第4单元 02 第23讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（北师大版）

**基本信息** 同角三角函数的基本关系式与诱导公式专项训练，以题载知构建“概念应用—综合变形—情境创新”的递进逻辑，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-4题|直接求值、公式直接应用|从诱导公式化简（如cos240°）到同角关系（tanα与sinα/cosα互化）| |综合变形|5-9题|sin±cosα关系、tanα方程及三角函数式化简|通过平方关系（sin²α+cos²α=1）实现已知与未知转化，体现公式间推导联系| |情境与创新|10-17题|几何背景（长方形角度）、新定义（S(θ),C(θ)）、多选型|结合实际情境与创新设问，深化公式在复杂场景中的灵活应用|

第23讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1.B　[解析] cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-.故选B. 2.B　[解析] 因为α∈(0,π),cos α=,所以sin α==,所以tan α==,故选B. 3.C　[解析] cos=cos=sin=.故选C. 4.A　[解析] 由tan α=-2得===-3.故选A. 5.A　[解析] 由题意知(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,故2sin αcos α=-<0, 故(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=.∵sin αcos α<0且α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α>0,故sin α-cos α=.故选A. 6.ABC　[解析] 在△ABC中,A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A正确;sin=sin=cos,B正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,C正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D错误.故选ABC. 7.-1　[解析] 原式= = =-·=-1. 8.　[解析] ∵0<x<,∴-<-x<,∵sin=,∴cos==,∴sin-cos=sin-cos=cos+cos=2cos=. 9.解:(1)由tan α+=-,得3tan2α+10tan α+3=0,解得tan α=-3或-. 因为<α<π,所以-1<tan α<0,所以tan α=-. (2)===-. (3)2sin2α-sin αcos α-3cos2α====-. 10.B　[解析] 设∠AEB=θ,则cos θ=,如图所示.因为AB=DC,BE=CE,∠ABE=∠DCE=90°,所以△ABE≌△DCE,所以∠DEC=∠AEB=θ,故∠AED=π-2θ, 所以cos∠AED=cos(π-2θ)=-cos 2θ=1-2cos2θ=1-2×=.故选B. 11.D　[解析] 因为角θ为锐角,所以tan θ>0.由=,解得tan θ=或tan θ=-4(舍去),故====.故选D. 12.ABD　[解析] 对于A,因为sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=,所以sin2θcos2θ=,因为θ∈,所以sin θ>0,cos θ<0,则sin θcos θ=-,故A正确;对于B,由sin θ>0,cos θ<0,得sin θ-cos θ>0,因为(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,所以 sin θ-cos θ=,故B正确;对于C,由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1-=,θ∈,解得 sin θ+cos θ=±,故C错误;对于D,sin3θ-cos3θ=(sin θ-cos θ)(sin2θ+sin θcos θ+cos2θ)=×=,故D正确.故选ABD. 13.-　[解析] 因为角α,β的终边关于直线y=x对称,所以+α=+kπ(k∈Z),即α+β=+2kπ(k∈Z),所以β+3α=2α++2kπ(k∈Z), 所以sin(β+3α)=sin=cos 2α===-. 14.-　[解析] 由题意可得cos=cos=-sin=,故sin=-.因为α是第一象限角,所以2kπ<α<+2kπ,k∈Z,故-+2kπ<α-<+2kπ,k∈Z,所以cos>0,所以cos==,所以tan==-. 15.解:(1)由题意得f(α)===-cos α. (2)因为cos=cos=-sin θ=,所以sin θ=-. 又θ为第三象限角,所以cos θ=-=-, 所以f(θ)=-cos θ=. 16.BCD　[解析] 对于A,当<θ<π时,易知a<0,b>0,依题意可知S(θ)+C(θ)=+=≠1,故A错误;对于B,因为角θ以Ox为始边,OP为终边,P(a,b),所以cos θ=,sin θ=,故cos=-sin θ=,sin=cos θ=,故角θ+以Ox为始边,OM为终边,其中M(-b,a),所以S==C(θ),故B正确;对于C,由S(θ)≥sin θ可得≥×,当θ∈(0,π)时,可得b>0,则不等式等价于≥(|a|+|b|),可得a2+b2≥(|a|+|b|)2,显然该不等式恒成立,故C正确;对于D,当θ∈时,角θ的终边与正方形在第一象限内的边交于P(a,b),角2θ的终边与正方形在第一象限内的边交于Q(c,d),如图所示,设A(1,0),易知OP平分∠AOQ,由角平分线定理可得=>1,可得2b>d,又2S(θ)==2b,S(2θ)==d,所以2S(θ)>S(2θ),故D正确.故选BCD. 17.　[解析] 由题意得m== ,令x=cos θ+sin θ,则sin θcos θ=,x=sin,因为0<θ<,所以<θ+<,故x∈(1,],所以m====-1,令f(x)=-1,则f(x)在(1,]上单调递减,所以f()≤m<f(1),即m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (时间:45分钟) 1.cos 240°= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.- C. D.- 2.已知α∈(0,π),cos α=,则tan α= (　 ) A.3 B. C.- D.-3 3.[2025·福建莆田二检] 已知sin=,则cos= (　 ) A. B.- C. D.- 4.已知tan α=-2,则= (　 ) A.-3 B.- C. D.3 5.已知α∈(0,π),sin α+cos α=,则sin α-cos α= (　 ) A. B.- C. D.- 6.(多选题)在△ABC中,下列结论正确的是 (　 ) A.sin(A+B)=sin C B.sin=cos C.tan(A+B)=-tan C D.cos(A+B)=cos C 7.的值为　　　　.  8.已知sin=,且0<x<,则sin-cos的值为　　　　.  9.已知<α<π, tan α+=-. (1)求tan α的值; (2)求的值; (3)求2sin2α-sin αcos α-3cos2α的值. 10.[2025·北京西城区一模] 在长方形ABCD中,E为BC的中点,cos∠AEB=, 则cos∠AED= (　 ) A. B. C.- D.- 11.已知锐角θ满足=,则= (　 ) A. B.13 C.- D. 12.(多选题)[2025·陕西汉中模拟] 已知sin4θ+cos4θ=,θ∈,则下列等式正确的是 (　 ) A.sin θcos θ=- B.sin θ-cos θ= C.sin θ+cos θ= D.sin3θ-cos3θ= 13.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于直线y=x对称,若tan α=2,则sin(β+3α)=　　　　.  14.[2025·黑龙江哈尔滨三中一模] 已知α是第一象限角,且cos=,则tan=　　　　.  15.已知f(α)= . (1)化简f(α); (2)若θ是第三象限角,且cos=,求f(θ). 16.(多选题)[2025·长沙一中月考] 如图,点P(a,b)是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形的边上的动点,角θ以Ox为始边,OP为终边,定义S(θ)=,C(θ)=,则 (　 ) A.S(θ)+C(θ)=1 B.S=C(θ) C.∀θ∈(0,π),S(θ)≥sin θ D.∀θ∈,2S(θ)>S(2θ) 17.设0<θ<,且cos θ+sin θ+(cos θ-sin θ)2=m(cos θ+sin θ+1)2,则实数m的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $