EY<EX,即-m+5n<,即m>5n时,选择方法1; 当EY>EX,即-m+5n>,即m<5n时,选择方法2; 当EY=EX,即-m+5n=,即m=5n时,选择两种方法都可以. 3.解:(1)设甲正确回答M1类问题为事件A,正确回答M2类问题为事件B, 则P(A)=0.5,P(B)=0.6. X的可能取值为0,20,30,50, P(X=0)=P(∩)=[1-P(A)]·[1-P(B)]=0.5×0.4=0.2, P(X=20)=P(∩B)=[1-P(A)]·P(B)=0.5×0.6=0.3, P(X=30)=P(A∩)=P(A)·[1-P(B)]=0.5×0.4=0.2, P(X=50)=P(A∩B)=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3, 所以X的分布列为 X 0 20 30 50 P 0.2 0.3 0.2 0.3 所以EX=0×0.2+20×0.3+30×0.2+50×0.3=27. (2)设甲正确回答M3类问题为事件C,则P(C)=0.8.设甲从M1,M3两类问题中各抽取一个问题回答的累计得分为X1,则X1的可能取值为0,10,30,40,P(X1=0)=P(∩)=[1-P(A)][1-P(C)]=0.5×0.2=0.1, P(X1=10)=P(∩C)=[1-P(A)]×P(C)=0.5×0.8=0.4, P(X1=30)=P(A∩)=P(A)·[1-P(C)]=0.5×0.2=0.1, P(X1=40)=P(A∩C)=P(A)·P(C)=0.5×0.8=0.4, 所以X1的分布列为 X1 0 10 30 40 P 0.1 0.4 0.1 0.4 所以EX1=0×0.1+10×0.4+30×0.1+40×0.4=23. 设甲从M2,M3两类问题中各抽取一个问题回答的累计得分为X2,则X2的可能取值为0,10,20,30, P(X2=0)=P(∩)=[1-P(B)][1-P(C)]=0.4×0.2=0.08, P(X2=10)=P(∩C)=[1-P(B)]×P(C)=0.4×0.8=0.32, P(X2=20)=P(B∩)=P(B)·[1-P(C)]=0.6×0.2=0.12, P(X2=30)=P(B∩C)=P(B)·P(C)=0.6×0.8=0.48, 所以X2的分布列为 X2 0 10 20 30 P 0.08 0.32 0.12 0.48 所以EX2=0×0.08+10×0.32+20×0.12+30×0.48=20. 结合(1),因为20<23<27,所以甲应该从M1,M2两类问题中各抽取一个问题回答. 4.解:(1)按A→B→C的顺序答题,X的可能取值为1,2,3, 则P(X=1)=p1,P(X=2)=(1-p1)p2,P(X=3)=(1-p1)(1-p2), 所以X的分布列为 X 1 2 3 P p1 (1-p1)p2 (1-p1)(1-p2) (2)小张考试通过的概率不受答题顺序的影响,理由如下: 由题意,小张没有通过考试的情况只有三类问题全部答错, 所以小张考试通过的概率均为1-(1-p1)(1-p2)(1-p3). (3)应按A→B→C的顺序答题,理由如下: 由0<p3<p2<p1<1得,1-p1>0,1-p2>0,1-p3>0,p2-p1<0,p3-p1<0,p3-p2<0. 若按A→B→C的顺序答题,设X1为此时小张的累计答题数目,由(1)得EX1=1×p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)=3-2p1-p2+p1p2. 若按A→C→B的顺序答题,设X2为此时小张的累计答题数目, 则P(X2=1)=p1,P(X2=2)=(1-p1)p3,P(X2=3)=(1-p1)(1-p3), 所以EX2=1×p1+2(1-p1)p3+3(1-p1)(1-p3)=3-2p1-p3+p1p3, 则EX1-EX2=(3-2p1-p2+p1p2)-(3-2p1-p3+p1p3)=p3-p2-p1(p3-p2)=(1-p1)(p3-p2)<0,则EX1<EX2. 若按B→A→C的顺序答题,设X3为此时小张的累计答题数目,同理可得EX3=3-2p2-p1+p2p1. 若按B→C→A的顺序答题,设X4为此时小张的累计答题数目,同理可得EX4=3-2p2-p3+p2p3, 则EX3-EX4=(1-p2)(p3-p1)<0,则EX3<EX4. 若按C→A→B的顺序答题,设X5为此时小张的累计答题数目,同理可得EX5=3-2p3-p1+p3p1. 若按C→B→A的顺序答题,设X6为此时小张的累计答题数目,同理可得EX6=3-2p3-p2+p3p2, 则EX5-EX6=(1-p3)(p2-p1)<0,则EX5<EX6. 所以累计答题数目的期望的最小值是EX1,EX3,EX5中的最小值. EX1=3-2p1-p2+p1p2=3-p1-p2+p1p2-p1, EX3=3-2p2-p1+p2p1=3-p2-p1+p2p1-p2, 所以EX1<EX3. EX3-EX5=(3-2p2-p1+p2p1)-(3-2p3-p1+p3p1)=3-2p2-p1+p2p1-3+2p3+p1-p3p1=(p2-p3)(p1-2)<0, 所以EX3<EX5, 所以EX1<EX3<EX5, 所以应按A→B→C的顺序答题. 5.解:(1)由题得X的可能取值为16,17,18,19,20, P(X=16)=×=,P(X=17)=2××=,P(X=18)=×+2××=, P(X=19)=2××=,P(X=20)=×=, 故X的分布列为 X 16 17 18 19 20 P (2)因为P(X≤18)==<,而P(X≤19)==>, 所以n的最小值为19. (3)若X≤n,则Y=300n-100(n-X)=200n+100X, 若X>n,则Y=300n+800(X-n)=800X-500n. 若n=16,则Y1的可能取值为4800,5600,6400,7200,8000, 故Y1的分布列为 Y1 4800 5600 6400 7200 8000 P 此时EY1=4800×+5600×+6400×+7200×+8000×=6880. 若n=17,则Y2的可能取值为5000,5100,5900,6700,7500, 故Y2的分布列为 Y2 5000 5100 5900 6700 7500 P 此时EY2=5000×+5100×+5900×+6700×+7500×=6408. 若n=18,则Y3的可能取值为5200,5300,5400,6200,7000, 故Y3的分布列为 Y3 5200 5300 5400 6200 7000 P 此时EY3=5200×+5300×+5400×+6200×+7000×=6020. 若n=19,则Y4的可能取值为5400,5500,5600,5700,6500, 故Y4的分布列为 Y4 5400 5500 5600 5700 6500 P 此时EY4=5400×+5500×+5600×+5700×+6500×=5835. 若n=20,则Y5的可能取值为5600,5700,5800,5900,6000, 故Y5的分布列为 Y5 5600 5700 5800 5900 6000 P 此时EY5=5600×+5700×+5800×+5900×+6000×=5860. 综上,EY取得最小值时n的值为19. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十八)概率分布中的决策类问题 解答题:本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.电视台组织有奖答题活动,指定了三道题目,选手有两种答题方案可选. 方案一:回答这三道题目,至少有两道答对则获得奖金; 方案二:在这三道题中,随机选两道,这两道题都答对则获得奖金. 假设小明对三道指定题目答对的概率分别为a,b,c(均不为0或1),且三道题目是否答对相互之间没有影响. (1)分别求小明选择方案一和方案二时获得奖金的概率. (2)要想使获得奖金的可能性更大,小明应选择哪种答题方案?请说明理由. 2.为增加学生对篮球运动的兴趣,学校举办趣味投篮比赛,第一轮比赛的规则为:选手需要在距离罚球线1米,2米,3米的A,B,C三个位置分别投篮一次.在三个位置均投进得10分;在C处投进,且在A,B两处至少有一处未投进得7分;其余情况(包括A,B,C三处均不投进)保底得4分.已知小王在A,B,C三处投篮的命中率分别为,,,且在三处的投篮相互独立. (1)设X为小王同学在第一轮比赛中的得分,求X的分布列和期望. (2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法. 方法1:按第一轮比赛规则进行比赛; 方法2:选手可以选择在C处缩短投篮距离0.5米,但总得分会减少m(1≤m≤3)分.选手可以任选一种规则参加比赛. 若小王同学在C处缩短投篮距离0.5米后,投篮命中率会增加n.请你根据统计知识,帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好. 3.[2026·江西多校9月联考] 某知识竞赛中有M1,M2,M3三类问题.参赛者从这三类问题中抽取两个问题进行回答,要求这两个问题属于不同类别.回答正确一个M1,M2,M3类问题分别得30分,20分,10分,回答错误得0分.已知甲参与了该竞赛,且甲能正确回答M1,M2,M3类问题的概率分别为0.5,0.6,0.8,每道问题回答正确与否相互独立,设甲的累计得分为X. (1)若甲从M1,M2两类问题中各抽取一个问题回答,求X的分布列及期望; (2)为使得累计得分更高,试分析,甲应该从哪两类问题中抽取问题回答. 4.[2025·广东广州天河区模拟] 小张参加某项专业能力考试.该考试有A,B,C三类问题,考生可以自行决定三类问题的答题顺序,回答问题时按答题顺序从某一类问题中随机抽取一个问题回答,若回答正确则考试通过,若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答,依此规则,直到三类问题全部答完,仍没有答对,则考试不通过.已知小张能正确回答A,B,C三类问题的概率分别为p1,p2,p3,且每个问题的回答结果相互独立. (1)若小张按照A→B→C,即A在先,B次之,C最后的顺序回答问题,记X为小张的累计答题数目,求X的分布列. (2)小张考试通过的概率会不会受答题顺序的影响,请作出判断并说明理由. (3)设0<p3<p2<p1<1,为使累计答题数目的期望最小,小张应如何安排答题顺序?并说明理由. 5.[2026·重庆八中模拟] 某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备.每套设备有一关键传感器,在五年使用期内可能需更换(设备使用五年后淘汰).购进设备时,可额外购买该传感器作为备件,每个成本为300元.在使用期间,若备件不足需紧急采购,则每个800元.五年后未使用的备件可由厂家回购,每个回购价为100元.现需决策购买设备时应同时购买几个备件,为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据,得到如下频数分布表: 每套设备更换个数k 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率.记随机变量X为两套设备五年内共需更换的传感器的个数,n为购买设备时同时购买的备件数. (1)求X的分布列; (2)若要求P(X≤n)≥,求n的最小值; (3)记备件的净成本为Y元,以期望值EY为决策依据,求EY取得最小值时n的值. 学科网（北京）股份有限公司 $