15 重点强化练（十五）焦点弦（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线焦点弦问题，系统覆盖椭圆、抛物线、双曲线三大类型，以题载知，强化定义、几何性质与代数运算的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆焦点弦|4题|弦长计算、性质类比、焦点三角形内切圆|从椭圆定义出发，结合直线倾斜角与方程联立，应用弦长公式及定义转化| |抛物线焦点弦|5题|焦半径、垂直焦点弦、几何性质（如直径圆相切）|基于抛物线定义与焦半径公式，通过韦达定理关联弦长与斜率| |双曲线焦点弦|4题|弦长与直线条数、焦点三角形及离心率|结合双曲线定义与渐近线，分析直线与右支交点情况及弦长计算|

重点强化练(十五)焦点弦 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·湖南邵阳一联] 经过椭圆+y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,则|AB|= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.[2025·北京海淀区模拟] 设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线上的一点P作l的垂线,垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|= (　 ) A. B. C. D. 3.[2025·河南南阳模拟] 过双曲线2x2-y2=2的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有 (　 ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 4.已知抛物线y2=4x的焦点是F,直线AB,CD均过焦点F且互相垂直,则+的值是 (　 ) A. B. C. D. 5.已知双曲线方程为-=1(a>0,b>0),F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过F2的直线l与双曲线的右支相交于A,B两点,且∠F1AB=,tan∠ABF1=,则双曲线的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2025·吉林长春一模] 抛物线有一个性质:“过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB满足|AF|+|BF|=|AF||BF|.”那么类比抛物线,对于椭圆+=1,若存在实数λ,使得|AF2|+|BF2|=λ|AF2||BF2|成立,则实数λ= (　 ) A. B. C. D. 7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),其准线与x轴交于点K,若线段BF的垂直平分线恰好过K,则|AB|= (　 ) A. B. C. D.2 8.[2025·河南南阳模拟] 已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P,A,B为椭圆上三个不同的点,直线PA的方程为x=2,且∠APB的平分线经过点Q(1,0),设△AF1F2,△BF1F2的内切圆的半径分别为r1,r2,则= (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2025·江苏连云港模拟] 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上的动点,则下列说法正确的是 (　 ) A.椭圆的离心率为 B.△PF1F2的面积的最大值为 C.|PF1|·|PF2|的取值范围为[3,4] D.若H(1,1),则|PF1|+|PH|的最大值为6 10.[2025·河南信阳一模] 已知双曲线E:-=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=10,过F1的直线l与双曲线E的右支交于点P,若∠F1PF2=,则 (　 ) A.双曲线E的渐近线方程为y=±2x B.3|PF1|=4|PF2| C.直线l的斜率为± D.点P的坐标为或 11.抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,过A,B分别作C的准线的垂线,垂足分别为P,Q,则下列说法正确的是 (　 ) A.以线段AF为直径的圆与y轴相切 B.PF⊥QF C.|PQ|2=|AF||BF| D.当=2时,|AB|= 三、填空题:本题共3小题. 12.[2025·湖南长沙一模] 过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为30°的直线,交双曲线于A,B两点,则|AB|=　　　　.  13.已知椭圆C:+y2=1,过右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,若|AF|>|BF|,则=　　　　.  14.[2025·重庆八中一模] 已知抛物线E:y2=4x,过点F(1,0)的直线l与抛物线E交于A,B两点,且=,则直线l的斜率为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十五)焦点弦 1.A　[解析] 由题可知a2=2,b2=1,∴c==1,∴F(1,0),∴直线l的方程为y=(x-1).由消去y整理得7x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=|x1-x2|===.故选A. 2.C　[解析] 由抛物线的性质,可得|PF|=|PQ|,又∠PQF=30°,所以PF的倾斜角为120°,则|PF|+|PQ|=|PF|+|PF|=p=2,可得|PF|=.故选C. 3.D　[解析] 由2x2-y2=2,可得x2-=1,当直线l的斜率不存在时,|AB|===4,此时有1条直线符合要求;当直线l的斜率存在时,若A,B两点都在右支上,因为|AB|>=4,所以不符合要求;若A,B在左、右两支上,因为|AB|=4>2a=2,根据双曲线的对称性知,有2条直线符合要求.综上,这样的直线共有3条.故选D. 4.D　[解析] 该抛物线的焦点F的坐标为(1,0),因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直,所以两直线的斜率存在且不等于零.设AB的斜率为k,则CD的斜率为-,直线AB的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则|AB|=x1+x2+p=+2=,同理可得|CD|=4(k2+1),所以+=+==.故选D. 5.C　[解析] 如图, 由题意,设|AF1|=5m,则|AB|=12m,|BF1|=13m,设|AF2|=n,则|BF2|=12m-n,因为A,B都在双曲线上,所以|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a,即5m-n=13m-(12m-n)=2a,解得m=,n=,又|F1F2|=2c===a,所以c=a,则离心率e==.故选C. 6.B　[解析] 由题意可知F2(1,0),且当直线l的斜率为0时,|AF2|+|BF2|=2a=4,|AF2||BF2|=(a+c)(a-c)=a2-c2=b2=3,则λ==;当直线l的斜率不为0时,可设直线l的方程为x=my+1,由消去x整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,由得x1+x2=m(y1+y2)+2=-+2=,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=--+1=-,又|AF2|=2-x1,|BF2|=2-x2,|AF2|+|BF2|=λ|AF2||BF2|,所以4-(x1+x2)=λ,即4-=λ,则λ=.故选B. 7.A　[解析] 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,点K(-1,0).由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,将其代入抛物线方程,得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则Δ=(2k2+4)2-4k2×k2=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=1,线段BF的中点坐标为,垂直平分线的斜率为-.线段BF的垂直平分线方程为y-=-,即y-=-,代入K(-1,0)的坐标,化简得-k2(x2-1)=x2+3,则x2=,结合x1+x2=,x1x2=1,得+=,则k4-6k2-3=0,可得k2=3+2,则x1+x2==-2,则|AB|=x1+x2+p=-2+2=.故选A. 8.C　[解析] 由+=1,得a=2,b=2,c=2,由题意可知|AF2|=|PF2|===,|AF1|=2a-|AF2|=3,|F1F2|=2c=4,由=r1=|AF2||F1F2|=2,得r1==2-. 因为tan∠F2PQ===,所以tan∠F2PB===2,所以kPB==,所以直线PB的方程为y=(x-2)+,即x-2y+2=0,令y=0得x=-2,故直线PB经过点F1.由 消去x整理得10y2-8y-4=0,所以yB=-=-,则yB=-.同理可得r2= ===,所以==5.故选C. 9.BC　[解析] 对于A,由椭圆方程知a=2,b=,c=1,∴椭圆的离心率e==,故A错误.对于B,设P(x0,y0),则=|F1F2|·|y0|=|y0|,∴当点P为椭圆短轴的端点时,△PF1F2的面积取得最大值,故B正确.对于C,由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|·|PF2|=|PF1|·(4-|PF1|)=-+4|PF1|=-(|PF1|-2)2+4,∵=a-c=1,=a+c=3,∴当|PF1|=2时,|PF1|·|PF2|取得最大值4,当|PF1|=1或3时,|PF1|·|PF2|取得最小值3,∴|PF1|·|PF2|的取值范围为[3,4],故C正确.对于D,由椭圆定义知|PF1|=4-|PF2|,∴|PF1|+|PH|=4+|PH|-|PF2|≤4+|F2H|(当且仅当P,F2,H三点共线,且F2在H,P之间时取等号),又|F2H|=1,∴|PF1|+|PH|≤5,∴|PF1|+|PH|的最大值为5,故D错误.故选BC. 10.ABD　[解析] 对于A,由题可知|F1F2|=2=10,可得a=1,又b=2,所以双曲线E的渐近线方程为y=±x=±2x,故A正确;对于B,因为点P在右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a=2①,因为∠F1PF2=,所以+==100②,由①②可得|PF1|=8,|PF2|=6,所以3|PF1|=4|PF2|,故B正确;对于C,若点P在第一象限,则直线l的斜率为tan∠PF1F2===,若点P在第四象限,由对称性可知,直线l的斜率为-,综上所述,直线l的斜率为±,故C错误;对于D,设P(x,y),则x≥1,且x2-=1,可得y2=24x2-24,所以|PF1|=== =5x+1=8,解得x=,则y2=24×-24=,可得y=±,所以P,故D正确.故选ABD. 11.ABD　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2). 对于A,由抛物线定义知,|AF|=x1+1,线段AF中点的横坐标x0==|AF|,即线段AF的中点到y轴的距离是|AF|,所以以线段AF为直径的圆与y轴相切,故A正确;对于B,由题意知,F(1,0),显然直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+1,易知P(-1,y1),Q(-1,y2),由得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,因为kPF==-,kQF==-,所以kPFkQF==-1,所以PF⊥QF,故B正确;对于C,因为|PQ|2=|y1-y2|2=(y1+y2)2-4y1y2=16m2+16,|AF||BF|=|x1+1||x2+1|=(my1+2)·(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4m2+4,所以|PQ|2=4|AF||BF|,故C错误;对于D,当=2时,1-x1=2(x2-1),即x1+2x2=3,又x1x2=·=1,所以x1=2,x2=,所以|AB|=x1+x2+p=+2=,故D正确.故选ABD. 12.8　[解析] 由x2-y2=4,得a=b=2,c=2,则F(2,0),直线AB的倾斜角θ=30°. 方法一:直线AB的斜率k=,则直线AB的方程为x=y+2.由消去x得y2+2y+2=0,由根与系数的关系知则|AB|= |y1-y2|=2=2=8. 方法二:|AB|===8. 13.3　[解析] 方法一:由题意知,a=2,b=1,所以c=,即F(,0),故直线l的方程为y=(x-).由消去y整理得9x2-16x+20=0,解得x=或x=,因为|AF|>|BF|,所以xA=,xB=,所以==3. 方法二:设直线AB的倾斜角为α,由|AF|>|BF|可知|AF|=,|BF|=. 由题意知a=2,b=1,则c=,因为斜率=tan α,所以cos α=,所以===3. 方法三:由题意知e=,直线l的斜率k=,设=λ(λ>1),由焦比定理知e=·,即=·,解得λ=3,即=3,所以=3. 14.±　[解析] 当直线l的斜率大于0时, 过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,过点B作AA1的垂线,垂足为H.设|BF|=2m,则|AF|=5m,由抛物线的定义可知,|AA1|=|AF|=5m,|BB1|=|BF|=2m,所以|AH|=|AA1|-|A1H|=|AA1|-|BB1|=3m,|AB|=|AF|+|BF|=7m,|BH|==2m.在Rt△ABH中,tan∠BAH===,则直线l的斜率k=tan∠AFx=tan∠BAH=.由对称性可知,当直线l的斜率小于0时,k=-.故直线l的斜率为±. 学科网（北京）股份有限公司 $