精品解析：广东深圳市桃源居中澳实验学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025–2026学年度第二学期高二年级 全国港澳台侨联考期末考试 数学试卷 试卷说明Information 出卷人 Examination written by 审核人 Checked by 蔡承佑 试卷总分 The total mark for this paper is 150 考试时间 The total time is 120 minutes 备注 Memo 一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则实数a的值为 A. B. 1 C. 0或 D. 0或1 3. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知曲线 在处的切线方程为，则 （ ） A. B. C. D. 6. 若随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 8. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是的极小值点 C. 的单调递减区间是 D. 9. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分 11. 甲乙丙三名同学分别从A，B，C，D四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有________种． 12. 函数的最大值是 . 13. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是________． 14. 已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 15. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 三、解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 设集合． （1）当时，求A的非空真子集的个数； （2）若，求实数m的取值范围． 17. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）判断函数的单调性，并求出的极值． 18. 在的二项展开式中， （1）若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； （2）若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 19. 某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． （1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； （2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026学年度第二学期高二年级 全国港澳台侨联考期末考试 数学试卷 试卷说明Information 出卷人 Examination written by 审核人 Checked by 蔡承佑 试卷总分 The total mark for this paper is 150 考试时间 The total time is 120 minutes 备注 Memo 一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】特称命题的否定规则为：将存在量词改为全称量词， 保持量词对应的取值范围不变，同时否定原命题的结论， 原命题为“”的否定是“”， 则选项D正确. 2. 已知集合，，若，则实数a的值为 A. B. 1 C. 0或 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据子集的定义，分类讨论进行求解即可. 【详解】因为，所以. 当时，说明方程没有实数根，所以有； 当时，说明是方程有唯一实数根，显然不成立，一定不是方程的实数根； 当时，说明是方程有唯一实数根，所以，解得； 当时，因为方程最多有一个实数根，所以不存在这种情况. 综上所述：实数a的值为0或. 故选：C 【点睛】本题考查了根据子集关系求参数的取值问题，属于基础题. 3. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 则， 解得. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解出两个不等式，然后根据充分性和必要性的定义去判断得出答案. 【详解】由，得到，又由，得到， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知曲线 在处的切线方程为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，求出切线斜率和切点处的函数值，进而求出结果. 【详解】对函数求导得，可得曲线在处的切线斜率为， 由切线方程为，可得，即， 又，故切点坐标为，将其代入切线方程中得， 所以，所以. 6. 若随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质求出，再根据方差的性质即可得结果. 【详解】因为，所以，则， ， . 7. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 又因为，所以， 所以. 8. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是的极小值点 C. 的单调递减区间是 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图可知，当或时，， 当时，， 对于A，不是变号零点，所以不是的极值点，A错误； 对于B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，B错误； 对于C，由B选项可知的单调递减区间是，C正确； 对于D，因为在上单调递增，所以，D错误. 9. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 其展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式中的常数项为. 10. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围． 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为． 二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分 11. 甲乙丙三名同学分别从A，B，C，D四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有________种． 【答案】 64 【解析】 【详解】不同的选择方案有. 12. 函数的最大值是 . 【答案】1 【解析】 【分析】求出导函数，判断在上递增，在上递减，进而可得结果. 【详解】因为， 所以， 在上递增，在上递减， 所以函数的最大值是， 故答案为1. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值，属于基础题. 13. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是________． 【答案】 【解析】 【详解】第4项的二项式系数是. 14. 已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 15. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 三、解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 设集合． （1）当时，求A的非空真子集的个数； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）{或} 【解析】 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【小问1详解】 由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； 【小问2详解】 因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 17. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）判断函数的单调性，并求出的极值． 【答案】（1） （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增；有极小值，无极大值． 【解析】 【小问1详解】 函数的定义域为，， 在点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 令，解得． 当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值，无极大值． 18. 在的二项展开式中， （1）若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； （2）若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得展开式的通项，根据题意列出方程，即可求解； （2）求得展开式的通项，根据题意，得到方程，结合组合数的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得展开式的通项， 令，可得，令，可得， 因为第3项与第6项相等，可得，解得. 【小问2详解】 解：由二项式展开式的通项， 可展开式中第5项的系数为，第3项的系数为， 因为第5项系数是第3项系数的10倍，可得， 即，即， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 19. 某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． （1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； （2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【小问1详解】 记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． 【小问2详解】 由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $