17 重点强化练（十七）随机变量及其分布（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦随机变量及其分布，以分层题型构建从概念到应用的完整训练体系，强化数据分析与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |离散型随机变量|4题|分布列性质、方差计算、超几何分布|从概率性质到数字特征的概念深化| |常见分布|3题|二项分布最可能值、几何分布推广|特殊分布的模型构建与期望推导| |正态分布|2题|参数求解、概率计算|结合实际问题的分布特征应用| |综合应用|6题|条件概率、比赛模型、利润决策|多知识点交叉的数学建模与逻辑推理|

重点强化练(十七)随机变量及其分布 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·福建部分优质高中4月模拟] 随机变量X的分布列如表格所示,其中2b=a+c,则b等于 (　 )　 X -1 0 1 P a b c A. B. C. D. 2.一批产品根据质量指标分为正品和次品,且次品率为,随机抽取1件产品,定义X=则随机变量X的方差DX= (　 ) A. B. C. D. 3.有10件产品,其中3件是次品,从中不放回地任取2件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)= (　 ) A. B. C. D.1 4.某机场进行数据分析,发现航班延误小时数Y与航班起飞前雷暴雨发生时间X(单位:小时)存在一定关系,具体数据如下表: X 0<X<1 1≤X<2 2≤X<3 X≥3 Y 1 3 4 4.5 根据机场多年数据统计,X小于1,2,3的概率分别为0.4,0.7,0.9,若某航班起飞前已经发生了1小时雷暴雨,则其延误时间不超过4小时的概率为 (　 ) A. B. C. D. 5.抛掷一枚质地均匀的硬币8次,若正面朝上k次的概率最大,则k= (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 6.[2025·江西红色十校联考] 某百货商场为促销举办抽奖活动,设有两种奖券:甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4,每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5,每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券,再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次,且其中有1张甲奖券中奖,则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为 (　 ) A.0.12 B.0.2 C.0.25 D.0.32 7.[2026·安徽皖南八校联考] 已知随机变量X,Y均服从正态分布,其中X~N(0,1),且X+2Y=2,设函数F(x)=P(|Y-2x|<1),则F(x)的图象大致为 (　 ) A B C D 8.我们知道,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发生的次数X服从二项分布,记作B~(n,p).事实上,在无限次伯努利试验中,另一个随机变量的实际应用也很广泛,即事件A首次发生时试验进行的次数Y,显然P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,我们称Y服从“几何分布”,经计算得EY=.由此推广,在无限次伯努利试验中,试验进行到事件A和都发生后停止,此时所进行的试验次数记为Z,则P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1,k=2,3,4,…,那么EZ= (　 ) A. B.-1 C.+1 D. 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2026·南通9月调研] 设样本空间Ω={1,2,3,4},已知事件A={1,2},B={1,3},C={1,4},则 (　 ) A.A与B互斥 B.B与C相互独立 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(A|C)=P(C|A) 10.某老旧小区进行设备节能改造工程,小区内共有400户,其中大户型有250户,其余均为小户型.现采用分层随机抽样的方法选取80户来统计节能效果,结果显示抽取的a户大户型平均每月可节约用电12度,抽取的b户小户型平均每月可节约用电8度.已知该小区所有住户每月可节约用电的度数X近似服从正态分布N(μ,9),μ近似为样本均值,则(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) (　 ) A.a=50,b=30 B.μ=11.5 C.P(10.5≤X≤13.5)≈0.477 2 D.该小区每月可节约用电的度数低于4.5的约有9户 11.[2025·浙江北斗星盟三模] 在足球训练课上,A,B两位同学进行“点球”比赛,规则为:比赛共进行5轮,在每轮比赛中,两人各罚点球一次,射中得1分,射不中得0分.已知A,B每次点球射中的概率分别为PA,PB,(PA,PB∈(0,1)),若5轮比赛后A,B的总得分分别为XA,XB,则下列结论正确的是 (　 ) A.若EXA<EXB,则PA<PB B.P(XA=XB=3)≠P(XA∶XB=2∶3) C.若0<PA<PB<,则DXA<DXB D.若当且仅当k=2时,P(XA=k)(k=0,1,2,3,4,5)取得最大值,则<PA< 三、填空题:本题共3小题. 12.离散型随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1,2,…,15),a为常数,则a=　　　　.  13.