16 重点强化练（十六）直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线的位置关系，通过多样化题型构建解析几何问题的完整解决方案。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆锥曲线|8选择+3填空|含参数方程求法、焦点弦长计算、中点弦问题|从方程联立到韦达定理应用，构建代数方法解决几何问题的逻辑链| |圆与圆锥曲线|3选择+1填空|切线方程求解、最值问题、存在性证明|融合圆的几何性质与圆锥曲线定义，体现数形结合思想| |综合应用|3解答题|轨迹方程推导、位置关系证明、参数范围探究|从基础计算到综合论证，形成问题解决的完整思维路径|

重点强化练(十六)直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.过点Q(1,4)且斜率为1的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,若|AB|=2,则p的值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.7 2.已知椭圆C:+=1的一个焦点为F,过点F且垂直于椭圆C长轴的直线l与C的一个交点为A,则|AF|= (　 ) A. B. C.4 D.2 3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与直线y=2x+1相交于A,B两点,若弦AB的中点M的横坐标为1,则双曲线C的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±6x C.y=±x D.y=±x 4.[2025·内蒙古包头模拟] 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,P为C上的动点,点A(1,-1),则取得最小值时,直线PA的斜率为 (　 ) A. B. C.1 D.-1 5.[2025·天津河西区模拟] 若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A,B,则p的取值范围是 (　 ) A. B. C. D.(-∞,0)∪ 6.[2025·湖北襄阳三模] 过双曲线C:-y2=1(a>0)右支上的点P作C的切线l,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,N为切线l上的一点,且ON∥F1P,其中O为坐标原点.若|ON|=2,则双曲线的离心率为 (　 ) A. B. C.2 D. 7.[2025·黑龙江大庆模拟] 已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,1),B(-2,2),动点P满足=,点Q为抛物线C:y2=4x上一动点且Q在抛物线准线上的投影为R,则|PB|+|PQ|+|QR|的最小值为 (　 ) A. B.2 C.2+ D.2 8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,点Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若|PQ|-|PF|的最小值为2-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正确的是 (　 ) A.椭圆C的焦距为1 B.椭圆C的短轴长为 C.|PQ|+|PF|的最小值为2 D.过点F的圆E的切线斜率为 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.以下四个关于圆锥曲线的说法中,正确的是 (　 ) A.在平面直角坐标系内,到点(-1,2)和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是抛物线 B.设A,B为两个定点,若|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹为双曲线 C.方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D.若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为2 10.[2025·河北邯郸模拟] 已知O为平面直角坐标系的原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2,过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,则 (　 ) A.当AB与x轴垂直时,|AB|=2 B.∠AOB是钝角 C.设点A的横坐标为xA,点B的横坐标为xB,则xA·xB=1 D.延长AO与准线交于D,则BD∥OF 11.[2025·山东泰安模拟] 已知F1,F2分别为双曲线x2-y2=2的左、右焦点,P为双曲线右支上一点且满足|PF2|=|F1F2|,直线PF1与圆x2+y2=r2(r>0)有公共点,则下列说法正确的是 (　 ) A.双曲线的虚轴长为2 B.·=12 C.r的取值范围为 D.过点(,1)且与双曲线有一个公共点的直线有3条 三、填空题:本题共3小题. 12.若直线x+ky+3=0与双曲线-=1有且只有一个交点,则实数k的值是　　　　.  13.与椭圆+=1和抛物线y2=x都相切的直线的方程为　　　　　　　　.  14.过抛物线y2=4x上一动点P作圆C:(x-3)2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·贵州模拟] 已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点(-4,2),直线l经过抛物线C的焦点F,且l与C在第一象限的交点为A.以F为圆心,|FA|为半径的圆与y轴负半轴交于点B. (1)求C的方程; (2)若坐标原点O到直线l的距离为,求直线l的方程; (3)试判断直线AB与抛物线C的位置关系,并给出证明. 16.[2025·河北邯郸模拟] 已知双曲线C的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(,2),B(1,0)两点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点,且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为,求直线l的方程. 17.已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0). (1)求椭圆C的方程. (2)已知点M0(-1,4),证明:线段F2M0的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点. (3)是否存在坐标平面上的定圆D使得线段F2M(M是定圆D上的动点)的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点T?若存在,证明M,T,F1三点共线;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十六)直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线 1.D　[解析] 由题得直线方程为y=x+3.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2py+6p=0,令Δ=4p2-24p>0,则p>6,所以y1+y2=2p,y1·y2=6p.由|AB|=,得2=×,可得p=7.故选D. 2.B　[解析] 不妨设F(c,0),则c==1,由解得故|AF|=.故选B. 3.A　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×(2×1+1)=6,=2.因为A,B两点均在双曲线C上,所以所以-=0,则===2×=6,即=,故双曲线C的渐近线方程是y=±x.故选A. 4.B　[解析] 由题知抛物线C的准线方程为y=-1.过点P作准线的垂线,垂足为H,如图.由抛物线的定义知|PF|=|PH|, 则==sin∠PAH.由图可知,当直线PA与抛物线相切且直线PA的斜率为负值时,取得最小值.设直线PA:y+1=k(x-1),由得x2-4kx+4k+4=0,所以Δ=16k2-16(k+1)=0,可得k2-k-1=0,解得k=或k=(舍).故选B. 5.C　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px上关于直线x+y-1=0对称的两点,则=2px1①,=2px2②,由①-②得-=2p(x1-x2),整理得=,又kAB=1,所以=1,所以y1+y2=2p.设AB的中点为M(x0,y0),则y0===p,又M在直线x+y-1=0上,所以x0=1-y0=1-p,则M(1-p,p).因为M在抛物线内部,所以-2px0<0,即p2-2p(1-p)<0,解得0<p<,所以p的取值范围是.故选C. 6.B　[解析] 设切线l与x轴的交点为B,如图所示. 设P(x0,y0),x0>a,则过点P的切线方程为-yy0=1,令y=0,得x=,则B,所以|OB|=,|BF1|=+c=+,|PF1|== =x0+a.因为ON∥F1P,所以=,即=, 整理得a(a-2)(a2+x0)=0,因为a2+x0>0,a>0,所以a=2,则c==,所以e==.故选B. 7.B　[解析] 设P(x,y),则==,整理得(x+2)2+y2=2,所以点P的轨迹是以(-2,0)为圆心,半径r=的圆.由抛物线C:y2=4x,可得其准线方程为x=-1,因为抛物线上的点到焦点F(1,0)的距离与到准线x=-1的距离相等,所以|QR|=|QF|,所以|PB|+|PQ|+|QR|=|PA|+|PQ|+|QF|=(|PA|+|PQ|+|QF|),显然当且仅当A,P,Q,F四点共线(P,Q在A,F中间)时,|PA|+|PQ|+|QF|取得最小值,又|AF|==,所以|PB|+|PQ|+|QR|≥×=2,即|PB|+|PQ|+|QR|的最小值为2.故选B. 8.D　[解析] 对于A,因为椭圆C的长轴长与圆E的直径长相等,所以2a=4,即a=2,设椭圆C的左焦点为F'(-c,0),连接PF',如图,由椭圆的定义可知|PF'|+|PF|=2a=4,所以|PQ|-|PF|=|PQ|-(4-|PF'|)=|PQ|+|PF'|-4≥|QF'|-4≥|EF'|-2-4=2-6,所以|EF'|=2=,解得c=1或5,因为c<a=2,所以c=1,则椭圆C的焦距为2c=2,故A错误;对于B,由b===,得椭圆C的短轴长为2,故B错误;对于C,|PQ|+|PF|≥|QF|≥|EF|-|EQ|=-2=4-2,故C错误;对于D,若过点F的切线的斜率不存在,则切线方程为x=1,圆心(-3,4)到切线x=1的距离为4,不符合题意,所以过点F的切线的斜率存在,设过点F的切线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,则==2,解得k=,故D正确.故选D. 9.CD　[解析] 对于A,点(-1,2)在直线2x+3y-4=0上,所以到点(-1,2)和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是过点(-1,2)且与直线2x+3y-4=0垂直的直线,故A不正确;对于B,A,B为两个定点,只有当||PA|-|PB||=2>|AB|时,动点P的轨迹才是以A,B为焦点的双曲线,故B不正确;对于C,由2x2-5x+2=0,解得x1=∈(0,1),x2=2∈(1,+∞),所以两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,故C正确;对于D,若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则圆心到直线的距离d=>2,则m2+n2<4,所以+<+=1-<1,则点P(m,n)在椭圆的内部,所以过点P(m,n)的直线与椭圆+=1相交,所以直线与椭圆的交点个数为2,故D正确.故选CD. 10.BCD　[解析] 由抛物线C:y2=2px的焦点到准线的距离为2,可得p=2,则F(1,0).当AB与x轴垂直时,直线AB的方程为x=1,把x=1代入y2=4x得y2=4,则y=±2,所以|AB|=2|y|=4,故A错误;当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),由消去x得ky2-4y-4k=0,设A(xA,yA),B(xB,yB),则yAyB=-4,当直线l的斜率不存在时,yAyB=(-2)×2=-4,所以xAxB=·===1,故C正确;·=(xA,yA)·(xB,yB)=xAxB+yAyB=1-4=-3<0,又点O不在直线AB上,所以∠AOB是钝角,故B正确;直线OA的方程为y=x,令x=-1,得点D的纵坐标yD=-,又因为xA=,所以yD=-,又因为yAyB=-4,所以yD=-=yB,则BD∥OF,故D正确.故选BCD. 11.BC　[解析] 对于A,双曲线的标准方程为-=1,则b2=2,所以b=,则双曲线的虚轴长为2,故A错误;对于B,设P(m,n),由题得F1(-2,0),F2(2,0),由|PF2|=|F1F2|,可得=4,两边平方可得m2+n2-4m-4=0①,因为点P在双曲线上,所以m2-n2=2②,由①②可得m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1(舍去),则n2=7,所以·=(-2-m,-n)·(2-m,-n)=m2-4+n2=9-4+7=12,故B正确;对于C,由B知,P的坐标为(3,)或(3,-),由对称性不妨取P(3,),则直线PF1的方程为y=(x+2),即x-y+=0,故圆心(0,0)到直线PF1的距离d==≤r,即r≥,故C正确;对于D,若直线的斜率不存在,显然满足题意,若直线的斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-),联立直线方程与双曲线方程,消去y得(1-k2)x2+(2k2-2k)x-2k2+2k-3=0,当1-k2=0,即k=±1时,满足题意,当1-k2≠0时,由Δ=0,解得k=,综上可得,过点(,1)且与双曲线有一个公共点的直线有4条,故D错误.故选BC. 12.±　[解析] 易知直线x+ky+3=0恒过定点(-3,0),则直线不可能与双曲线相切.要满足有且只有一个交点,则直线必平行于双曲线的渐近线,因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以-=±,解得k=±. 13.x+3y+15=0或x-3y+15=0　[解析] 由已知得,公切线的斜率不为0.设公切线方程为x=my+t.由得(4m2+9)y2+8mty+4t2-180=0,其判别式Δ1=64m2t2-4(4m2+9)(4t2-180)=0,即-20m2+t2-45=0①.由得y2-my-t=0,其判别式Δ2=m2+t=0②.由①②,解得m=±3,t=-15,所以椭圆和抛物线的公切线方程为x+3y+15=0或x-3y+15=0. 14.4　[解析] 由题意知圆C:(x-3)2+y2=4的圆心为C(3,0),半径为2,如图,由题知PA⊥AC,PB⊥BC,则S四边形PACB=2×|PA|·|CA|=2|PA|,又|PA|==,所以当|PC|最小时,|PA|最小,则S四边形PACB最小.P在抛物线y2=4x上,设P(t2,2t),则|PC|= ==,当t2=1时,(t2-1)2+8取得最小值8,即|PC|取得最小值2,则|PA|=取得最小值2,故S四边形PACB=2|PA|的最小值为4. 15.解:(1)因为点(-4,2)在抛物线C:x2=2py(p>0)上, 所以(-4)2=2p×2,解得p=4, 所以C的方程为x2=8y. (2)易知F(0,2),直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0, 因为坐标原点O到直线l的距离为,所以=,解得k=±1, 所以直线l的方程为y=±x+2. (3)直线AB与抛物线C相切.证明如下: 设A(x0,y0),B(0,t),则=8y0. 由|FA|=|FB|,得y0+2=2-t,解得t=-y0,即B(0,-y0),所以直线AB的方程为y=x-y0. 由消去y得x2-x+8y0=0, 所以Δ=-4×8y0=32. 因为=8y0,所以Δ=32=32(y0-y0)=0, 所以直线AB与抛物线C相切. 16.解:(1)由题意知该双曲线的焦点在x轴上,设其方程为-=1(a>0,b>0).根据双曲线C过B(1,0)知a=1,又双曲线C过A(,2), 所以2-=1,解得b2=4,所以双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)直线l与双曲线C有且只有一个公共点,且l与坐标轴正半轴围成三角形,分两种情况: 当直线l与双曲线的一条渐近线y=-2x平行时,设直线l的方程为y=-2x+t,t>0, 此时三角形的面积S=××t=,可得t=,所以直线l的方程为2x+y-=0; 当直线l与双曲线相切时,直线l的斜率显然存在且小于0,设其方程为y=kx+m(k<0,且m>0), 由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4=0, 所以k2≠4且Δ=-16(k2-m2-4)=0,即k2=m2+4,则三角形的面积S=m·=m×=,可得m=2, 所以k2=12+4=16,可得k=-4,所以直线l的方程为4x+y-2=0. 综上,直线l的方程为2x+y-=0或4x+y-2=0. 17.解:(1)由题知椭圆C的焦点在x轴上.设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,又因为椭圆C的离心率为,所以a=2,所以b2=3, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)证明:由M0(-1,4),F2(1,0)得直线M0F2的斜率为-2,线段F2M0的中点的坐标为(0,2), 所以线段F2M0的垂直平分线的方程为y=x+2. 由得x2+2x+1=0,因为Δ=4-4=0,所以直线与椭圆相切,解得x=-1,y=, 故线段F2M0的垂直平分线与C恰有一个公共点. (3)假设存在符合条件的圆D,由(2)知M0(-1,4)在圆D上,由对称性知M1(-1,-4)也在圆D上,F2关于椭圆右顶点的对称点M2(3,0)也在圆D上. 因为线段M0M1的垂直平分线方程为y=0,线段M0M2的垂直平分线上的点(x,y)的坐标满足(x+1)2+(y-4)2=(x-3)2+(y-0)2, 即线段M0M2的垂直平分线方程为x-y+1=0, 所以由解得 则D(-1,0),且|DM2|=4, 所以过M0(-1,4),M1(-1,-4),M2(3,0)三点的圆的方程为(x+1)2+y2=16. 下面证明此圆符合条件: 设M(x0,y0)在圆(x+1)2+y2=16上,则(x0+1)2+=16. 当y0=0时,F2M的垂直平分线方程为x=-2或x=2,直线x=-2和直线x=2均与椭圆C相切,符合条件; 当y0≠0时,F2M的垂直平分线方程为y=-x+, 设k=-,b=, 由得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0, 因为Δ'=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2),其中4k2+3-b2=4+3- = = =0,所以MF2的垂直平分线与椭圆C相切,符合条件. 所以满足条件的圆D存在,其方程为(x+1)2+y2=16. 由根与系数的关系得切点T的横坐标xT=-=, T的纵坐标yT=kxT+b==,所以T, 因为=,==== ,所以M,T,F1三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $