14 重点强化练（十四）焦点三角形与离心率（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦椭圆与双曲线焦点三角形的几何性质，通过14道题系统训练离心率计算与范围、面积及内切圆等核心考法，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|单选1-2题|渐近线倾斜角、焦点三角形面积计算|从曲线定义出发，结合a,b,c关系推导离心率| |范围求解|单选3/7/14题|角度条件、内心性质求离心率范围|通过余弦定理、面积公式建立不等关系| |综合应用|单选8/11题|椭圆与双曲线共焦点、光学性质综合|融合多曲线定义，运用数形结合分析几何量关系|

重点强化练(十四)焦点三角形与离心率 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.若双曲线-=1(a>b>0)一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的离心率e为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C. D. 2.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若C上一点A到y轴的距离为,则△AF1F2的面积为 (　 ) A.4 B.2 C.2 D. 3.[2025·北京石景山区期末] 已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,满足∠F1MF2=的点M总在椭圆C的内部,则椭圆C的离心率的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B. C. D. 4.已知F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,过点F1与x轴垂直的直线与双曲线C交于A,B两点,若△ABF2是等边三角形,则双曲线C的离心率为 (　 ) A. B.+1 C. D. 5.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P在椭圆C上,若△PF1F2的内切圆的半径为,则|PO|=(　 ) A.2 B. C. D. 6.[2026·江苏如皋调研] 双曲线C:-=1的右支上一点P在第一象限,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,M为△PF1F2的内心,若内切圆M的半径为1,则直线PF1的斜率为 (　 ) A. B. C. D. 7.[2025·山东泰安模拟] 已知P为椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点,M,N是椭圆C上的点,O为坐标原点.若四边形OPMN满足=+,∠PON∈,则椭圆C的离心率的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 8.[2026·浙江嘉兴一模] 已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1,F2,M是它们的一个公共点,且∠F1MF2=,若C1的离心率为,则C2的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=2,则下列说法中正确的是 (　 ) A.|PF1|=5,|PF2|=3 B.离心率为 C.△PF1F2的面积为12 D.△PF1F2的外接圆面积为 10.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,若∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则下列说法正确的是 (　 ) A.若S=4,则|PF2|=2 B.若θ=60°,则S=4 C.若△PF1F2为锐角三角形,则S∈(4,8) D.若△PF1F2的重心为G,随着点P的运动,点G的轨迹方程为9x2-=1 11.[2026·重庆一中月考] 椭圆具有特殊的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆C:+y2=1(a>1),其左、右焦点分别是F1,F2,P为椭圆C上任意一点,△PF1F2的面积的最大值为,椭圆C在点P处的切线为l,过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M,且∠F1PM=∠F2PM,Q(0,2),则下列结论正确的是 (　 ) A.a=2 B.|PQ|+|PF2|的最大值为4+ C.当点P的横坐标为1时,△PF1F2的内切圆半径r= D.若|PM|=|MF2|,则|PF1|=3|PF2| 三、填空题:本题共3小题. 12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且满足PF1⊥F1F2,∠F1PF2=60°,则双曲线的离心率为　　　　.  13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的点,且在第一象限,PA是∠F1PF2的平分线,过点F2作PA的垂线,垂足为B,若|PF2|=m,|OB|=b-m,m∈R,O为坐标原点,则椭圆C的离心率是　　　　.  14.[2026·湖南长沙雅礼中学月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,P是双曲线C的上支上的任意一点(不在y轴上),PF2与x轴交于点A,△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B,若|AB|>2b,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(十四)焦点三角形与离心率 1.C　[解析] 由双曲线方程可知,该双曲线的渐近线方程为y=±x,因为双曲线一条渐近线的倾斜角为30°,a>b>0,所以=tan 30°=,即a=b,所以a2=3b2,即a2=3(c2-a2),即3c2=4a2,所以e2=,所以e=.故选C. 2.B　[解析] 由题意知,点A的横坐标为xA=±,代入x2-=1得yA=±,又|F1F2|=2=4,所以△AF1F2的面积为×4×=2.