[2025·福州高级中学模拟] 现有两个罐子,1号罐子中装有3个红球、2个黑球,2号罐子中装有2个红球、3个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子,再从2号罐子中取出一个球,则从2号罐子中取出的球是红球的概率为　　　　.  14.甲、乙两人进行羽毛球比赛,采用五局三胜制(每局比赛没有平局,先胜三局者赢得比赛且比赛结束).第一局甲获胜的概率为,之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响,设甲每局比赛获胜的概率为pi(i=1,2,3,4,5),其中p1=,若甲上局获胜,则甲下一局获胜的概率比上局获胜的概率更大且满足pi+1=pi+p(p>0),若甲上局未获胜,则甲下一局获胜的概率为pi+1=pi-p.若甲、乙三局结束比赛的概率为,则四局结束比赛并且甲赢得比赛的概率为　　　　.  四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2026·济南模拟] 有四个相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,将这些小球随机排成一列. (1)求标有数字2和4的小球不相邻的概率; (2)一个排列中,若两个相邻小球上的数字之和为5,则称这两个小球为一组“友好球”,设X表示排列中“友好球”的组数,求X的分布列和数学期望. 16.[2025·苏州三模] 现有甲、乙两台机器生产一批零件,甲生产出的零件内径X(单位:mm)服从正态分布N(10,1),乙生产出的零件内径Y(单位:mm)服从正态分布N(8,4). (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2,且两台机器工作状态相互独立.设一天内发生故障的机器台数为Z,求Z的分布列. (2)若生产出的零件内径小于8 mm,则每件亏损2元;若内径大于10 mm,则每件亏损8元;其余尺寸的零件,则每件获利20元.已知每天每台机器生产1000件零件,试比较哪一台机器每天生产出的零件的平均利润更大. 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5. 17.某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动. (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自A中学,从这7名中学生中选取3名中学生,求选取的中学生中来自A中学的人数X的分布列和数学期望. (2)在夏令营活动中,物理学科夏令营举行了一次学科知识竞答活动,规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两道题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为p1,p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响. (i)求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率P; (ii)当p1+p2=时,求P的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十七)随机变量及其分布 1.A　[解析] 根据题意,由分布列的性质可得解得b=.故选A. 2.D　[解析] 由题意知EX=1×+0×=,所以DX=×+×=.故选D. 3.C　[解析] 由题意知P(X=0)==,P(X=1)==,所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=.故选C. 4.D　[解析] 由题可得P(X≥1)=1-P(0<X<1)=0.6,P(1≤X<3)=0.9-0.4=0.5,故P(Y≤4|X≥1)=P(X<3|X≥1)===.故选D. 5.A　[解析] 抛掷一枚质地均匀的硬币8次,设正面朝上X次,则X~B,则正面朝上k次的概率为P(X=k)==,当k=4时,取得最大值.故选A. 6.C　[解析] 设事件A=“恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖”,事件B=“恰好中奖2次且均为甲奖券中奖”,则P(A)=0.4×0.4×0.5+×0.4×0.6×0.5=0.32,P(B)=0.42×0.5=0.08,又A∩B=B,所以所求概率为P(B|A)====0.25.故选C. 7.B　[解析] F(x)=P(|Y-2x|<1)=P(2x-1<Y<2x+1),因为Y=1-,所以F(x)=P,即F(x)=P(-4x<X<4-4x),则F(1-x)=P[-4(1-x)<X<4-4(1-x)]=P(4x-4<X<4x),因为X~N(0,1),所以根据对称性可知F(x)=F(1-x),所以函数F(x)的图象关于直线x=对称,排除A,C;当x=时,F=P(-2<X<2)=P(-2σ<X<2σ)≈0.954 5,排除D.故选B. 8.B　[解析] 因为P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,所以EY=故选B. 9.BD　[解析] 对于A,因为A={1,2},B={1,3},所以A∩B={1}≠⌀,故A错误;对于B,因为B∩C={1},所以P(BC)=,又P(B)=P(C)=,所以P(BC)=P(B)P(C),所以B与C相互独立,故B正确;对于C,因为A∩B∩C={1},所以P(ABC)=,又P(A)=P(B)=P(C)=,所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),故C错误;对于D,因为P(A)=P(C)=,A∩C={1},所以P(AC)=,所以P(A|C)===,P(C|A)===,故D正确.故选BD. 10.AD　[解析] 由分层随机抽样可得a=80×=50,b=80-50=30,故A正确;根据题意知=12×+8×=10.5,故B错误;因为μ=10.5,σ=3,所以μ+σ=13.5,所以P(10.5≤X≤13.5)≈=0.341 35,故C错误;因为μ-2σ=4.5,P(X<μ-2σ)≈=0.022 75,所以该小区每月可节约用电的度数低于4.5的约有400×0.022 75=9.1≈9(户),故D正确.故选AD. 11.ACD　[解析] 由题得,随机变量XA~B(5,PA),XB~B(5,PB).对于A,EXA=5PA,EXB=5PB,若EXA<EXB,则PA<PB,故A正确;对于B,假设P(XA=XB=3)=P(XA∶XB=2∶3),则(1-PA)2(1-PB)2=(1-PA)3(1-PB)2,化简整理得PA=1-PA,即PA=,所以当且仅当PA=时,P(XA=XB=3)=P(XA∶XB=2∶3),故B错误;对于C,由题意得,DXA=5PA(1-PA),DXB=5PB(1-PB),所以DXA-DXB=5(PA-PB)[1-(PA+PB)],若0<PA<PB<,则PA-PB<0,1-(PA+PB)>0,所以DXA-DXB<0,即DXA<DXB,故C正确;对于D,由题意得,P(XA=k)=(1-PA)5-k,若当且仅当k=2时,P(XA=k)(k=0,1,2,3,4,5)取得最大值,则解得<PA<,故D正确.故选ACD. 12.　[解析] P(X=n)==a(-),因为P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=15)=1,所以a[(-1)+(-)+…+(-)]=a(-1)=1,解得a=. 13.　[解析] 设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”,事件B1表示“从1号罐子中取出的球是红球”,事件B2表示“从1号罐子中取出的球是黑球”,则P(B1)=,P(B2)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=. 14.　[解析] 若三局结束比赛,则三局均为甲获胜,或者三局均为乙获胜.若三局均为甲获胜,则概率P'=××=p2+p+;若三局均为乙获胜,则概率P″=××=p2+p+.由题得P'+P″=p2+p++p2+p+=2p2+p+=,即250p2+195p-22=0,解得p=或p=-(舍去),所以p=.若四局结束比赛且甲赢得比赛,则需甲以3∶1获胜,因此第四局必须是甲获胜,前三局甲获胜两局即可.甲在第1,2,4局获胜的概率P1=×××==;甲在第1,3,4局获胜的概率P2=×××=;甲在第2,3,4局获胜的概率P3=×××=.所以四局结束比赛并且甲赢得比赛的概率P=P1+P2+P3===. 15.解:(1)记“标有数字2和4的小球不相邻”为事件A, 则P(A)==, 所以标有数字2和4的小球不相邻的概率为. (2)X的所有可能取值为0,1,2, P(X=2)==, P(X=1)==, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=,所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故EX=0×+1×+2×=1. 16.解:(1)由题得Z的所有可能取值为0,1,2. P(Z=0)=(1-0.1)×(1-0.2)=0.9×0.8=0.72, P(Z=1)=0.1×(1-0.2)+(1-0.1)×0.2=0.1×0.8+0.9×0.2=0.08+0.18=0.26, P(Z=2)=0.1×0.2=0.02, 所以Z的分布列为 Z 0 1 2 P 0.72 0.26 0.02 (2)对于甲机器,已知甲生产出的零件内径X~N(10,1),则μ1=10,σ1=1,P(X<8)=P(X<10-2×1)≈=0.022 75, P(X>10)==0.5, P(8≤X≤10)≈0.954 5÷2=0.477 25,则甲机器每天生产出的零件的平均利润约为 1000×[0.022 75×(-2)+0.5×(-8)+0.477 25×20] =1000×(-0.045 5-4+9.545) =1000×5.499 5=5499.5(元). 对于乙机器,已知乙生产出的零件内径Y~N(8,4),则μ2=8,σ2=2, P(Y<8)==0.5, P(Y>10)=P(Y>8+1×2)≈=0.158 65, P(8≤Y≤10)≈0.682 7÷2=0.341 35,则乙机器每天生产出的零件的平均利润约为 1000×[0.5×(-2)+0.158 65×(-8)+0.341 35×20] =1000×(-1-1.269 2+6.827) =1000×4.557 8=4557.8(元). 因为5499.5>4557.8,所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大. 17.解:(1)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故EX=0×+1×+2×+3×=. (2)(i)设甲答对的题数为X1,则X1~B(2,p1);设乙答对的题数为X2,则X2~B(2,p2). 设A=“甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜”, 则P=P(A)=P(X1=1)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=1)+P(X1=2)P(X2=2)=p1(1-p1)+p2(1-p2)+=2p1(1-p1)+2p2(1-p2)+=-3+2p1+2p2. (ii)因为p1+p2=,所以P=P(A)=-3+p1p2. 因为0≤p1≤1,0≤p2≤1,且p1+p2=,所以≤p1≤1,则p1p2=p1=p1-,又≤p1≤1,所以p1p2∈. 设t=p1p2,则t∈, 所以P=-3t2+t=-3+,t∈, 由二次函数的性质可知,当t=时,P取得最大值, 故P的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $