第4单元 10 第29讲 多三角形背景下解三角形（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦多三角形背景下解三角形综合应用，通过6道典型题构建“定理综合-图形转化-方程求解”的知识逻辑链，强化逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多三角形综合应用|6道（含角平分线、平面四边形等）|多三角形关联（含四边形），结合角平分线、面积等条件，需建立边角关系|正弦定理、余弦定理、面积公式、角平分线定理的综合应用，通过图形转化构建方程求解|

第29讲　多三角形背景下解三角形 1.解:(1)由c=b-acos C和正弦定理,可得sin C=sin B-sin A·cos C, 因为sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin C=sin Acos C+sin Ccos A-sin Acos C,即sin C=sin C·cos A, 又sin C≠0,所以cos A=. 因为0<A<π,所以A=. (2)因为AD平分∠CAB,所以==2,所以AB=6.因为S△ABC=S△ABD+S△ACD, 所以AB·AC·sin=AB·AD·sin+AC·AD·sin,即3×6×=6·AD·+3·AD·,解得AD=2. 2.解:(1)∵S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=,AB=3,BC=2, ∴sin∠ABC=, 又∠ABC为锐角,∴∠ABC=. 在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=7,∴AC=. ∵∠DAB=∠DCB=,∴BD是四边形ABCD外接圆的直径,∴BD是△ABC外接圆的直径,利用正弦定理得BD==×=. (2)由∠DAB=∠DCB=,BD=,AB=3,BC=2,可得AD=,CD=,又∠ABC=, ∴∠ADC=,因此S△ACD=AD·CD·sin∠ADC=×××=,即△ACD的面积为. 3.解:(1)因为=,所以由正弦定理可得=,所以2sin C-sin B=2sin Acos B,又sin C=sin(A+B),所以2sin(A+B)-sin B=2sin Acos B,化简得2cos Asin B=sin B,又B∈(0,π),即sin B≠0,所以cos A=.因为A∈(0,π),所以A=. (2)因为∠ADC=,所以∠ADB=.在△ADC中,由正弦定理可得=,在△ADB中,由正弦定理可得=,所以==, 又AD2=bc,所以sin Bsin C=,又sin C=sin(A+B),所以sin Bsin=,即sin B=,所以sin 2B+=1, 所以sin=.因为B∈,所以2B-∈,所以2B-=或2B-=,解得B=或B=.当B=时,C=,所以==;当B=时,C=,所以==2. 综上,的值为或2. 4.解:(1)由=,得2bcos C=2a+c. 方法一:由正弦定理得2sin Bcos C=2sin A+sin C,因为A+B+C=π,所以A=π-(B+C), 所以2sin Bcos C=2sin(B+C)+sin C,于是2cos Bsin C+sin C=0,又sin C≠0,所以cos B=-,又0<B<π,所以B=. 方法二:由余弦定理得2b·=2a+c,化简得a2+c2-b2=-ac, 由余弦定理得cos B===-,又B∈(0,π),所以B=. (2)由BD平分∠ABC,得∠ABD=∠CBD=. 方法一:= ===,又S△ABC=S△ABD+S△CBD, 所以S△ABD=S△ABC=× acsin∠ABC=××2×5×=. 方法二:由S△ABC=S△ABD+S△CBD,得AB·BC·sin∠ABC=AB·BD·sin∠ABD+BC·BD·sin∠CBD,即×5×2×=×5×BD×+×2×BD×,解得BD=, 所以S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×5××=. 5.解:(1)因为tan A+tan B=,所以+=, 即=, 即=2sin C, 又sin(A+B)=sin C>0, 所以cos A=, 又A∈(0,π),所以A=. (2)因为AB=5,AC=8, 所以由余弦定理可得BC== =7,再由余弦定理可得cos B===. (3)由(2)可得cos B=, 所以sin B==. 在△BCD中,因为∠BCD=, 所以sin∠BDC=sin=sincos B+cossin B=×+×=, 由正弦定理可得=,即=,解得CD=. 6.解:(1)由=,结合正弦定理得=, 整理得a2-b2=ac-c2,所以由余弦定理得cos B==, 又0<B<π,所以B=. (2)在△ACD中,AD=5,CD=3,∠ADC=,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos=49,所以b=AC=7,所以结合(1)得a2+c2-ac=b2=49,即(a+c)2=49+3ac,得ac=. 在△ABC中,由S△ABC=acsin B=(a+b+c)·r,得r===(a+c-7). 由正弦定理得====,所以a=sin A,c=sin C,又B=, 所以a+c=(sin A+sin C)== == 14=14sin. 因为A∈,所以A+∈,则sin∈,所以a+c=14sin∈(7,14],所以r=(a+c-7)∈,即r的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.zXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第29讲多三角形背景下解三角形时间：45分钟) 基础热身 12025吉林长春二模]在△4BC中ab,c分别为内角4B,C所对的边，且吃 c=b-acos C,内角A的平分线交BC于点D,BD=2DC. (1)求角A的大小： (2)若AC=3,求AD的长 2如图，平面四边形ABCD中，∠DAL=∠DCB-受AB3,BC-2,Sac3 2且 ∠ABC为锐角. (I)求DB的长； (2)求△ACD的面积. 草学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 3.[2026浙江名校协作体联考]在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边， 且满足2sinC-sinB_a sin2B b (I)求角A的大小： ②)点D是边BC上一点，且满足AD-c,∠ADC平，求总的值 综合提升 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 4[2025湖南怀化二模]在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为ahc,且osC 2a+c 1 2b (1)求B: (2)若-2，c=5,点D在边AC上，且BD平分∠ABC,求△ABD的面积. 5,[2026武汉9月调研]已知在△ABC中，tam4+tanB2sinC AB=5,AC=8. cos B (I)求角A的大小 (2)求cosB, (⊙)若点D在线段AB上，且满足∠BCD名求CD的长 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.zXXk.com■ 您身边的互联网+教辅专家 6.[2026青岛调研]如图，在平面四边形ABCD中AD-5,CD=3,∠ADC2 △4C的内角AAC的对边分州为acH清记地 (1)求B, (②)求△ABC的内切圆半径r的取值范围，