故选B. 3.C　[解析] 由∠F1MF2=,可知MF1⊥MF2,故点M在以F1F2为直径的圆上,则圆在椭圆内部,所以c<b,所以e2==<,所以e∈.故选C. 4.D　[解析] 因为△ABF2是等边三角形,所以|F1F2|=|BF1|,因为|AB|=,所以|BF1|=|AB|=,所以·=2c,即c2-2ac-a2=0,所以·e2-2e-=0,即(e-)(e+1)=0,所以e=.故选D. 5.C　[解析] 由+=1得a2=4,b2=3,则a=2,c==1,所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+2=6.设P(x0,y0),△PF1F2的内切圆的半径为r,则=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r=|F1F2|·|y0|,所以|y0|=·r=×=,则x0=0,所以|PO|=.故选C. 6.D　[解析] 由-=1可得a=3,F1(-5,0),F2(5,0),设圆M与△PF1F2三边PF1,F1F2,PF2分别相切于点R,N,Q,则|PF1|-|PF2|=|PR|+|RF1|-|QF2|-|PQ|=|RF1|-|QF2|=|NF1|-|NF2|=2a=6,又|NF1|+|NF2|=|F1F2|=10,所以|NF1|=8,|NF2|=2,所以|ON|=|OF2|-|NF2|=3,所以N(3,0).因为MN⊥x轴,所以M(3,1),则tan∠MF1N==, 所以直线PF1的斜率=tan 2∠MF1N===.故选D. 7.B　[解析] 由题意知P(-a,0),由=+可知四边形OPMN为平行四边形,则M,N关于y轴对称,设M,N(不妨设t>0),将点N的坐标代入椭圆方程可得t=b,因为∠PON∈,设α为直线ON的倾斜角,则α∈, 所以tan α===∈,所以∈,所以e==∈,所以椭圆C的离心率的取值范围为.故选B. 8.A　[解析] 不妨设椭圆C1:+=1(a>b>0),双曲线C2:-=1(m>0,n>0),因为它们有相同的焦点,所以a2-b2=m2+n2=c2.不妨设点M在第一象限,且|MF1|=t1,|MF2|=t2,因为点M在椭圆C1上,所以即可得t1t2=4(a2-c2),由=,可得a=c,所以t1t2=4=c2.因为点M在双曲线C2上,所以即可得3t1t2=4(c2-m2),所以3×c2=4(c2-m2),即m2=c2,所以m=c,所以双曲线C2的离心率e2==.故选A. 9.ABD　[解析] 由题可得,a=4,b=2,c==2,则|PF1|+|PF2|=2a=8,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3,故A正确;离心率e==,故B正确;因为=25=+,所以PF2⊥F1F2,所以=×3×4=6,故C错误;因为△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的外接圆直径为线段PF1,则该圆的半径为,面积为,故D正确.故选ABD. 10.BD　[解析] 焦点△PF1F2的面积公式S==.对于A,由x2-=1,得a2=1,b2=4,则a=1,b=2,c=,当S=4时,θ=90°,由可得|PF2|=2,故A不正确;对于B,当θ=60°时,S=4,故B正确;对于C,当∠F1PF2=90°时,S=4,当∠PF2F1=90°时,S=4,因为△PF1F2为锐角三角形,所以S∈(4,4),故C不正确;对于D,设G(x,y),P(x0,y0)(x0>1),则-=1(x0>1),由题设知F1(-,0),F2(,0),则所以点G的轨迹方程为9x2-=1,故D正确.故选BD. 11.ABD　[解析] 对于A,由+y2=1,可得b=1,∵△PF1F2的面积的最大值为,∴×2c×b=,解得c=,∴a==2,故A正确;对于B,由+y2=1,可得F1(-,0),F2(,0),且|QF1|=,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF2|=4-|PF1|,则|PQ|+|PF2|=4+|PQ|-|PF1|≤4+|QF1|=4+,当且仅当P,Q,F1三点共线,且P位于QF1的延长线上时,等号成立,故B正确;对于C,当点P的横坐标为1时,代入椭圆的方程,可得yP=±,不妨取点P的坐标为,则△PF1F2的面积=×2c×=,△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+2,设△PF1F2的内切圆的半径为r,∴lr=,即(4+2)r=,解得r=,故C不正确;对于D,由椭圆的光学性质,可得点P与l垂直的直线为∠F1PF2的角平分线,则==,设==k,则|PF1|=k|PF2|,且|F1M|=k|F2M|,∵|PF1|+|PF2|=4,且|F1M|+|F2M|=2,∴|MF2|=,|MF1|=,|PF1|=,|PF2|=,且|PM|=|MF2|,又cos∠F1PM=cos∠F2PM, ∴= ,整理得k2-4k+3=0,解得k=1或k=3,当k=1时,==1,此时点M与点O重合,不符合题意,∴k=3,∴|PF1|=3|PF2|,故D正确.故选ABD. 12.　[解析] 设F1(-c,0),F2(c,0),由题意可得xP=-c,代入双曲线方程,得yP=±b=±.在Rt△F1PF2中,tan∠F1PF2=tan 60°==,所以=,即c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-=0,可得e=. 13.　[解析] 延长F2B交PF1于点E,可得|EF1|=2a-2m,|PF2|=|PE|=m,易知B为EF2的中点,O为F1F2的中点,所以|OB|=|EF1|=a-m=b-m,所以a=b,所以e===. 14.　[解析] 设该内切圆在PF1,PA上的切点分别为D,E,由切线长定理可得|AB|=|AE|,|PD|=|PE|,|F1B|=|F1D|,又|PF2|-|PF1|=2a,|AF1|=|AF2|,所以|PA|+|AF1|-|PF1|=2a,所以|AE|+|PE|+|AB|+|BF1|-|PF1|=2a,所以|AB|+|PD|+|AB|+|F1D|-|PF1|=2a,所以2|AB|=2a,所以|AB|=a,因为|AB|>2b,所以a>2b,所以<,又>0,所以e===∈. 学科网（北京）股份有限公司 $